Пример выполнения

1. Генерация массива N случайного процесса N(t) для нормального закона распределения вероятности случайных величин с математическим ожиданием mN и среднеквадратическим отклонением N. Размер массива - m2 значений.

m:=2000 m2:=2m+1 T:=200 mN:=0 N:=2 N₀:=0

N:=rnorm(m2,mN,N)

График участка реализации случайного процесса приведен на рис. 52.

Рис. 52. Фрагмент реализации случайного процесса

2. Вычисление корреляционной функции R_N(t).

Процедура вычисления:

Обращение к процедуре

^.

График корреляционной функции показан на рис. 53. Средний квадрат случайного процесса R₀=4.094

Рис. 53. Корреляционная функция случайного процесса

3. Вычисление спектральной плотности:

^.

График участка спектральной плотности приведен на рис. 54.

Средний квадрат случайного процесса для дискретной спектральной плотности определяется как:

^.

Результат вычислений должен быть достаточно близок к полученному ранее R₀ .

Рис. 54. Участок дискретной спектральной плотности

4. Прохождение случайного процесса через линейное звено, выполняющего фильтрацию исходного случайного процесса типа «белый» шум, моделируется путем решения описывающего звено конечно-разностного уравнения, в правую часть которого подставляются значения исходного случайного процесса. Параметры звена и конечно-разностное уравнение для расчета сигнала на выходе звена:

^,

^,

^,

График процесса приведен на рис. 55

Рис. 55. Сигнал на выходе линейного звена

Корреляционная функция сигнала на выходе звена (рис. 56) вычисляется аналогично корреляционной функции исходного случайного процесса: .

Рис. 56. Корреляционная функция y(t)

Средний квадрат случайного процесса y(t) равен: R₀=0.082.

Спектральную плотность сигнала y(t) (рис. 57) вычислим для контроля двумя методами: через дискретное преобразование Фурье сигнала y(t) и как произведение спектральной плотности исходного случайного процесса и квадрата АЧХ звена:

Рис. 57. Спектральная плотность y(t)

Средние квадраты случайного процесса y(t):

.

5. Влияние случайного процесса на ошибку регулирования рассмотрим для нулевого задания g. Для замкнутой системы (рис. 50) с ПИД-регулятором и реальным интегрирующим звеном в качестве объекта управления передаточная функция по каналу возмущение – выход равна:

^.

Поскольку задание нулевое, ошибка регулирования противоположна по знаку выходу системы т.е. e(t)= –y(t), и передаточная функция по каналу возмущение – ошибка также равна передаточной функции возмущение – выход, взятой со знаком минус:

^.

Частотную характеристику запишем по передаточной функции

Зададим параметры объекта Ko:=2 , T1:=3, упростим частотную характеристику и запишем функцию квадрата АЧХ:

Используя спектральные плотности исходного случайного процесса SNk и фильтрованного Sk , задав коэффициенты ПИД-регулятора, построим графики квадрата АЧХ и спектральных плотностей для исходного (рис. 58) и фильтрованного (рис. 59), случайного процесса, а также получим значения среднего квадрата ошибки (дисперсии ошибки): Ki:=1 Kn:=2 Kd:=4

Рис. 58. Спектральная плотность ошибки регулирования, исходного «белого» шума и квадрат АЧХ

Рис. 59. Спектральная плотность ошибки регулирования,

фильтрованного случайного процесса и квадрат АЧХ

Последовательно изменяя значения коэффициентов ПИД – регулятора, проведем анализ влияния коэффициентов на область частот пропускания замкнутой системы (положение области, ее ширину) и как в зависимости от перекрытия этой области со спектральной плотностью входного процесса изменяется дисперсия ошибки регулирования.