В математике

Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому они и не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согла­соваться между собой. Факт этот является бессознательной и безусловной предпосылкой нашего теоретического мышления. Материализм XVIII века вследствие своего по существу метафизического характера исследовал эту предпосылку только со стороны ее содержания. Он ограничился доказательством того, что содержание всякого мышления и знания должно происходить из чувственного опыта, и восстановил положение: nihil est in intellectu, quod non fuerit in sensu⁴⁶³. Только новейшая идеалистическая, но вместе с тем и диалектическая фило­софия — в особенности Гегель — исследовала эту предпосылку также и со стороны формы. Несмотря на бесчисленные произвольные построения и фантастические выдумки, которые здесь выступают перед нами; несмотря на идеалистическую, на голову поставленную форму ее результата — единства мышления и бытия, — нельзя отрицать того, что эта философия доказала на множестве примеров, взятых из самых разнообразных областей, аналогию между процессами мышления и процессами природы и истории — и обратно — и господство оди­наковых законов для всех этих процессов. С другой стороны, современное естествознание расширило тезис об опытном происхождении всего содержания мышления в таком смысле, что совершенно опрокинуты были его старая метафизическая ограниченность и формули­ровка. Современное естествознание признаёт наследственность приобретенных свойств и этим расширяет субъект

См. настоящий том, стр. 34—35. Ред.

«ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ 582

опыта, распространяя его с индивида на род: теперь уже не считается необходимым, чтобы каждый отдельный индивид лично испытал все на своем опыте; его индивидуальный опыт может быть до известной степени заменен результатами опыта ряда его предков. Если, на­пример, у нас математические аксиомы представляются каждому восьмилетнему ребенку чем-то само собой разумеющимся, не нуждающимся ни в каком опытном доказательстве, то это является лишь результатом «накопленной наследственности». Бушмену же или австра­лийскому негру вряд ли можно втолковать их посредством доказательства.

В помещенном выше сочинении* диалектика рассматривается как наука о наиболее общих законах всякого движения. Это означает, что ее законы должны иметь силу как для движения в природе и человеческой истории, так и для движения мышления. Подобный закон может быть познан в двух из этих трех областей и даже во всех трех без того, чтобы рутинеру-метафизику стало ясно, что он имеет дело с одним и тем же законом.

Возьмем пример. Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно ма­лых во второй половине XVII века. Если уж где-нибудь мы имеем перед собой чистое и ис­ключительное деяние человеческого духа, то именно здесь. Тайна, окружающая еще и в на­ше время те величины, которые применяются в исчислении бесконечно малых, — диффе­ренциалы и бесконечно малые разных порядков, — является лучшим доказательством того, что все еще распространено представление, будто здесь мы имеем дело с чистыми «продук­тами свободного творчества и воображения»** человеческого духа, которым ничто не соот­ветствует в объективном мире. И тем не менее справедливо как раз обратное. Для всех этих воображаемых величин природа дает нам прообразы.

Наша геометрия исходит из пространственных отношений, а наша арифметика и алгебра — из числовых величин, соответствующих нашим земным отношениям, т. е. соответствую­щих тем телесным величинам, которые механика называет массами, как они встречаются на Земле и приводятся в движение людьми. По сравнению с этими массами масса Земли являет­ся бесконечно большой и трактуется земной механикой как бесконечно

Т. е. в «Анти-Дюринге» (см. настоящий том, стр. 145). Ред. ** См. настоящий том, стр. 36. Ред.

МАТЕМАТИКА 583

большая величина. Радиус Земли = оо, таков принцип всей механики при рассмотрении зако­на падения. Однако не только Земля, но и вся солнечная система и все встречающиеся в ней расстояния оказываются, со своей стороны, опять-таки бесконечно малыми, как только мы переходим к тем расстояниям, которые имеют место в наблюдаемой нами с помощью теле­скопа звездной системе и которые приходится определять световыми годами. Таким обра­зом, мы уже имеем здесь перед собой бесконечные величины не только первого, но и второ­го порядка, и можем предоставить фантазии наших читателей, — если им это нравится, — построить себе в бесконечном пространстве еще и дальнейшие бесконечные величины более высоких порядков.

Но согласно господствующим теперь в физике и химии взглядам, земные массы, тела, с которыми имеет дело механика, состоят из молекул, из мельчайших частиц, которые нельзя делить дальше, не уничтожая физического и химического тождества рассматриваемого тела. Согласно вычислениям У. Томсона, диаметр наименьшей из этих молекул не может быть

464 тт

меньше одной пятидесятимиллионной доли миллиметра464 . Но даже если мы допустим, что наибольшая молекула достигает диаметра в одну двадцатипятимиллионную долю миллимет­ра, то и в этом случае молекула все еще остается исчезающе малой величиной по сравнению с наименьшей массой, с какой только имеют дело механика, физика и даже химия. Несмотря на это, молекула обладает всеми характерными для соответствующей массы свойствами; она может представлять в физическом и химическом отношении эту массу и, действительно, представляет ее во всех химических уравнениях. Короче говоря, молекула обладает по от­ношению к соответствующей массе совершенно такими же свойствами, какими обладает ма­тематический дифференциал по отношению к своей переменной, с той лишь разницей, что то, что в случае дифференциала, в математической абстракции, представляется нам таинст­венным и непонятным, здесь становится само собой разумеющимся и, так сказать, очевид­ным.

Природа оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими абстрактными дифференциала­ми. Так, например, дифференциал от x³ будет 3x²dx, причем мы пренебрегаем 3xdx² и dx³. Ес­ли мы сделаем соответствующее геометрическое построение, то получим куб, длина стороны которого х увеличивается на бесконечно малую величину dx. Допустим, что этот куб состоит из какого-нибудь легко

«ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ 584

возгоняемого химического элемента, скажем, из серы; допустим, что поверхности трех из его граней, образующих один угол, защищены, а поверхности трех других граней свободны. Ес­ли мы поместим этот серный куб в атмосферу из паров серы и в достаточной степени пони­зим температуру этой атмосферы, то пары серы начнут осаждаться на трех свободных гранях нашего куба. Мы не выйдем за пределы обычных для физики и химии приемов, если, желая представить себе этот процесс в чистом виде, мы допустим, что на каждой из этих трех гра­ней осаждается сперва слой толщиной в одну молекулу. Длина стороны куба х увеличилась на диаметр одной молекулы, на dx. Объем же куба х³ увеличился на разность между х³ и х³ + 3x²dx + 3xdx² + dx³, причем мы с тем же правом, как и математика, можем пренебречь dx³, т. е. одной молекулой, и 3xdx², т. е. тремя рядами, длиной в х + dx, линейно расположенных молекул. Результат одинаков: приращение массы куба равно 3x2 dx.

Строго говоря, у серного куба не бывает dx3 и 3xdx2 , ибо две или три молекулы не могут находиться в одном и том же месте пространства, и прирост его массы поэтому точно равен 3x²dx + 3xdx + dx. Это объясняется тем, что в математике dx есть линейная величина, но та­ких линий, не имеющих толщины и ширины, в природе самостоятельно, как известно, не существует, и, следовательно, математические абстракции имеют безусловную значимость только в пределах чистой математики, А так как и эта последняя пренебрегает 3xdx² + dx³, то здесь не получается никакой разницы.

Точно так же обстоит дело и при испарении. Когда в стакане воды испаряется верхний слой молекул, то высота всего слоя воды х уменьшается на dx, и дальнейшее улетучивание одного слоя молекул за другим фактически есть продолжающееся дальше дифференцирова­ние. А когда под влиянием давления и охлаждения горячий пар в каком-нибудь сосуде снова сгущается, превращаясь в воду, и один слой молекул отлагается на другом (причем мы впра­ве отвлечься от усложняющих процесс побочных обстоятельств), пока сосуд не заполнится доверху, то перед нами здесь имеет место в буквальном смысле интегрирование, отличаю­щееся от математического интегрирования лишь тем, что одно совершается сознательно че­ловеческой головой, а другое бессознательно природой.

Но процессы, совершенно аналогичные процессам исчисления бесконечно малых, имеют место не только при переходе из жидкого состояния в газообразное и наоборот. Когда дви­жение массы как таковое прекратилось в результате толчка

МАТЕМАТИКА 585

и превратилось в теплоту, в молекулярное движение, то что же произошло, как не диффе­ренцирование движения массы? А когда молекулярные движения пара в цилиндре паровой машины суммируются в том направлении, что они на определенную высоту поднимают поршень, превращаясь в движение массы, то разве они здесь не интегрируются? Химия раз­лагает молекулы на атомы, величины, имеющие меньшую массу и протяженность, но пред­ставляющие собой величины того же порядка, что и первые, так что молекулы и атомы на­ходятся в определенных, конечных отношениях друг к другу. Следовательно, все химиче­ские уравнения, выражающие молекулярный состав тел, представляют собой по форме диф­ференциальные уравнения. Но в действительности они уже интегрированы благодаря фигу­рирующим: в них атомным весам. Химия оперирует такими дифференциалами, взаимоотно­шение величин которых известно.

Но атомы отнюдь не являются чем-то простым, не являются вообще мельчайшими из­вестными нам частицами вещества. Не говоря уже о самой химии, которая все больше и больше склоняется к мнению, что атомы обладают сложным составом, большинство физиков утверждает, что мировой эфир, являющийся носителем светового и теплового излучения, со­стоит тоже из дискретных частиц, столь малых, однако, что они относятся к химическим атомам и физическим молекулам так, как эти последние к механическим массам, т. е. отно­сятся как d х к dx. Здесь, таким образом, в принятых в настоящее время представлениях о строении материи мы имеем перед собой также и дифференциал второго порядка, и ничто не мешает каждому, кому это доставляет удовольствие, предположить, что в природе должны быть еще также и аналоги для ах, ах и т. д.

Итак, какого бы взгляда ни придерживаться относительно строения материи, не подлежит сомнению то, что она расчленена на ряд больших, хорошо отграниченных групп с относи­тельно различными размерами масс, так что члены каждой отдельной группы находятся со стороны своей массы в определенных, конечных отношениях друг к другу, а к членам бли­жайших к ним групп относятся как к бесконечно большим или бесконечно малым величинам в смысле математики. Видимая нами звездная система, солнечная система, земные массы, молекулы и атомы, наконец, частицы эфира образуют каждая подобную группу. Дело не ме­няется от того, что мы находим промежуточные звенья между отдельными группами: так, например, между массами солнечной системы и земными массами

«ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ 586

мы встречаем астероиды, — из которых некоторые имеют не больший диаметр, чем, скажем,

_ „ „ 465

княжество Рейс младшей линии465 , — метеориты и т. д.; так, между земными массами и мо­лекулами мы встречаем в органическом мире клетку. Эти промежуточные звенья доказыва­ют только, что в природе нет скачков именно потому, что она слагается сплошь из скачков.

Когда математика оперирует действительными величинами, она тоже без дальних око­личностей применяет это воззрение. Для земной механики уже масса Земли является беско­нечно большой; в астрономии земные массы и соответствующие им метеориты выступают как бесконечно малые; точно таким же образом исчезают для нее расстояния и массы планет солнечной системы, лишь только астрономия, выйдя за пределы ближайших неподвижных звезд, начинает изучать строение нашей звездной системы. Но как только математики укро­ются в свою неприступную твердыню абстракции, так называемую чистую математику, все эти аналогии забываются; бесконечное становится чем-то совершенно таинственным, и тот способ, каким с ним оперируют в анализе, начинает казаться чем-то совершенно непонят­ным, противоречащим всякому опыту и всякому смыслу. Те глупости и нелепости, которыми математики не столько объясняли, сколько извиняли этот свой метод, приводящий странным образом всегда к правильным результатам, превосходят самое худшее, действительное и мнимое, фантазерство натурфилософии (например, гегелевской), по адресу которого матема­тики и естествоиспытатели не могут найти достаточных слов для выражения своего ужаса. Они сами делают — притом в гораздо большем масштабе — то, в чем они упрекают Гегеля, а именно доводят абстракции до крайности. Они забывают, что вся так называемая чистая математика занимается абстракциями, что все ее величины суть, строго говоря, воображае­мые величины и что все абстракции, доведенные до крайности, превращаются в бессмысли­цу или в свою противоположность. Математическое бесконечное заимствовано из действи­тельности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции. А когда мы под­вергаем действительность исследованию в этом направлении, то мы находим, как мы видели, также и те действительные отношения, из области которых заимствовано математическое отношение бесконечности, и даже наталкиваемся на имеющиеся в природе аналоги того ма­тематического приема, посредством которого это отношение проявляется в действии. И тем самым вопрос разъяснен.

МАТЕМАТИКА 587

(Плохое воспроизведение тождества мышления и бытия у Геккеля. Но и противоречие непрерывной и дискретной материи; см. у Гегеля)⁴⁶⁶.

* * *

Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать ма­тематически не только состояния, но и процессы: движение.

* * *

Применение математики: в механике твердых тел абсолютное, в механике газов прибли­зительное, в механике жидкостей уже труднее; в физике больше в виде попыток и относи­тельно; в химии простейшие уравнения первой степени; в биологии = 0.

«ДИАЛЕКТИКА ПРИРОДЫ». ЗАМЕТКИ И ФРАГМЕНТЫ 588