Контрольные вопросы

1. Дайте определения понятиям следующих потоков вызовов: детерминированному и случайному, однородному и неоднородному, финитному, регулярному и сингулярному.

2. Приведите основные способы определения потоков вызовов.

3. Каковы основные характеристики потоков вызовов? Дайте определения понятиям: интенсивность и параметр потока.

4. Каковы принципы классификации потоков вызовов? Дайте определения понятиям: стационарность потока, ординарность потока, поток без последействия, поток с последействием.

5. Дайте определение понятию простейшего потока вызовов. Покажите математическую модель такого потока.

6. Каковы основные характеристики простейшего потока? Покажите характер зависимости вероятности p_k(t) от k при различных значениях параметра потока .

7. Какому закону следует функция распределения промежутков между вызовами простейшего потока? Покажите характер зависимости этой функции от параметра потока и заданных длин промежутков. В чем заключается основное свойство показательного закона распределения промежутков между вызовами?

8. Дайте определение понятию «нестационарный пуассоновский поток».

9. Дайте определение понятию «неординарный пуассоновский поток».

10. Дайте определение понятию «поток с простым последействием». Каковы особенности симметричного и примитивного потоков?

11. Каковы особенности потока с повторными вызовами?

12. Дайте определение понятию «поток с ограниченным последействием». Какие частные случаи такого потока рассматриваются, каковы их основные особенности?

13. В чем заключаются основные свойства потока Пальма?

14. Дайте определение понятию «поток Эрланга m-го порядка». В чем различие операции просеивания простейшего потока, в результате которой образуется поток Эрланга m-го порядка, и рекуррентной операции просеивания?

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Нагрузка. Характеристики качества обслуживания

3.1. Поступающая, обслуженная, потерянная нагрузки

При обслуживании потока вызовов коммутационной системой каждый вызов занимает выход системы на некоторый промежуток времени. Если например, выход одновременно обслуживает только один вызов, то загрузка выхода может характеризоваться суммарным временем обслуживания всех вызовов, а коэффициент полезного действия или использование выхода можно оценивать отношением суммарного времени обслуживания всех вызовов ко времени действия выхода. В теории телетрафика суммарное время обслуживания вызовов принято называть нагрузкой.

Следует различать нагрузки: поступающую, обслуженную и потерянную.

Обслуженная коммутационной системой за промежуток времени [t₁, t₂) нагрузка y₀(t₁, t₂) представляет собой сумму времен занятия всех выходов коммутационной системы, обслуживающей поступающий на ее входы поток вызовов за рассматриваемый промежуток времени.

Пусть на входы коммутационной системы, имеющей  выходов, поступает поток вызовов. Будем наблюдать за каждым из выходов в течение промежутка времени [t₁, t₂). Обозначим через _i сумму отрезков времени, в течение которых i-й выход был занят за время [t₁, t₂). Тогда

Из определения обслуженной нагрузки следует свойство аддитивности нагрузки: обслуженная за некоторый промежуток времени нагрузка равна сумме нагрузок, обслуженных на отдельных непересекающихся отрезках времени, составляющих этот промежуток:

За единицу измерения нагрузки принято одно часо-занятие (1 ч-зан.). Одно часо-занятие – это такая нагрузка, которая может быть обслужена одним выходом в течение часа при непрерывном занятии этого выхода.

По аналогии с понятиями мгновенной и средней интенсивностей потоков вызовов можно рассматривать мгновенную и среднюю интенсивности нагрузки. Однако в теории и практике расчета пропускной способности коммутационных систем обычно используется средняя интенсивность нагрузки, которую для краткости будем называть интенсивностью нагрузки. Под интенсивностью нагрузки понимается нагрузка за единицу времени, обычно за 1 ч. За единицу измерения интенсивности нагрузки принят эрланг (Эрл) по имени А. К. Эрланга. Один эрланг представляет собой нагрузку в одно часо-занятие за 1 ч.

В практике измерения обслуженной нагрузки широкое применение находит следующая теорема о количественной оценке интенсивности обслуженной нагрузки: интенсивность обслуженной нагрузки, выраженная в эрлангах, количественно равна среднему числу одновременно занятых выходов, обслуживающих эту нагрузку. Пусть в течение  часов непрерывно регистрируется число одновременно занятых выходов коммутационной системы на входы которой поступает стационарный поток вызовов. Пусть в результате наблюдений оказалось, что в течение времени t₁ было занято ₁ выходов, в течение времени t₂–₂ выходов и т. д. В общем виде можно представить, что в течение времени t_i была занято _i выходов, причем

где k – число значений, которые принимала величина  в течение  часов. Суммарное время занятия всех выходов коммутационной системы за время t_i выразится произведением _it_i. За промежуток времени  суммарное время занятия всех выходов выразится суммой Эта сумма по определению является нагрузкой, обслуженной всеми выходами коммутационной системы за время . Интенсивность обслуженной нагрузки будет равна

С другой стороны, доля времени t_i/=_i, в течение которого было занято _i выходов, является частостью появления значения _i. Среднее число одновременно занятых выходов может быть рассчитано как средневзвешенное по весам _i(i=1, 2, ..., k):

Подставляя в (3.3) _i=t_i/ и учитывая (3.1), получим

Из (3.2) и (3.4) следует y₀=, что и требовалось доказать.

Под поступающей на коммутационную систему за промежуток времени [t₁, t₂) нагрузкой y(t₁, t₂) понимается такая нагрузка, которая была бы обслужена коммутационной системой за рассматриваемый промежуток времени, если бы каждому поступающему вызову тотчас было предоставлено соединение со свободным выходом.

За единицы измерения поступающей нагрузки принято одно часо-занятие, интенсивности поступающей нагрузки – один эрланг. Для количественной оценки интенсивности поступающей нагрузки можно воспользоваться следующей теоремой: интенсивность поступающей нагрузки, создаваемой простейшим потоком вызовов, количественно равна математическому ожиданию числа вызовов, поступающих за время, равное средней длительности одного занятия.

П усть на входы коммутационной системы поступает простейший поток вызовов с интенсивностью . Будем считать, что длительность занятия Т – конечная случайная величина 0TТ_тах, не зависящая от потока вызовов, со средним значением t. Рассмотрим промежуток времени [t₁, t₂) такой, что t₂–t₁>Т_тах. Математическое ожидание числа вызовов, поступивших на коммутационную систему за промежуток времени [t₁, t₂), определится как (t₁, t₂)=(t₂–t₁). Часть этих вызовов оканчивается к моменту t₂ (рис. 3.1а), а другая часть – не оканчивается (рис. 3.1б). Обозначим математическое ожидание числа вызовов, поступивших за промежуток времени [t₁, t₂) и не окончившихся к моменту t₂, через . Кроме вызовов (t₁ t₂), на коммутационную систему за промежуток времени [t₁, t₂) создают нагрузку вызовы, которые поступили до момента t₁ и к моменту t₁ не окончились. Обозначим математическое ожидание числа вызовов, которые начались до момента t₁ и окончились в промежуток времени [t₁, t₂), через  (рис. 3.1в), а математическое ожидание числа вызовов, которые начались до момента t₁ и окончились после момента t₂, – через  (рис. 3.1г). Так как t₂–t₁>T_max, то =0. Для простейшего потока вызовов =.

По определению математическое ожидание нагрузки, поступающей на коммутационную систему за промежуток времени [t₁, t₂),

а интенсивность поступающей нагрузки

Произведение t представляет собой математическое ожидание числа вызовов, поступающих за среднюю длительность одного занятия. Теорема доказана.

Потерянная коммутационной системой в течение промежутка времени [t₁, t₂) нагрузка y_п(t₁, t₂) представляет собой разность между поступающей и обслуженной нагрузками за рассматриваемый промежуток времени.

В теории телетрафика в большинстве случаев рассматривается обслуживание случайных потоков вызовов. При этом поступающая, обслуженная и потерянная нагрузки являются случайными величинами. Из определений указанных нагрузок следует, что обслуженные, поступающие и потерянные вызовы имеют одну и ту же среднюю длительность занятия. На практике данное условие часто не выполняется, поэтому при прогнозировании нагрузки и расчете объема оборудования это необходимо учитывать.