книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

220 Глава 4

по значениям аналитической функции в малой первона­ чальной области можно построить вето эту функцию. Этот процесс известен как аналитическое продолжение [38].

Критики критерия Рэлея утверждают, что, поскольку преобразование Фурье (аналитическая функция) изобра­ жения конечных размеров известно в ограниченной обла­ сти, можно построить полное преобразование Фурье с помощью аналитического продолжения и, таким обра­ зом, по рэлеевскому пределу полностью восстановить изображение объекта с любой степенью точности.

Математически этот аргумент является строгим. Имеют­ ся и другие вполне строгие положения, которые, однако, невозможно реализовать на практике. Рассмотрим, напри­ мер, сигнал, переданный удаленным радиопередатчиком. Игнорируя квантовую природу излучения, можно утвер­ ждать, что сигнал этого передатчика идет в пространстве произвольно далеко. Копечио, количество энергии, дости­ гающей некоторой точки пространства, убывает с ростом расстояния между передатчиком и приемником. Однако решение задачи с помощью теории Максвелла дает гаран­ тию, что в принципе сигнал уходит в пространство на любое расстояние. Единственная проблема — это обна­ ружение сигнала. Практически предел обнаружения сиг­ нала связан с неизбежным наличием шума. Если доста­ точно далеко разнести передатчик и приемник, то можно достичь такого пункта, где мощность сигнала исчезнет в тепловом шуме. Возможно, конечно, выделить сигнал из шума посредством специальных методов. Однако утвер­ ждать, что можно преодолеть произвольное расстояние с помощью передатчика даппой конечной мощности и сиг­ нала с данной полосой, поскольку сигнал по крайней мере в принципе всегда есть, бессмысленно, так как наличие шума накладывает определенные пределы на возможности, при которых можно выделить сигнал. Ограничения приема сигналов в присутствии шума рассмотрены Шенноном [39].

Утверждение, что рэлеевское ограничение не имеет отношения к теоретическому восстановлению изображе­ ния объекта, имеет ту же природу. В этот вопрос внес ясность Торальдо ди Франчиа. Мы рассмотрим его аргу­ мент, который основан на привлечении некоторых функ­ ций, называемых вытянутыми сфероидальными функция-

Линзы

221

ми. Свойства этих функций исследованы в ряде статей Ландау, Поллака, Слепяиа и Зоннеиблика КО, 41, 62, 631. Интересующее иас свойство этих функций % (и)

заключается		в том,	что	они	образуют полную	систему
функций	одновременно			как	в неограниченной	области
— оо ^	и ^	оо, так	и	в конечной области —и0/2 ^.и ^

<С и0/2. Это свойство выражается условиями ортогональ­ ности 1). Первое из них распространяется на неограниченпую область

j гИ (и) % (u)du=8ij	(4.6.11)
—оо
(бгJ- — символ Кронекера), а второе — на	конечную
область
uq/2	(4.6.12)
j /фг(гфЫ г0^и = Мгн
-ио/2

Фуикщгаф являются решениями интегрального уравнения

ио/2	(4-6-13)
= J

-и о/2

Параметр А.; есть собственное значение интегрального уравнения (4.6.13). Собственное значение А,г, так же как и функции г|р (и), зависит от константы с, определяемой соотношением

				c= ^ v 0u0.			(4.6.14)
Величина		интервала (— к0/2,			и0/2), внутри		которого
функции		ар£(и) ортогональны, определяет зависимость
х)	Здесь	допущена		неточность.	Если	система функции полна
в интервале (— оо,			оо),	то она автоматически полна в любом конеч­
ном	интервале.		Необычное свойство			сфероидальных	функций

заключается в том, что они оказываются ортогональными как в ин­ тервале (— оо, оо), так ы в некотором конечном интервале. При этом

свойство ортогональности является самостоятельным свойством, не связанным с полнотой. Заметим, что в физике под полнотой систе­ мы функций понимается возможность разложения по системе этих функций, т. е. разложимость.— Прим. ред.

222

Глава 4

этих функций от параметра с. Для дальнейшего полезно знать величину параметра с. С помощью формул (4.3.28) и (4.3.29) можно представить константу с в виде

с А/ aD.

(4.0.15)

Размер объекта D соответствует и0, а велнчппа а есть полу­ ширина апертуры. В разд. 2.2 было отмечено, что прибли­ жение Френеля в теории дифракции справедливо при пренебрежении в разложении (2.2.23) членами, которые после умножения на к = 2л/А (пе следует путать длину волны X с собственным значением А.,-) мпого меньше едини­ цы. Потребуем

о‘1	я	а4	(4.6.16)
/3	4	« 1 .

чтобы гарантировать справедливость приближения Френе­ ля. При / = 1 м и А = 0,5 мкм необходимо иметь а = 1 ,5 см, чтобы выражение в левой части (4.6.16) равнялось при­ близительно 0,1. Беря для простоты а = D, из формулы

(4.6.15) получим

с = 1410.

(4.6.17)

Число с можно сделать еще больше даже при сравнительно малых апертурах. Между прочим, величина с представляет собой степень справедливости приближения Френеля в за­ дачах дифракции. Приближение Френеля точнее при меньших значениях с. Параметр с дает порядок величи­ ны второго члена в выражении (2.2.23) (после умножения на к = 2л/А), который можно записать в виде

	д , 1	,	а2	а2	(4.6.18)
	N — 2	1	L ~ л	XL ■

Величина N называется числом Френеля. Здесь вместо / стоит L для обозначения более общего расстояния вдоль оптической оси. Выбор фокусного расстояния / в формуле (4.6.15) был продиктован обычной задачей, схематически изображенной на фиг. 4.6.1. При а = D и L = / параметр с совпадает с числом Френеля N. В рассмотренном приме­ ре получаем N = 1410.

После этого отступления в область справедливости приближения Френеля вернемся к рассмотрению собствен-

Линза

223

пых значений *г. Слепни и Зошюнблик [41] предложили приближенное выражение для *г, которое справедливо для больших с H i:

к	—	1 , ,	(4,6.19а)
	'	1 I слЬ
	71	71
ь —		“1	(4,6.196)
0,2886 +		2 In 2 + у	Inc
Отсюда видно, что *v «	1	при v <£ (2/я) с, ио *v<^( 1 при

v (2/я) с. Таким образом, переход из области, где *v близки к единице, в область, где Xv спадают до весьма малых значений, происходит при v = vc, где

vc= 4 c .

(4.6.20)

Чтобы показать, насколько быстро изменяется собствен­ ное значепие, рассмотрим пример. Для v = 890 получаем

*890=0,96,

(4.6.21)

тогда как для v = 920 имеем

Яд20= 10-5.

(4.6.22)

При меньших значениях с переход еще более крутой. С по­ мощью таблиц Слепяпа и Зонненблика находим, что для с = 30

А.,9 = 0,356,	(4.6.23)
*25 = 4,74.10-",	(4.6.24)
*зо= 1,32-10-11.	(4.6.25)

Теперь мы подготовлены к обсуждению аргумента Торальдо дп Франчиа. Каждую функцию можно разложить в ряд по полпой системе ортогональных функций я|х Поле объекта, в частности, может быть представлено выраже­ нием

ОО

/(« )= 2 Д;ф;(")-	(4.6.26)
г=0

224 Глава 4

коэффициенты которого	определяются	формулой
	со
а‘=	j /(н)ф,-(н)йн.	(4.0.27)

— со

Аналогичным образом можно представить выходное поле (поле изображения):

оо
f( — w) = 2 Пгфг(ш),	(4.6.28)
г= 0
где
00
A t— j ]( — w)\\>i{w)dw.	(4.6.29)

— СО

Исходя из выражения (4.6.13), можно получить связь между коэффициентами разложений at и A t. Подставляя выражение (4.6.26) в (4.6.3) и используя формулу (4.6.13), получаем

со
/( — w)= 2 яДгфг (if);	(4.6.30)
i=0

сравнение формул (4.6.28) и (4.6.30) позволяет установить, что

Ai = Xiai.

(4.6.31)

Система, формирующая изображение, позволяет наблю­

дать поле изображения / (w), а поле объекта / (и) не изве­ стно. Критики рэлеевского ограничения разрешающей способности изображения утверждают, что поле изобра­ жения можно в принципе построить из поля объекта неза­ висимо от того, насколько мала апертура системы, форми­ рующей изображение. То, что это утверждение математи­ чески верно, можно видеть из соотношения (4.6.31). Поскольку известно поле изображения, то в принципе известны и все коэффициенты Н г. Следовательно, коэффи­ циенты разложения поля объекта (4.6.26) получаются как

ai = jf-.

(4.6.32)

Подстановка выражения (4.6.32) в формулу (4.6.26) дает точное поле изображения независимо от размера апертуры

Линзы

225

и длины волны света, применяемого в системе, формирую­ щей изображение. Это доказывает, что с точки зрения мате­ матики не существует ограничения, обусловленного конеч­ ными размерами апертуры рассматриваемой системы.

Обратимся	теперь к практической стороне вопроса
и посмотрим,	есть ли надежда использовать полученный

математический результат. Для того чтобы иметь возмож­
ность всегда восстановить изображение, нужно предпо­
ложить, что все коэффициенты A t	действительно могут
быть измерены как угодно точно.	Однако рассмотрение

собственных значений	показывает, что при г^> (2/я) с
собственные значения	становятся малыми. Это говорит

о том, что коэффициенты разложения поля изображения должны быть много меньше соответствующих коэффициен­ тов разложения поля объекта. Таким образом, мы сталки­ ваемся с задачей измерения весьма малых величин с очень большой точностью. Так как, согласно формуле (4.G.32), коэффициенты a-t получаются из A t путем умножения па очень большое число, очевидно, что ошибка при попыт­ ке измерить A t также возрастает из-за слишком большой величины 1/А.г. Для точного определения поля объекта требуется исключительно точно измерить коэффициенты разложепия поля изображения. Таким образо.м, очевидно существование аналогии между задачей определения радио­ сигнала на некотором расстоянии от передатчика и задачей восстановления поля объекта по полю изображения. Невозможно получить изображение без мешающего дей­ ствия какого-либо шума. Это может быть тепловой шум в фотодетекторе при зондировании поля изображения, в телевизионной трубке или даже в фотографической эмульсин. Общеизвестен факт присутствия шумов при электрическом детектировании. Фотографические эмуль­ син вызывают «шум» из-за конечного размера зерен кри­ сталлов галоида серебра. Но даже если удалось бы сделать идеальную эмульсию, все равно невозможно получить размеры зерен меньше размера отдельной молекулы, т. е. шум в фотоэмульсиях также неизбежен, как и шум в элек­ трических цепях. Следовательно, нет никакой надежды точно восстановить поле объекта, зиая поле изображения. Некоторая информация всегда теряется, даже еслп в стро­ го математическом смысле имеется возможность построить

15-087

22G

Глава 4

•поле объекта по полю изображепия, несмотря иа дифрак­ цию. Это математическое положенно имеет ограниченное применение в реальном мире. Только значительно более тщательное изучение может показать, возможно ли улуч­ шить предельную разрешающую способпость, определяе­ мую обычно с помощью критерия Рэлея. Связь между проведенным обсуждением и критерием Рэлея не простая и не явная, даже когда возможно определить практи­ ческую предельную разрешающую способпость иа основе соотношения (4.6.32). Наша цель состояла в том, чтобы показать, что аргументы против истинного ограниче­ ния, предсказываемого критерием Рэлея, имеют весьма сомнительную ценность, если они основаны иа утвержде­ нии, что аналитическую функцию можно в принципе построить по ее значениям внутри конечной области. Если воздействие шума, препятствующее процессу обнаружения, пе учитывается, то нельзя получать надежные сведения.

5

ЛИНЗОВЫЕ ВОЛ ПОВОДЫ

5.1. ВВЕДЕНИЕ

Параллельный пучок света нельзя передавать па произ­ вольные расстояния без изменения его поперечных раз­ меров (см. разд. 2.3,, 2.4, 3.6). Строго говоря, параллель­ ный пучок света возможен только в пределе для очень коротких длин воли или в случае бесконечно широкой апертуры (поперечного сечения) пучка. Оба эти условия не могут быть полностью реализованы. Однако для корот­ ких длин волн света относительно легко получить боль­ шие (по сравнению с длиной волны) апертуры и, таким образом, воспроизвести достаточно параллельный пучок света. Если приемник света находится на не слишком боль­ шом расстоянии от источника, то практически весь пере­ данный свет будет принят. Но если это расстояние окажет­ ся слишком большим, то весь передаваемый свет не будет принят. Например, когерентный пучок света, ограничен­ ный круглой апертурой диаметром 30 см и передаваемый с Земли, будет на Лупе засвечивать круг радиусом 1 км (без учета влияния атмосферы Земли).

Передача света между наземными станциями связи затруднена пе только из-за дифракции света, ио и из-за влияния земной атмосферы. Лазерный луч, который пере­ дается на несколько километров через земную атмосферу, приходит к приемнику с большими искажениями. Если такой луч принимается на экран, то его изображение созда­ ет впечатление движущегося пламени. Причиной такого явления являются случайные неоднородности (турбулент­ ности) в атмосфере, которые приводят к отклонению и рас­ хождению светового пучка, что ограничивает возможность параллельного распространения света. Если, кроме того, принять во внимание различные препятствия на пути пуч­ ка света, то становится ясным, что для передачи света

15*

228

Глава 5

в атмосфере Земли необходима специальная направляю­ щая система. Существует много различных способов пере­ дачи света. В зтой книге будут рассмотрены лишь некото­ рые из них. Настоящая глава посвящена одному из наи­ более перспективных способов передачи света с помощью линзового волновода, предложенного Губо [43]_(Губо назвал его линзовым лучеводом). Как следует из названия, в таком волноводе для создания условий передачи света исполь­ зуются линзы. Мы будем исследовать линзовые волноводы с помощью методов как геометрической, так и волновой оптики. Кроме принципа работы регулярного прямолиней­ ного волновода, будут рассмотрены также изогнутый линзовый волновод и волновод со статистическими нерегу­ лярностями.

5.2.ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА РЕГУЛЯРНОГО ЛИНЗОВОГО ВОЛНОВОДА

Схематически линзовый волновод изображен на фнг. 5.2.1. Расстояние между линзами равно двойному фокусному расстоянию, что соответствует особому случаю

Л инзы

А

		о		>	V
> <		'X	\
	^ N			Л

Л учи света

Фи г. 5.2.1. Траектории лучен двух типов в конфокальпсш линзо­

вом волноводе.

линзового волновода. Будут рассмотрены в дальнейшем также и другие варианты. Устройство, показанное на фиг. 5.2.1, называется конфокальным линзовым волно­ водом, так как фокусы соседних линз совпадают. Кон­ фокальная геометрия приводит к чрезвычайно простой траектории луча. На фигуре показаны два луча, проходя­

щие через волновод.

Анализ линзового волновода будет ограничен парак­ сиальным приближением. Только в этом приближении уравнение луча можно решить аналитически. Работа

Линзовые волноводы

229

линзового волновода может быть понята с помощью кван­ товой теории световых лучей. В соответствии с прин­ ципом неопределенности (3.6.56) точное положение луча не известно, если лучи предполагаются параллельными. Для строго коллимированного пучка можно точно опреде­ лить угол его наклона (в терминах квантовой теории свето­ вых лучей — импульс луча). Согласно принципу неопре­ деленности Да; — оо, если Дрх — 0. Для того чтобы иметь

L		L
п—/	п	п+/
Ф и г. 5.2.2. Положение и	углы наклона	луча в линзовом вол­
	новоде.

пучок конечной протяженности по ширине (т. е. чтобы неопределенность его положения Да; имела конечную величину), необходимо допустить разброс импульсов лучей Дрх. Линзовый волновод заставляет луч света отклоняться и сужаться при прохождении его от линзы к линзе. Эле­ ментарные лучи полного пучка никогда не имеют одина­ кового наклона, так что существует конечная неопреде­ ленность Дрх лучевого «импульса». Это дает возможность определить положение луча внутри заданного интервала Да: без нарушения принципа неопределенности для свето­ вых лучей.

Для того чтобы иметь возможность определить траекто­ рии луча в линзовом волноводе, получим разностное урав­ нение для положения луча на каждой линзе [44]. Рассмот­ рим три линзы волновода (фиг. 5.2.2). Пусть расстояние от оптической оси луча в сечении п-й линзы равно гп. Угол между лучом и направлением оси волновода обозна­ чим через ап. Все линзы имеют одинаковое фокусное рас­ стояние / и расположены на расстоянии L друг от друга. Уравнение линзы в параксиальном приближении (4.2.4)