Лінійні рівняння

Це рівняння виду , де - числа, - невідомі, тобто в лівій частині – лінійна комбінація невідомих, а в правій – число.

Розв’язок рівняння – це набір чисел ( , , ... , ), при підстановці якого в данне рівняння замість відповідних невідомих отримують вірну рівність + + ... + = b.

Лінійне рівняння виду + + ... + = 0 тривіальне і має безлічь рішень, а + + ... + = b, де протиричне.

Системи лінійних рівнянь

Це сукупність скінченої кількості лінійних рівнянь, розв’язком

якої є точка, яка є розв’язком кожного її рівняння.

Система m лінійних рівнянь з n невідомими:

- коефіцієнти, - вільні члени (числа).

Можливо: m – число рівнянь, n – число невідомих.

1) m > n

2) m = n 1 рішення

3) m < n безліч рішень

Розв’язок системи рівнянь – це набір чисел ( , , ... , ),

який є рішенням кожного рівняння системи, тобто це сукупність невідомих ( , , ... , ), яка при підстановці в рівняння системи перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Види систем:

Система однорідна, якщо всі вільні члени = 0. Вона завжди сумісна.

Якщо хоча би один з вільних членів , то система неоднорідна.

Система сумісна, якщо вона має хоча би 1 рішення.

Система несумісна, якщо вона не має жодного рішення.

Сумісна система визначена, якщо вона має 1 рішення.

Сумісна система невизначена, якщо вона має декілька рішень.

2 системи рівнянь еквівалентні, якщо вони мають одну і ту ж множину рішень.

2 системи рівнянь рівносильні, якщо вони мають однакові рішення

Елементарні перетворення системи

Що не змінюють множини розв’язків системи. Приводять до системи, еквівалентній данній:

1. Множення будь-якого рівняння системи на відмінне від 0 число.

2. Додавання до обох частин i-го рівняння відповідних частин j-го рівняння, домножених на число k.

Критерій сумісності системи рівнянь

Теорема Кронекера – Капелі. Для сумісної системи лінійних рівнянь необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював би рангу розширеної матриці: .

- матриця системи (з коефіцієнтів при невідомих).

- розширена матриця.

Наслідки:

1. Будь-який мінор А є мінором А*, тому ранг матриці системи не перевищує рангу розширеної матриці: .

2. Якщо при виконанні умови сумісності системи , то система має 1 розв’язок.

3. Якщо при виконанні умови сумісності системи , то система має безліч р розв’язків, тобто стовпець вільних членів є лінійною комбінацією базисних стовпців , , ..., .

= + + ... +

4. Якщо ранг матриці системи співпадає з рангом розширеної матриці, то система розв’язків не має.

5. У системі стільки лінійно-незалежних розв’язків (всі інші – їх комбінації), яка різниця між числом невідомих і рангом матриці системи.