- •Раздел 3.
- •Глава 1. Функции. Основные определения.
- •Пример 3. Найти область определения функции .
- •Глава 2. Определение предела функции. Определение бесконечно малой и бесконечно большой величины.
- •Предел функции
- •Глава 3. Правила вычисления пределов функции.
- •Пример 3. Вычислить .
- •Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.
- •Пример 4. Вычислить .
- •Глава 5. Непрерывность функции. Односторонние пределы.
Глава 3. Правила вычисления пределов функции.
Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х0 есть величина бесконечно малая, т. е., если ,
то
f (x) = A + (х) (3.1)
где (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х0.
Доказательство. Обозначим за (х) разность между функцией и ее пределом
(х) = f (x) – A.
Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию x0 - х< . Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что (х) есть величина бесконечно малая.
Справедливы следующие свойства пределов функций:
1. Если предел функции существует, то он единственен.
2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.
(3.2)
Если при хx0 существуют конечные пределы функций f(x) и g(x)
(3.3)
то справедливы следующие утверждения
3. . (3.4)
Действительно
где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е.
α(х) + β (х) = γ(х),
то
.
Отсюда следует, что
(3.5)
5. (3.6)
6. (3.7)
7. (3.8)
Пример 1. Вычислить .
Решение. Так как
, а ,
то по теореме о пределе частного получаем, что .
Как правило применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие неопределенные ситуации: , , , , .
Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.
При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.
Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.
Пример 2. Вычислить .
Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим
, так как и .
Пример 3. Вычислить .
Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим
.
Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.
Теорема. Если функция неотрицательна в окрестности точки x0, то и ее предел при xx0 тоже величине неотрицательная
. (3.9)
Доказательство ведем методом «от противного».
Предположим, что A < 0, т.е. – A > 0. В определении предела подразумевается, что в качестве ε можно выбрать любое положительное число. Возьмем , по нему найдем зависящее от положительное число () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x0 - х< , справедливо . Раскроем модульное неравенство
Рассмотрим правую часть неравенства и перенесем А направо. Получим
или
.
Это означает, что функция отрицательна, что противоречит условию теоремы.
Следствие. Если f (x) < g (x), то и . (3.10)
Первый замечательный предел
. (3.11)
Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 4.1)
Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично.,
Площадь треугольника ВОА
.
Рис. 4.1. Первый замечательный предел.
Площадь сектора ВОА
.
Площадь треугольника DОА
.
Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение
т.е.
Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x). Получим
Или, для обратных величин
Так как , то и . Что и требовалось доказать.
Следствие: (3.12)
Второй замечательный предел, число е.
Число е определяется как следующий предел
, или , где число е = 2,718…., (3.13)
Число е является основанием так называемых натуральных логарифмов .
Пример 1. Вычислить .
Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель
.
Пример 2. Вычислить .
Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю
.
Пример 3. Вычислить .
Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.
.
Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим
.