8.7. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы

Рассмотрим следующую модель:

в выходы одвозвеньевой идеально симметричной неполнодоступной схемы с доступностью d включено  линий;

на входы схемы поступает простейший поток вызовов с параметром ;

длительность обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону F(t)=1–е^–t;

если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой нет доступа к свободной линии (все d линий заняты), то вызов теряется. Требуется определить вероятность потерь.

Как было указано в гл. 4, для любого однородного транзитивного марковского процесса с конечным числом состояний переходныe вероятности p_ji(t) того, что система, находившаяся в состоянии j, за время t перейдет в состояние i, имеют предел, не зависящий от начального состояния j. Если V(t) –число занятых линий в неполнодоступном пучке в момент времени t, то V(t) является случайным процессом с конечным числом состояний, поскольку число линий в НС конечно.

П роцесс V(t) является марковским, так как будущее течение его не зависит от прошлого, если известно настоящее, т. е. известно V(t₀). Кроме того, этот процесс является однородным, поскольку переходные вероятности р_ji(t) зависят лишь от длины интервала t=t₂–t₁ и не зависят от расположения интервала на оси времени (т. е. от t₂ и t₁). И, наконец, V(t) является транзитивным марковским процессом. Это следует из того, что возможен переход из любого состояния j в любое состояние i пучка. Иначе говоря, переходная вероятность p_ji(t) отлична от нуля. Последнее можно подтвердить следующими соображениями. Если разбить интервал t на две части, то вероятность перехода из состояния j в нулевое состояние за первую часть интервала при условии, что не поступит ни одного вызова и освободятся все j занятых линий пучка, будет отлична от нуля. Точно так же вероятность перехода системы из нулевого состояния в состояние i (если произойдет i занятий и ни одного освобождения) за вторую часть интервала будет также отлична от нуля. Переходная вероятность P_ji(t) не меньше произведения вероятностей переходов из состояния j в нулевое состояние и из нулевого состояния в состояние i и поэтому отлична от нуля.

В общем случае неполнодоступная схема, в выходы которой включено  линий, имеет 2^ микросостояний. Для идеально симметричной схемы достаточно рассмотреть только +1 макросостояний аналогично тому, как это имеет место для полнодоступного пучка.

Запишем параметры потоков рождения и гибели (занятий и освобождений линий) для рассматриваемого процесса (рис. 8.6). Так как на входы схемы поступает простейший поток вызовов, то при i<d ₀=_= ... =_d-1=. Переход из состояния d в состояние d+1 возможен только в том случае, если вызов поступает от источника нагрузочной группы, в которой не занята хотя бы одна из d доступных линий. Если же вызов поступит от источника нагрузочной группы, в которой заняты все d доступных линий, то вызов теряется. Обозначим через _i условную вероятность потери вызова при i занятых линиях. В идеально симметричной неполнодоступной схеме при i<d _i=0, а при id _i>0. Тогда вероятность того, что в состоянии i поступивший вызов займет свободную линию, будет равна 1–_i.

Следовательно, для id _i,=(1–_i). Таким образом,

Параметр потока освобождений

По аналогии с (4.12) при конечном числе состояний стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями:

Подставляя (8.16) и (8.17) в (8.18) и учитывая, что для i<.d _i=0, получим

Для получения выражения для вероятности потерь воспользу-

емся формулой полной вероятности:

Так как при i<d _i=0, то

Подставляя в (8.20) выражение для р_i из (8.19), получим

В (8.21) при x<d. Для того чтобы воспользоваться (8.21), необходимо вычислить _i.

В общем случае для произвольной НС условные вероятности _i зависят не только от числа i занятых выходов, но и от интенсивности поступающей нагрузки, структуры НС и алгоритма установления соединения. Для практически используемых НС определение условных вероятностей _i представляет собой сложную комбинаторную задачу. Определение всех _i в данном случае практически невозможно из-за большого числа состояний системы.

Особое место среди НС занимают идеально симметричные неполнодоступные схемы, так как в этих схемах число нагрузочных групп g=C^d_ и занятие d фиксированных линий блокирует одну определенную нагрузочную группу (C^d_d=l).

Определим для идеально симметричной схемы число нагрузочных групп, блокируемых в состоянии i занятых выходов, если id. Очевидно, что число заблокированных групп равно числу способов выбора d выходов из i занятых выходов, т. е. C^d_i. Следовательно, условная вероятность того, что при i занятых выходах идеально симметричной НС поступающий вызов попадает в заблокированную группу, равна отношению числа заблокированных групп к общему числу групп. Поэтому условная вероятность блокировки _i будет равна

Соотношение (8.22) справедливо, если возможные размещения свободных и занятых линий равновероятны, что имеет место в силу симметрии идеальной НС. Подставляя выражение для _i в формулу для потерь (8.21), получим

Эта формула называется формулой Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы. Иногда ее называют третьей формулой Эрланга и обозначают B_,d(у). Формула (8.23) табулирована [30].