Властивості еквівалентних функцій

1) Величини та еквівалентні нескінченно малі, якщо = 1

2) Величини і еквівалентні нескінченно великі, якщо = 1.

3)

4)

5) Границя відношення двох нескінченно малих функцій не змінюється, якщо чисельник і знаменник замінити еквівалентними нескінченно малими функціями.

Основні еквівалентності – формули ліанерізації в околі

початку координат

при	при
при	при
при	при
при	при
	при
При :

Обчислення границь

не залежить від того, чи визначена функція в граничній точці.

Граничний перехід при х завжди можна замінити граничним перехідом при , якщо за нову незалежну змінну прийняти величину, обернену до первінної змінної, тобто .

- не є число, це символічна рівність.

1. Метод безпосередньої підстановки граничного значення.

Для елементарних функцій при : .

2. Застосування чудових границь.

3. Застосування еквівалентностей.

4. Позбавлення від невизначенностей: . Невизначеність відбувається від того, що формула утрачає сенс при х = .

Теорема Безу дозволяє позбавитися :

1) Границя відношення многочленів.

1. При х : Поділити чисельник і знаменник на х^m, де m –

найбільша степень многочленів.

3. При : Чисельник і знаменник розкласти на множники та

скоротити на загальний множник (х – с), оскільки , але

ніколи з ним не співпадає , .

2) Позбавитися від іраціональності шляхом добутку та ділення на

сполучене значення.

3) перетворюють до .

4) , де .

5) або .

6) до 2 чудової границі.

7) . Якщо корені вище 2 степені, то має сенс поділити обидва кореня на другий та винести за дужки, потім замінити корень еквівалентним значенням.

Неперервність функцій

Означення

1. Функція неперервна в точці х₀, якщо вона:

1. Визначена в точці х₀ і в деякому її колі та існує значення .

2. Існує границя , незалежно від способу прямування їх до х₀.

3. А = .

2. Функція у = неперервна в точці х₀, якщо вона визначена в точці х₀ і в деякому її колі та нескінчено малому прирості аргументу відповідає нескінчено малий приріст функції такий, що , де ∆у – приріст функції являє собою нескінчено малу величину від ∆х.

3. Функція у = неперервна на інтервалі (а,в), якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

4. Конструктивне визначення (необхідна і достатня умова неперервності функції):

Функція у = неперервна в точці х₀, якщо виконуються 5 умов:

1. Існує . Якщо визначена в і в її околі.

2. Існує ліва границя функції в точці х₀. .

3. Існує права границя функції в точці х₀. .

4. Виконується рівність = = а.

5. Виконується рівність = а.

Функція розривна в точці , якщо вона визначена в скіль завгодно близьких точках, але не в точці , тобто коли хоча б одна з умов не виконується.