МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Российский государственный торгово-экономический университет»

Кафедра Высшей и прикладной математики

Одобрено УМС Пермского института (филиала)

Протокол №

« » 200 г.

Председатель: к.э.н., доцент Измайлова Л.Н.

Оборина Ирина Анатольевна

Сопротивление материалов

Обзорная лекция для студентов заочного отделения

Для специальностей: 260501 - Технология продуктов общественного питания

Рекомендовано кафедрой:

Протокол №

« » 20__г.

Зав. кафедрой

Пермь 2011

Сопротивлением материалов называют науку об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций и машин с целью обеспечения их надежности и экономичности.

Прочность – способность элементов конструкции выдерживать определенную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость – способность элементов конструкции выдерживать заданные нагрузки, деформируясь в заданных пределах.

Устойчивость - способность конструкции сохранять заданную форму упругого равновесия под внешними нагрузками.

РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА

В сопротивлении материалов исследование вопроса о прочности реального объекта, т.е. элемента какой-либо конструкции начинается с выбора расчетной схемы.

Расчетной схемой называют реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, а также упрощенный согласно сделанным допущениям, которые не оказывают значительного влияния на получаемые результаты, но во многом упрощают расчеты. При выборе расчетной схемы вводят упрощения в геометрию элементов реальной конструкции, в свойства ее материала и в способы приложения внешних нагрузок.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Все многообразие конструктивных элементов машин в СМ сводится к трем основным формам, к которым относят стержни, оболочки и массивные тела.

1. Стержнем или брусом называется тело, у которого один размер (длина) значительно превышает два других (поперечных) размера (рис.1).

Рис.1

Оболочка представляет собой тело, ограниченное криволинейными поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от друга (рис.2, а-в)

Если поверхности плоские, то расчетный объект называется пластинкой (рис.2, г,д).

Тела, у которых все три размера одного порядка, называются массивными телами.

. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ О СВОЙСТВАХ МАТЕРИАЛА

Согласно гипотезам СМ материал элементов конструкций на расчетной схеме считается сплошным, однородным и изотропным, абсолютно упругим и подчиняется закону Гука, выражающим линейную зависимость между деформациями тела и прикладываемой нагрузкой.

ВНЕШНИЕ СИЛЫ (презентация)

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Их ещё называют активными силами. На расчетной схеме вместо конструктивного элемента изображается его ось, и все внешние нагрузки переносят к этой оси.

Внешние силы разделяются:

- по способу приложения: на объемные и поверхностные. Объемные (или массовые) силы распределены по объему тела и приложены к каждой его частице, например, вес, силы инерции и т.д. Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и характеризуют непосредственное контактное взаимодействие рассматриваемого объекта с окружающими телами: это сосредоточенные силы и моменты; нагрузки, распределенные по линии с интенсивностью q или по площади – давление р.

- по характеру воздействия на конструкцию: на статические и динамические. Величина статической нагрузки медленно возрастет от нуля до её конечного значения, а затем остается неизменной. При этом можно пренебречь силами инерции. Динамические нагрузки (ударные, мгновенно приложенные и повторно-переменные) сопровождаются значительными ускорениями взаимодействующих тел и появлением сил инерции.

ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА

Перечисленные допущения, вводимые на расчетной схеме, позволяют решать широкий круг задач по расчету элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В основе таких расчетов лежат следующие принципы:

1. Принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил: усилия в любом элементе конструкции, вызванные различными внешними факторами равны сумме усилий, вызванных каждым из этих факторов в отдельности. Это справедливо и в отношении деформаций.

2. Принцип Сен-Венана: при изучении деформируемого тела достаточно принимать во внимание только статический эквивалент (главный вектор и главный момент) внешних сил, не интересуясь особенностями приложения нагрузки, которые проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня.

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ (презентация)

Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешних нагрузок вызывает появление дополнительных внутренних сил, которые стремятся сохранить твердое тело как единое целое, противодействуют всякой попытке изменить взаимное расположение частиц, т.е. деформировать конструкцию.

Дополнительные внутренние силы и являются предметом изучения в сопротивлении материалов. Для их выявления, а затем и вычисления используется метод сечений.

МЕТОД СЕЧЕНИЙ (презентация)

Внутренние силы, действующие в произвольном сечении нагруженного тела, как всякую систему сил, можно привести к одной точке (обычно к ц. т. сечения).В результате получим главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении и . Согласно методу сечений главный вектор сил в рассматриваемом сечении равен геометрической сумме всех внешних нагрузок , расположенных по одну сторону от сечения , аналогично главный момент внутренних сил равен сумме моментов всех внешних нагрузок по одну сторону от сечения .

Проектируя главный вектор и главный момент внутренних сил на три координатные оси получим шесть внутренних силовых факторов: три силы N, Q _у, Q_x и три момента М_х, М_у и М_{z .,}

где

N - продольная сила, Q_у, O_x - поперечные силы.

М_z = М_кр - крутящий момент, М_у, М_z - изгибающие моменты.

ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ (презентация)

Напряжение характеризует интенсивность распределения внутренних усилий в сечении. Единица измерения напряжений– Мегапаскаль (МПа). МПа= Н/мм². В каждой точке поперечного сечения нагруженного тела существует вектор полного напряжения . Проектируя его на координатные оси, получим три составляющие: по нормали к

плоскости сечения:  - нормальное напряжение и по двум осям в плоскости: _х, _у - касательные напряжения _.

ТИПЫ ДЕФОРМАЦИЙ

По характеру действия внешних сил различают четыре вида простейших деформаций.

Растяжение (сжатие) – внешняя сила действует вдоль оси бруса. (презентация).

В сечениях бруса возникает только одна составляющая главного вектора внутренних сил – продольная сила N .

Сдвиг (срез) – внешняя сила F действует перпендикулярно оси бруса.

В каждом сечении возникает поперечная сила Q(Рис.1).

F

Рис. 1

Кручение – действует момент М, плоскость вращения которого перпендикулярна продольной оси. В каждом сечении бруса возникает крутящий момент М_кр = М_Z (Рис.2).

а

Рис. 2

Изгиб – нагружение, при котором происходит искривление оси бруса.

Виды изгибов (презентация):

1. чистый изгиб – в сечении действует только изгибающий момент;

2. поперечный изгиб – в сечении действует поперечная сила и изгибающий момент;

3. косой изгиб - – в сечении действует изгибающий момент не совпадающий с главными плоскостями сечения балки.

Если в сечении действует несколько видов простейших деформаций, то такой вид напряженного состояния называют сложным сопротивлением.

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ДЕФОРМАЦИЙ

При действии на тело произвольной системы сил в теле возникают линейные и угловые деформации. Линейные деформации приводят к удлинению или укорочению размеров тела в трех измерениях и являются следствием нормальных напряжений. Угловые деформации приводят к искажению формы, к изменению углов между двумя прямыми, проведенными внутри тела, и являются следствием действия касательных напряжений.

1) Линейные деформации ( презентация).

Меры деформации: - абсолютное удлинение (укорочение)

; -относительное удлинение  = .

2) Угловые деформации. (Рис.1).

Рис. 1

Мерой деформации является угол сдвига .

По последствиям деформации подразделяются на упругие, исчезающие после снятия нагрузки, и остаточные или пластические, остающиеся после снятия нагрузки.

В общем случае за пределом упругости деформация состоит из упругой и остаточной:

 = _у + _ост ;  = _у + _ост.

Остаточные деформации являются нежелательными явлениями в конструкциях.

Закон Гука.

Закон Гука устанавливает пропорциональную связь между упругими деформациями и напряжениями:

- для линейных деформаций:  = Е или  = ;

- для угловых деформаций:  = G_ или  = ;

где Е и G – модули упругости первого (модуль Юнга) и второго (модуль сдвига) рода. Они характеризуют жесткость материала – способность сопротивляться упругим деформациям. Между ними и коэффициентом Пуассона  существует связь:

,

где для всех материалов .

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ

Диаграмма растяжения (напряжений).

Основные механические характеристики получают экспериментально по диаграмме растяжения образца, которую перестраивают в диаграмму напряжений. Такая диаграмма для образца из малоуглеродистой стали представлена на рис.1. Ординаты диаграммы получены делением значений растягивающей силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца , абсциссы - делением абсолютных удлинений расчетной длины образца на её первоначальное значение .

Рис.1

На диаграмме имеется ряд характерных участков и точек, соответствующих различным стадиям деформирования образца. Точка А характеризует наибольшую нагрузку Р_пц , до которой соблюдается закон Гука. Точка В соответствует наибольшей нагрузке Р_уп , при которой образец сохраняет упругие свойства.. Участок СД соответствует силе Р_т , при которой образец деформируется без возрастания нагрузки. Участок ДМ называется участком упрочнения.

Точка M соответствует максимальной нагрузке Р_max , после которой начинается местное сужение образца в виде шейки в результате чего происходит падение нагрузки и постепенное разрушение образца. Точка К соответствует нагрузке Р_к , при которой образец разрушается.

Характеристики прочности

- предел пропорциональности – максимальное напряжение, до которого справедлив закон Гука;

- предел упругости - предельное напряжение, до которого в образце не возникают пластические деформации;

- предел текучести - напряжение, при котором материал течет ( деформации растут при постоянной нагрузке) ;

- предел прочности или временное сопротивление – напряжение, соответствующее наибольшей силе, выдерживаемой образцом.

Характеристики пластичности

При испытании образцов на растяжение определяют также характеристики пластичности материала, к которым относят относительное удлинение образца после разрыва

=

и относительное сужение образца после разрыва

,

где - длина образца при разрыве; - площадь поперечного сечения образца в шейке при разрыве.

В зависимости от величины удлинения материалы делят на пластичные, разрушающиеся при больших пластических деформациях (20% и более) и хрупкие, разрушающиеся при малых остаточных деформациях (2% и менее). Хрупко - пластичные материалы занимают промежуточное положение.

При сжатии у пластичных материалов характеристики прочности практически одинаковы с характеристиками прочности при растяжении, кроме предела прочности. У хрупких материалов предел прочности при сжатии значительно выше, чем при растяжении, поэтому хрупкие материалы применяют только при работе на сжатие.

Аналогично испытаниям на растяжение могут проводиться испытания на срез, кручение и изгиб для определения соответствующих характеристик прочности.

Эпюры внутренних сил, напряжений и реремещений (презентация).

Эпюры – графики, изображающие закон изменения внутренних сил, напряжений и деформаций вдоль оси бруса (стержня, вала, балки). Эпюры также показывают при кручении и изгибе закон изменения напряжений внутри сечения. Эпюры позволяют определить опасные сечения и опасные точки в рассматриваемом теле. При построении эпюр принято правило знаков:

Растяжение – сжатие. При растяжении продольная сила имеет знак плюс, при сжатии – минус.

Кручение. М_кр - крутящий момент в сечении, направленный против хода часовой стрелки считается положительным.

Поперечный изгиб. Поперечная сила положительна, если она создает вращающий момент по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент положителен, если упругая линия балки изгибается выпуклостью вниз.

Принципы расчета на прочность и жесткость

Условия прочности и жесткости.

В основе расчетов сопротивления материалов лежит предположение: для успешной работы под нагрузками напряжения и деформации на должны превышать допустимых значений для данных условий работы, т.е.

- нормальные напряжения: ,

- касательные напряжения: ,

- деформации (линейные, угловые): ,

где в квадратных скобках указаны предельно допускаемые напряжения , и деформации .

Задача заключается, с одной стороны, в определении этих допускаемых напряжений и деформаций, а с другой стороны в определении наибольших значений напряжений и деформаций в нагруженном теле при заданных внешних нагрузках. Первая задача решается на основе испытания материалов при действии растягивающей нагрузки. Вторая – теоретическим путем на основе гипотез, законов механики и математических методов.

Допускаемые напряжения.

В общем случае допускаемые напряжения определяются как отношение, напряжения, при достижении которого эксплуатация конструкции недопустима, к коэффициенту запаса прочности n:

; .

Коэффициент запаса определяется исходя из опыта инженерной практики изготовления и эксплуатации машин и сооружений. Коэффициент запаса гарантирует в конструкциях только упругие деформации.

Существуют три вида расчетов на прочность, в основе которых лежат неравенства прочности, жесткости и устойчивости.

1. Проверочный – известна нагрузка, все размеры детали, материал, условия работы. Задачей расчета является определение коэффициента запаса:

n = ,

где _max – наибольшие напряжения в детали, и сравнение его с допускаемыми для данных условий работы и назначения детали.

2. Проектный - известна нагрузка, основные размеры (чаще всего длина) детали, требуется выбрать материал, форму и размеры сечения детали.

3. Определение максимальной нагрузки, которую выдержит элемент конструкции или конструкция, т.е. расчет на грузоподъемность.

Геометрические характеристики плоских сечений

Сопротивление элемента конструкции разрушению и деформированию определяется не только материалом, из которого он изготовлен, но и формой сечения. Основные геометрические характеристики сечений элементов конструкций, которые определяют их сопротивление нагрузкам:

1. Площадь сечения: А = dA, (мм²).

2. Статический момент:

S_х =уdA, (мм³)

S_х = xdA, (мм³)

3) Осевые моменты инерции:

- относительно оси x:

I_x = , (мм⁴);

- относительно оси у:

I_у = , (мм⁴).

4) Полярный момент инерции:

I_р = , (мм⁴).

5) Центробежный момент инерции:

I_ху = , (мм⁴).

Т.к. ²= х²+ у², то I_= I_x +I_у.

6) Момент сопротивления сечения осевой:

W_x = ; W_У = (мм³), используются при решении задач на изгиб.

Момент сопротивления сечения полярный

W_р = (мм³), используется при решении задач на кручение.

7) Радиусы инерции. i_x = , i_y = (мм).