Модельный подход

     И. В. Гете: Важное не должно быть во власти второстепенного".

В науке есть свои правила игры.

Закон выявляется с помощью моделей.

Основа моделирования - упрощение и идеализация ситуации.

Модели - это ступеньки на пути к реальной действительности.

Любое сложное явление упрощается: выделяют значимые факторы и пренебрегают незначимыми. В одной задаче пренебрегают формой объекта, в другой - размерами, в третьей структурой и т. д. Практически создается абстрактный объект, информация о котором сжимается, интегрируется. Сжатие информации приводит к потере незначимых факторов и выделению значимых.

Наука намеренно подчеркивает и преувеличивает определенные стороны действительности.

Фундаментом моделирования, отсекающим неверные пути, служат законы сохранения, интуиция и здравый смысл.

Экспериментатор

1. Прежде чем ставить эксперимент или производить какие-то вычисления, человек создает в своем уме некую модель тех явлений, которые он хочет изучить, исследовать.

2. Анализируя модель, учёный делает вывод, каким должен быть результат эксперимента. Он ожидает, что если собрать такой-то прибор, то стрелки будут показывать то-то и то-то. Он собирает такой прибор, ставит эксперимент и убеждается, что стрелки ведут себя нужным образом. Он с удовлетворением говорит, что его модель достаточно точно отражает исследуемое явление.

Теоретик, имея запас некоторых законов природы, - или придумывая новый закон, - делает из него выводы и смотрит, согласуются ли эти выводы с тем, что получает экспериментатор.

    Таким образом, основное в деятельности естествоиспытателей - это исследование окружающего мира, через его моделирование.

Слово "модель" употребляется в максимально широком смысле (любое словесное описание - это уже модель).

Первые попытки моделирования: моделями были процедуры (схемы) счета конкретных вещей (следы обнаруживаются в японском языке. В этом языке существуют специальные группы числительных для круглых предметов, для длинных предметов, для живых предметов и так далее. Можно сделать вывод, что система японских числительных представляет собой некоторый рудимент хода мыслей, в котором люди пришли к абстрактному понятию числа. Только на очень высокой ступени развития они пришли к той мысли, что вообще конкретная суть предметов роли не играет, и счет можно производить в совершенно абстрактной форме.)

Модели должны быть не слишком просты - иначе можно не уловить существенных черт явления - но и не слишком сложны - иначе модель нельзя будет исследовать.

Вопрос: почему метод моделирования приводит к успеху?

Почему мы познаем мир посредством моделей?

Возможно ли изучение природы без моделей, на основании каких-то совершенно других принципов? А если да, то насколько эффективны такие методы познания?

Экспериментально установленный факт № 1: природу мы познаем с помощью моделей. (Возможны, конечно, подходы в рамках религиозного или мистического опыта, но это полностью выходит за пределы нашей темы).

   Экспериментально установленный факт № 2:  рассматривая модели в разных науках, мы вдруг обнаруживаем группы чрезвычайно сходных моделей и результаты, полученные в одной модели, могут быть применены в другой.

Например, изменение численности хищника в системе "хищник-жертва" очень похоже на изменение силы тока в колебательном контуре.

Одно из широко распространенных объяснений состоит в том, что этот параллелизм обусловливается материальным единством природы.

    Схожесть моделей: модели каждого класса имеют общую схему, т.е. схожие модели - это модели, которые основываются на одной и той же схеме (схемы как таковые, безотносительны к их конкретному воплощению).

    Математикой называется наука, изучающая все возможные - хотя бы мысленные - схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем).

Математика не есть наука о моделях окружающего мира, а есть наука о схемах этих моделей. Математики детально изучают имеющиеся схемы моделей и обобщают опыт их применения.

Многочисленность разнообразных схем моделей, накопленных в математике, не позволяет практику (скажем, инженеру) их все знать. Поэтому задача математиков - помочь практике в создании моделей по еще не получившим широкой известности схемам.

Величайшее открытие всех времен то, что информацию можно записать с помощью математического кода.

Формулы - это обозначения слов знаками, что ведет к огромной экономии времени, места, символов. Формула компактна, наглядна, проста, ритмична.

Математика потенциально одинакова для всех миров. Орбита Луны и траектория падения камня на Земле - частные случаи одного и того же математического объекта - эллипса. Универсальность дифференциальных уравнений позволяет применить их к объектам разной природы: колебания струны, процесс распространения электромагнитной волны и т.д.

     А. Пуанкаре: "Каждая область сознания является наукой настолько, насколько в ней содержится математика".

И. Кант "Математика - это искусство называть разные вещи одним именем."

Роберт Оппенгеймер; «Математика – это необходимое условие логичности, и если мы уверены в чём-то, так это в том, что природа может быть трудна для постижения, но она не бывает непоследовательна».

В математике нужно постоянно придумывать принципиально новые схемы моделей. Иногда - при редкой удаче - это удается сделать, так сказать, "из головы". Но, как правило, эти схемы приходится с большим трудом извлекать из реальных моделей. Каждый раз это - крупный успех, знаменующий скачок в развитии математики, открывающий новое поле работы. Поэтому для развития математики необходимо постоянное обращение к практике.    

 Компьютеризация лишь сделала безнадежно устаревшими многие излюбленные схемы моделей и позволила разработать другие, более эффективные.

Вопрос: может ли наука существовать без моделей и моделирования?

   

 –биология (в которую математические модели только начали проникать);

– эстетика ("кибернетические теории искусства").

Тот факт, что разработанные в математике схемы моделей - так уж сложилось исторически - ориентированы в первую очередь только на "точные" науки естествознания, является основным дефектом современной математики.

В процессе "математизации" общие принципы должны не привноситься извне, а возникать на базе анализа конкретного материала той или иной области человеческой деятельности.

Пример, общеизвестно, что уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами - это схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они не возникали.

    

Целью процесса моделирования являются: - анализ наблюдаемых явлений;

- поиск физико-химических закономерностей, которым это явление подчиняется, а также связей, присущих его частям;

- построение на их основе физико-химических моделей - «эквивалентов» объекта изучения («идеализация» объекта – отбрасывание несущественных деталей – при построении моделей материального баланса не учитывают дефекта массы из-за радиоактивного распада);

- подбор подходящего математического аппарата для описания физико-химических процессов (построение математической модели);

- выбор подходящего алгоритма для реализации математической модели (последовательность математических и логических операций для вычисления заданных величин с заданной степенью точности);

-создание компьютерных программ (перевод модели и алгоритма на доступный компьютеру язык);

- проверка гипотез и теорий

а) эксперимент

б) численный эксперимент – вычисления на компьютере– это моделирование работы системы для некоторого набора параметров системы. Как правило, этим методом пользуются, когда экспериментальные данные о поведении системы ограничены.

- прогноз временного поведения процесса при различных условиях.

Верификация и идентификация моделей. Верификация – это проверка прогнозирующей способности модели.

Идентификация – определение параметров модели.

Модификация моделей. Упрощенные модели иногда называют минимальными.

Создав триаду: «модель» «алгоритм»  «программа» исследователь получает универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, проверяется путем сравнения с независимыми знаниями (эксперименты с реальными объектами). Далее вычисления с использованием верифицированной модели позволяют получать исчерпывающую информацию об объекте исследований.

Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет физики, химии и биологии, а напротив, помогает разобраться в очень сложных процессах.

Например, при исследовании ионообменных мембран в процессе электродиализа при токах выше предельного наблюдаются осцилляции электрического потенциала (б). Однако они возникают не всегда. Результаты математического моделирования (решение уравнений Нернста-Планка-Фурье и Навье-Стокса) позволили объяснить это явление возникновением гравитационной конвекции (рисунок а), в процессе которой возникающие вихри доставляют порции более концентрированного раствора к поверхности мембран.

система уравнений имеет следующий вид:

, (1)

, , (2)

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

, (7)

где  – градиент,  – оператор Лапласа, – разность, приращение; – плотность архимедовых сил плавучести, – изменение плотности, – характерная плотность раствора, – ускорение свободного падения, – потоки, концентрации и напряженность электрического поля, – коэффициенты диффузии и заряды ионов i-го сорта, R_i – источник ионов, обусловленный химической реакцией, ,  – коэффициенты кинематической вязкости и теплопроводности, – плотность электрического тока, – скорость течения жидкости, F – число Фарадея, R – универсальная газовая постоянная, P – давление, T – абсолютная температура, – удельная теплоемкость раствора, Q – плотность заряда фиксированных групп ионов в мембране (Q = 0 для раствора и Q  0 для мембраны). При этом – неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y, z, а остальные величины считаются известными.

Здесь (1) – уравнение Нернста-Планка c учетом соотношения Нернста-Эйнштейна D_i = RTu_i, (2) – условие материального баланса, (3) – условие электронейтральности, (4) – условие протекания электрического тока, (5) – уравнение теплопроводности, (6),(7) – уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска.

Рисунок 1 - Результаты математического моделирования (а) и хронопотенциограммы (б) мембранных систем

Процесс моделирования сопровождается при необходимости улучшением и уточнением всех звеньев триады.

Основные принципы моделирования:

1. Использование фундаментальных законов природы (закон сохранения материи, энергии, импульса; закон сохранения электронейтральности).

2. Вариационные принципы: из всех возможных вариантов поведения объекта выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. (Обычно некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при переходе его из одного состояния в другое).

3. Применение аналогий при построении моделей с уже изученными объектами (если нет уверенности в существовании таких законов или пока не хватает знаний: автоколебательные химические реакции и рост популяции населения)

В 1951 Б. П. Белоусов обнаружил автоколебания в реакции окисления бромата калия КBrO₃ малоновой кислотой HOOC-CH₂-COOH в кислой среде в присутствии катализатора — ионов церия Ce⁺³.

Течение реакции меняется со временем и раствор периодически меняет цвет от бесцветного (Ce⁺³) к жёлтому (Ce⁺⁴) и обратно. Эффект ещё более заметен в присутствии индикатора pH ферроина. Наиболее эффектно выглядит колба, если вместо ионов церия в неё поместить ионы железа Fе²⁺. Тогда раствор в колбе может часами со строгой периодичностью изменять цвет во всем видимом диапазоне от рубиново-красного до небесно-голубого.

В 1969 Жаботинский (аспирант Белоусова) с коллегами обнаружили, что если реагирующую смесь разместить тонким плоским слоем, в нём возникают волны изменения концентрации, которые видны невооружённым глазом в присутствии индикаторов.

Данные промысла зайца (сплошная кривая) и рыси (пунктирная) в Гудзоновом заливе в течение второй половины XIX века

Экспериментальные данные, полученные в реальной многокомпонентной и открытой среде с множеством неучтенных взаимодействий, указывают на факт наличия устойчивых колебаний популяций.

Попытки математического описания динамики численности отдельных биологических популяций и сообществ имеют солидную историю. Одна из первых моделей динамики роста популяций принадлежит Т. Мальтусу (1766–1834), английскому экономисту и священнику.

В своем труде «Опыт о законе народонаселения» (1798 г.) Мальтус утверждал, что в человеческом обществе, как и во всей живой природе, существует абсолютный закон безграничного размножения особей. При этом рост населения Земли идет в геометрической прогрессии, в то время как средства существования увеличиваются лишь в арифметической.

Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.

Первым успехом математической экологии стала модель, предложенная итальянским математиком Вито Вольтерра (1860 – 1940) в книге «Математическая теория борьбы за существование» (1931 г.).

где N₁, N₂ – число жертв и хищников, соответственно, в момент t; a₁, a₂ – постоянные коэффициенты; относительный прирост в единицу времени численности жертв, живущих изолированно (в отсутствие хищников), равен е₁, в то время как хищники, отделенные от своих жертв, постепенно умирают с голоду, и относительное падение их численности в единицу времени составляет е₂.

Совпадение уравнений, описывающих колебания пружинного маятника и численность особей в системе «хищник – жертва», позволяет утверждать, что число хищников и жертв должно изменяться колебательным образом с периодом .

Интерактивная модель эволюции хищник-жертва имеется на http://www.nature.ok.ru/models/prey_predator.htm

Изменение численности акул и скумбрий в воображаемом океане (результаты моделирования на компьютере). По ординате - число особей, по абсциссе - время в относительных единицах, T_с и T_а - интервалы времени, через которые у скумбрий и акул, соответственно, появляется потомство. Верхние кривые - изменение численности скумбрий, нижние - акул

Рассмотрим систему

При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону

U = U_mcos wt (4.16)

заряд на его обкладках изменяется по закону:

Из сравнения (4.16) и (4.17) следует два вывода: ток по фазе на /2 при разрядке конденсатора опережает колебания напряжения на его обкладках и емкостное сопротивление х_с, равное отношению амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде силы тока, равно:

Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости конденсатора и циклической частоте переменного тока.

4. Иерархический подход к построению моделей. Лишь в редких случаях бывает оправданным построение полных математических моделей даже очень простых объектов (с учетом всех факторов, учитывающих их поведение). Идут «от простого к сложному», когда следующий шаг делается после изучения достаточно простой модели.

Имитационное моделирование.

При построении имитационного моделирования наряду с классическими уравнениями, отражающими законы физики и химии, используются эмпирические уравнения. Эмпирические уравнения используются в том случае, когда система является очень сложной и трудно понять механизмы её функционирования.

• Для получения эмпирического уравнения проводят серию экспериментов.

• Для минимизации затрат на экспериментальную работу используется наука – планирование эксперимента.

Пример. Допустим, что требуется перевести систему из состояния А в состояние В. Для того, чтобы это сделать, нужно определить значение управляющих параметров, которые обеспечивают решение данной задачи. Обычно набор таких параметров бывает не единственным, тогда задача уточняется: находится такой набор параметров, который позволяет минимизировать некие целевые функции.

Пример построения модели: Предмет сбрасывается с некоторой высоты H. Определить, на какой высоте он находится в момент времени t.

1. Подход с позиций 2-го закона Ньютона (фундаментальный этап):

- расстояние, на которое опускается предмет за время t.

2- Имитационный подход:

− поправка на сопротивление воздуха и ветер, F − функция формы предмета, W − скорость ветра.