Тест № 28

1.Продовжить твердження:

„Сума збіжних послідовностей {x_n} и {y_n} є ..”.

2. Функція y=f(x) задана різними аналітичними виразами в різних областях зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву, якщо вони існують.

1. х=1, х=-2 – розриви І-го роду.

2. х=1 - розрив ІІ-го роду, х=-2 – розрив І-го роду.

3. при х=-2 функція неперервна, х=-1 – розрив І-го роду.

4. при х=1 функція неперервна, х=-2 – розрив І-го роду.

3. Обчислити границі з невизначеністю типу та :

а) ; б)

1. а)4; б)

2. а) ; б)

3. а) ; б)

4. Інша відповідь

4. Обчислити границі із застосуванням першої та другої цікавих границь а) ; б)

1. а) -3; б)

2. а) 4; б)

3. а) ; б)

4.Інша відповідь

Тест № 29

1. Продовжить твердження:

„В усіх формулах еквівалентності під  розуміється будь-який вираз, такий що . , , , , , , , , , , ”

2. Функція y=f(x) задана різними аналітичними виразами в різних областях зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву, якщо вони існують.

1. при х=-2 функція неперервна, х=0 – розрив І-го роду.

2. х=-2, х=0 – розриви І-го роду.

3. х=-2 - розрив ІІ-го роду, х=0 – розрив І-го роду.

4. при х=0 функція неперервна, х=-2 – розрив І-го роду

3. Обчислити границі з невизначеністю типу та :

а) ; б)

1. а) ; б)

2. а) ; б) 1

3. а) ; б)

4. Інша відповідь

4. Обчислити границі із застосуванням першої та другої цікавих границь а) ; б)

1.а) ; б)

2.а) 16; б)

3.а) 8; б)

4.Інша відповідь

Тест № 30

1. Продовжить формулювання:

„Послідовність {x_n} називається збіжною, якщо ..”.

2. Функція y=f(x) задана різними аналітичними виразами в

різних областях зміни незалежної змінної. Знайти точки розриву, якщо вони існують.

1. х=0, х=2 – розриви І-го роду.

2. при х=2 функція неперервна, х=0 – розрив І-го роду.

3. х=2 - розрив ІІ-го роду, х=0 – розрив І-го роду.

4. при х=0 функція неперервна, х=2 – розрив І-го роду

3. Обчислити границі з невизначеністю типу та :

а) ; б)

1. а) ; б)

2. а) ; б)

3. а) ; б)

4. Інша відповідь

4.Обчислити границі із застосуванням першої та другої цікавих границь а) ; б)

а) 3; б)

а) 1; б)

а) ; б)

Інша відповідь

Контрольні запитання

	Модуль №1. Елементи лінійної алгебри
1	Що називається детермінантом?
2	Чим обумовлений порядок визначника?
3	Як звуться величини, що входять до визначника?
4	Що означають індекси елементів?
5	Як позначаються елементи детермінанта?
6	Що називається детермінантом 2 порядку?
7	Скільки рядків і скільки стовпців має детермінант 2 порядку?
8	Що називається детермінантом 3 порядку?
9	Скільки рядків і скільки стовпців має детермінант 3 порядку?
10	Як позначають детермінант n-го порядку?
11	Скільки рядків і скільки стовпців має детермінант n порядку?
12	Скільки елементів має детермінант 2 порядку?
13	Скільки елементів має детермінант 3 порядку?
14	Скільки елементів має детермінант n порядку?
15	Що називається транспонуванням визначника?
16	Які властивості транспонування визначників?
17	Які наслідки властивості транспонування визначників?
18	Які властивості визначників вам відомі?
19	Дати означеня мінора елемента.
20	Дати означеня алгебраічного доповнення елемента.
21	Чому дорівнює визначник, один з рядків якого складається з нулів?
22	Чому дорівнює визначник при перестановці його паралельних рядків?
23	Чому дорівнює визначник, усі елементи якого мають спільний множник?
24	Чому дорівнює визначник, відповідні елементи двох паралельних рядків якого дорівнюють один одному?
25	Чому дорівнює визначник, відповідні елементи двох паралельних рядків якого пропорційні один одному?
26	Чому дорівнює визначник, усі елементи одного з рядків якого являють собою суми двох доданків?
27	Чому дорівнює визначник, якщо додати до елементів одного з рядків відповідні елементи паралельного рядка, помножені на один і той же множник?
28	Чому дорівнює визначник, усі елементи будь-якого рядку якого, крім одного, дорівнюють нулю?
29	Указати правило розкриття визначників 2 порядку.
30	Перерахувати методи розкриття визначниів 3 порядку.
31	Вивести формулу розкладання детермінанта по елементам будь-якого рядка.
32	Чому дорівнює сума добутків елементів будь-якого рядка детермінанта та алгебраічних доповнень відповідних елементів іншого паралельного рядка?
33	Як обчислити визначники вищих порядків?
34	Як знизити порядок детермінанта n порядку?
35	Дати означення матриці.
36	Як називаються величини, з яких складена матриця?
37	Де розташовані елементи матриці?
38	Чим відрізняються матриці від визначників?
39	Чи можна матрицю обчислити?
40	Які види матриць існують?
41	Які матриці називають прямокутними?
42	Які матриці називають квадратними?
43	Які матриці називають діагональними?
44	Які матриці називають скалярними?
45	Які матриці називають одиничними?
46	Які матриці називають нульовими?
47	Коли 2 матриці вважаються рівними?
48	Яка матриця називається транспонованою до данної матриці?
49	Що зветься детермінантом квадратної матриці?
50	Чи можна говорити про детермінант прямокутної матриці?
51	Що зветься мінором k-го порядку матриці?
52	Що зветься рангом матриці?
53	Як визначають ранг матриці?
54	Які дії над матрицями існують?
55	Як помножити матрицю на число?
56	Як знайти алгебраічну суму двох матриць?
57	Які матриці можна додавати?
58	Які матриці можна віднімати?
59	Як помножити матрицю на матрицю?
60	Які матриці можна перемножувати?
61	Чи завжди існує добуток матриць?
62	Чи має добуток двох матриць переставну властивість?
63	Яка матриця зветься неособливою?
64	Яка матриця зветься невиродженою?
65	Які характерні властивості матриць вам відомі?
66	Яка матриця має назву оберненої до заданої?
67	Як позначають обернену матрицю?
68	Чи завжди існує обернена матриця?
69	Які матриці мають обернену?
70	Як знайти обернену матрицю?
71	Яка матриця зветься приєднаною до данної матриці?
72	Як виражають обернену матрицю через приєднану?
73	Як знайти обернену матрицю за допомогою метода Гауса?
74	Які алгебраічні рівняння мають назву лінійних і чому?
75	Що зветься системою лінійних алгебраічних рівнянь?
76	Яке співвідношення між кількістю невідомих та кількістю рівнянь може бути у системі лінійних алгебраічних рівнянь?
77	Як позначаються коефіцієнти такої системи?
78	У якому рівнянні та який коефіцієнт позначають ?
79	Які види систем вам відомі?
80	Яка система називається однородною?
81	Яка система називається неоднородною?
82	Що зветься розв’язком системи?
83	Яка система називається сумісною?
84	Яка система називається несумісною?
85	Яка система називається невизначеною?
86	Яка система називається визначеною?
87	Коли однорідна система n лінійних алгебраічних рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок?
88	Як звести систему лінійних алгебраічних рівнянь до одного рівняння?
89	У чому сутність метода Крамера?
90	Які системи лінійних алгебраічних рівнянь можна розв’язувати за правилом Крамера?
91	Чи раціонально системи лінійних алгебраічних рівнянь розв’язувати за правилом Крамера?
92	Як виявити згідно з правилом Крамера, чи є система сумісною?
93	Як виявити згідно з правилом Крамера, чи є система не сумісною?
94	Як виявити згідно з правилом Крамера, чи є система визначеною?
95	Як виявити згідно з правилом Крамера, чи є система невизначеною?
96	У чому сутність метода Гауса?
97	На скільки може зменшитись кількість рівнянь системи після виключення однієї невідомої і чому?
98	Як визначають несумісність системи у методі Гауса?
99	Як визначають визначеність системи у методі Гауса?
100	Як визначають невизначеність системи у методі Гауса?
101	Як перевірити правильність розв’язання системи?
102	При якому співвідношенні між кількістю невідомих та кількістю рівнянь системи лінійних алгебраічних рівнянь її можна розв’язати за методом Гауса?
103	При якому співвідношенні між кількістю невідомих та кількістю рівнянь системи лінійних алгебраічних рівнянь може бути виначеною?
104	При якому співвідношенні між кількістю невідомих та кількістю рівнянь системи лінійних алгебраічних рівнянь може бути невиначеною?
105	При якому співвідношенні між кількістю невідомих та кількістю рівнянь системи лінійних алгебраічних рівнянь не може бути виначеною?
106	У чому полягає метод головних елементів? Які його переваги?
107	У чому сутність методу оберненої матриці?
108	Перерахувати переваги та недоліки метода Крамера.
109	Перерахувати переваги та недоліки метода Гауса.
110	Перерахувати переваги та недоліки метода оберненої матриці.
111	Який з методів є більш загальний: метод Гауса чи правило Крамера? Обгрунтуйте.
112	Як записати систему лінійних рівнянь у матричній формі?
113	Як записати розв’язок системи у матричній формі?
114	Чи раціонально знаходити розв’язок системи за допомогою оберненої матриці?

	Модуль №2. Аналітична геометрія на площині та в просторі.
115	Що називається вектором?
116	Як позначають вектори?
117	Що називається модулем вектора?
118	Як позначають модуль вектора?
119	Які вектори вважаються рівними?
120	Який вектор називається нульовим?
121	Які вектори називаються колінеарними?
122	Які дії над векторами вам відомі?
123	Що називається сумою векторів?
124	Що називається різницею векторів?
125	Які вектори називаються взаємно протилежними?
126	Як позначаються взаємно протилежні вектори?
127	Що називається добутком вектора на скаляр?
128	Що називається ортом вектора?
129	Як позначаються орти векторів?
130	Які вектори звуться лінійно – залежними?
131	Які вектори звуться лінійно – незалежними?
132	Які вектори називаються компланарними?
133	Що називається векторним базісом?
134	Що називається ортонормірованим базісом?
135	Що називається радіус-вектором точки?
136	Як знайти координати середини відрізку?
137	Як знайти координати точки, що ділять відрізок в заданому відношенні?
138	Що називається проекцією вектора на вісь?
139	Що називається скалярним добутком векторів?
140	Де застосовується скалярний добуток векторів?
141	Дати означеня векторного добутка векторів.
142	Де застосовується векторний добуток векторів?
143	Яка трійка векторів зветься правою, яка – лівою?
144	Дати означеня змішаного добутка векторів.
145	Де застосовується змішаний добуток векторів?
146	Які системи координат вам відомі?
147	Які основні задачі аналітичної геометрії вам відомі?
148	Чим однозначно визначається положення прямої на площині?
149	Що називається нормальним вектором прямої?
150	Що називається напрямним вектором прямої?
151	Які види рівнянь прямої на площині вам відомі?
152	Які криві 2 порядка існують?
153	Що називається колом?
154	Що називається еліпсом?
155	Що називається гіперболою?
156	Що називається параболою?
157	Як знайти кут між прямими на площині?
158	Як знайти кут між прямимив просторі?
159	Як знайти кут між прямою та площиною?
160	Умова паралельності прямих.
161	Умова перпендикулярності прямих.
162	Умова паралельності площин.
163	Умова перпендикулярності площин.
164	Що ви знаєте про полярну систему координат?
165	Які поверхні 2 порядка існують?
166	Що ви знаєте про полярну систему координат?
167	Які види рівнянь площини в просторі вам відомі?
168	Як знайти відстань між прямими?
169	Як знайти відстань між прямою і площиною?
170	Як знайти відстань між площинами?
171	Чим однозначно визначається положення прямої в просторі?
172	Чим однозначно визначається положення площини?
173	Що називається нормальним вектором площини?
174	Як пов’язані пряма та площина в просторі?
	Модуль №3. Вступ до математичного аналізу.
175	Дати означення функції.
176	Що називається аргументом?
177	Чи може одному значенню аргумента відповідати декілька значень функції?
178	Чи може різним значенням аргумента відповідати теж саме значення функції?
179	Що називається областю визначення функції?
180	Що називається областю зміни функції?
181	Що означає задати функцію?
182	Які способи задання функції існують?
183	Які обмеження є для області визначення функцій?
184	Що називається графіком функції?
185	Класифікація функцій.
186	Які елементарні функції вам відомі?
187	Які властивості функцій вам відомі?
188	Що таке множина?
189	Які дії над множинами існують?
190	Що називається приростом змінної величини?
191	Що називається приростом функції?
192	Що називається числовою послідовністю?
193	Дати означення границі числової послідовності.
194	Дати означення границі функції неперервного аргументу.
195	Які теореми про границі вам відомі?
196	Які невизначенності існують?
197	Яка теорема дозволяє позбавитися невизначеностей?
198	Дати означення неперервності функції в точці.
199	Як дослідити функцію на неперервність в точці?
200	Як дослідити функцію на неперервність на відрізку?
201	Які чудові границі вам відомі?
202	Що називається першою чудовою границею?
203	Що називається другою чудовою границею?
204	Що називається третьою чудовою границею?
205	Які точки розриву функцій вам відомі?
206	Чи можна усунути розрив першого роду?
207	Чи можна усунути розрив другого роду?
208	Які розриви називаються усувними?
209	Які розриви називаються ізольованими точками функції?
210	Що називається нескінчено малою величиною?
211	Які властивості мають нескінчено малі?
212	Які нескінчено малі звуться еквівалентними?
213	Що називається нескінчено великою величиною?
214	Які властивості мають нескінчено великі?
215	Які нескінчено малі звуться еквівалентними?
216	Яка залежність існує між нескінчено малими та нескінчено великими величинами?
217	Записати таблицю еквівалентних нескінчено малих.
218	Записати таблицю еквівалентних нескінчено малих.
219	Які теореми неперервність функцій вам відомі?

Додаток 1.

Графік організації і контролю самостійної роботи

Студентів 1 курсу в осінньому семестрі

Додаток 2.

Зразок комплексних домашніх робіт

Контрольна робота №1.

Завдання 1.

Навести конкретні приклади до усих властивостей визначників і довести їх.

1. Доведемо, що: = , тобто величина визначника не зміниться при заміні всіх його рядків відповідними стовпцями ( при транспонуваанні).

Доведення:

=

=

=

=

, що і треба було довести.

2. Доведемо, що: = - , тобто при перестановці двох сусідніх рядків або стовпців визначник змінює знак на протилежний.

Доведення:

=

=

= = = , тобто , що і треба було довести.

3. Доведемо, що: = 0, тобто якщо рядки або стовпці визначника пропорційні іншим його рядкам або стовпцям, то визначник дорівнює нулю.

Доведення:

= = =

= , що і треба було довести.

4. Доведемо, що: = 0, тобто визначник, що має нульовий рядок або стовпець, дорівнює нулю.

Доведення: = = 0,

що і треба було довести.

5. Доведемо, що: = , тобто множник, загальний для елементів рядка або стовпця можна виносити за знак визначника.

Доведення:

= = .

= = =

= , що і треба було довести.

6. Доведемо, що: , тобто величина визначника не

зміниться, якщо до елементів деякого його рядка або стовпця

додати елементи іншого його рядка або стовпця, заздалегідь домножені на один множник.

Доведення:

= , ,

що і треба було довести.

7. Доведемо, що: , тобто, якщо елементи деякого рядка або стовпця визначника представляють собою суму двох величин, то такий визначник можна представити у вигляді суми двох визначників.

Доведення:

= , = =

= , що і треба було довести.

8. Якщо всі елементи визначника, що з одного боку від головної діагоналі дорівнюють 0, то такий визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі: = 30. Доведення:

= = 30.

9. Сума добутків елементи деякого рядка або стовпця визначника на відповідні алгебраічні доповнення елементів іншого рядка або стовпця дорівнює нулю.

Доведення:

= =

= 0, оскільки ;

;

.