- •Раздел 3.
- •Глава 1. Функции. Основные определения.
- •Пример 3. Найти область определения функции .
- •Глава 2. Определение предела функции. Определение бесконечно малой и бесконечно большой величины.
- •Предел функции
- •Глава 3. Правила вычисления пределов функции.
- •Пример 3. Вычислить .
- •Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.
- •Пример 4. Вычислить .
- •Глава 5. Непрерывность функции. Односторонние пределы.
Пример 4. Вычислить .
Решение. Так как , а , то имеет место неопределенность вида .
Выполним преобразования
.
Пример 5. Вычислить .
Решение. Так как и , то имеет место неопределенность вида .
Возможны 2 способа решения примера.
1-й способ. Вспомним, что есть замечательный предел .
Используем этот замечательный предел, преобразовав исходный предел следующим образом:
.
Имеем
(здесь ),
и
.
Таким образом,
.
2-й способ.
.
.
Причем при . Выразим из равенства
; ; .
Таким образом,
.
Выполним замену
.
Так как
, а ,
то в итоге предел равен .
Глава 5. Непрерывность функции. Односторонние пределы.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также
(5.1)
Точки, в которых равенство (5.1) не выполняется, называются точками разрыва функции. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Обозначим за х разность между двумя значениями аргумента х = х2 –х1, а за f (x) разность между двумя значениями функции f(x) = f(x2) - f(x1). Тогда, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если х 0, то и f (x) 0.
Введем понятие односторонних пределов. Число А называется пределом функции f(x) слева, если хx0 оставаясь все время меньше х0 (x < x0). Запись предела слева
Аналогично вводится понятие предела справа, в этом случае хx0 оставаясь все время больше х0 (x > x0). Запись предела справа
Для непрерывной функции предел слева совпадает с пределом справа и равен значению функции в точке х0
= = f(x0).
В точках разрыва цепочка равенств нарушается. Разрыв называется «разрывом первого рода», если все пределы конечны и «разрывом второго рода», если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.
Если хотя бы один из пределов равен бесконечности в точке х = х0 , то говорят, что в этой точке есть вертикальная асимптота. Функция, имеющая на конечном промежутке конечное число разрывов первого рода называется кусочно непрерывной.
Все элементарные функции, а также любая их суперпозиция непрерывны в своей области определения.
Пример 1. Найти точки разрыва функции.
если
Решение. На интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .
Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.
Рассмотрим точку .
.
Вычислим односторонние пределы
, .
Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.
Рассмотрим точку .
,
, ,
- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 5.1).
Рис. 5.1.
Пример 2. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.
Решение. Область определения функции
Точка разрыва . Найдем односторонние пределы
; .
Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 5.2.
Рис. 5.2.