книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

!»()

Глава ^

реляция между фазами ноля и разных точках простран­ ства, то говорят о частично когерентном свете. В до­ полнение к когерентности необходимо также потребо­ вать монохроматичность света (т. е. наличие лишь одной частоты или очень узкого спектра частот), если он исполь­ зуется для оптического вычисления функций, рассмотрен­ ного в данном разделе. Свет лазеров идеально соответ­ ствует этим целям. Необходимо, однако, обеспечить рабо­ ту лазера на одной нз многих возможных частот и генери­ рование одной определенной поперечной моды [см. обсуж­ дение формулы (В.6.26)] для уверенности в том, что его выход достаточно моиохроматичен и пространственно когерентен. Обычный свет теплового источника или газо­ вого разряда можно сделать монохроматичным и когерент­ ным путем фильтрации узкой полосы частот и пропуска­ ния ее через маленькое отверст е. Однако при этом теряется столь много световой энергии, что остающегося частично когерентного света обычно оказывается недоста­ точно для проведения экспериментов по пространственной фильтрации.

4.5. ГАЗОВЫЕ Л11113Ы

Стеклянные линзы идеально приспособлены для форми­ рования изображения в оптических приборах. Если про­ стая линза, сделанная из стекла лишь одного сорта, имеет значительное число нежелательных аберраций, то можно изготовить хорошие линзы путем комбинирования линз, выполненных пз разных стекол И, 15]. Однако, помимо формирования изображения, имеются иные приложения для линз, и это требует наличия у них разнообразных свойств. Вопросы, связанные с передачей света на боль­ шие расстояния, детально будут рассмотрены в гл. 5. Весьма перспективная световодная линия передачи состоит из последовательности линз, используемых для нейтрали­ зации дифракционного расширения пучка света. Если можно пренебречь потерями, обусловленными рассеянием света внутри стекла и на поверхности линзы, то такая линзовая линия может быть сделана с экстремально низки­ ми потерями. Действительно, можно сконструировать линзовую линию с произвольно малыми потерями, если

Л низы •ИИ

взять достаточно большие линзы и сделать так, чтобы пучок спета не отклонялся значительно от оси линии. Одиако линзы не идеальны, т. е. нельзя игнорировать потери из-за рассеяния внутри их и па поверхности. Даже в том случае, когда линза имеет неотражающие покрытия, потери па каждой поверхности линзы трудно сделать менее 1%. Большая часть этих потерь обусловлена остаточным отражением, а также хаотическим рассеянием от пыли и других неоднородностей на поверхности линзы. Таким образом, основная доля потерь происходит на границе воздух — линза. Если бы удалось осуществить линзы без заметных изменений показателя преломления на поверх­ ностях, то проблема потерь на рассеяние и отражение была бы устранена.

Такие линзы с малыми потерями в действительности осуществимы. Впервые подобную линзу предложил Берреман 127], который использовал подогреваемую металличе­ скую спираль, помещенную внутри охлаждаемой метал­ лической трубы, чтобы согревать газ внутри трубы и обес­ печить его конвективное циркулирование. Он показал, что изменение плотпости неравномерно нагретого газа вызывает такое изменение показателя преломления, кото­ рое приводит к фокусированию светового пучка, прохо­ дящего вблизи оси трубы. Лпиза Берремана достаточно эффективна, но она очень трудно поддается теоретическо­ му анализу. Поэтому рассмотрим другой тип газовых линз, которые при эквивалентной эффективности можно под­ вергнуть анализу, с тем чтобы предсказать их свойства.

Поскольку имеется возможность сконструировать лин­ зы, действие которых основано на использовании измене­ ний показателя преломления газа, то можно исключить из рассмотрения проблему потерь, столь существенную для стеклянных линз. В газе с переменным показателем преломления, обусловленным неравномерным подогревом, между кусочно-однородными средами пет граничных поверхностей. Поэтому здесь полностью исключены потери па отражение и на поверхностное рассеяние. Однако необ­ ходимо предостеречь читателя от мысли, будто газовые лиизы идеальны во всех отношениях. Газовые линзы имеют целый ряд своих собственных недостатков. Обычно они обладают довольно сильными аберрациями, т. е. их фокус-

■192

Глина 4

ное расстояние зависит от положения светового пучка относительно центра линзы [28]. Нельзя выпо ншть газо­ вые линзы с большими апертурами, так как газовый поток в широкой трубе имеет тенденцию становиться турбулент­ ным. Наконец, работа с газовыми линзами обходится доро­ же, чем со стеклянными, поскольку требуется затрачи­ вать энергию для поддержания необходимого темпера­ турного градиента [29]. Однако малые потери газовых линз являются довольно существенным их преимуществом и весьма вероятно, что эта отличительная черта может

Нагреваемая

труба

Луч света

Ф и г. ''1.5.1. Схема газовой линзы.

оказаться достаточно привлекательной для того, чтобы обеспечить их использование для определенных целей. Малые потерн газовых линз были наглядпо продемон­ стрированы Бекком [30]. Хорошо известно, что в резона­ торах гелпй-пеоновых лазеров недопустимы значитель­ ные потери. Обычно достаточно внести внутрь резонатора на пути лазерного пучка микроскопическое постороннее включение, как колебания сразу пропадают. Но этой при­ чине нспол' зованне стеклянных лшгз в качестве фокуси­ рующих устройств внутри резонаторов гелпй-неопового лазера встречает большие трудности. Бекк продемонстри­ ровал работу гелпп-неонового лазера, который имел внут­ ри резонатора не одну, а 78 газовых линз. Длина этого резонатора со всеми линзами составляла 78 м, тогда как работал этот лазер с обычной лазерной трубкой длиной

30 см.

Схематически рассматриваемая газовая липза изобра­ жена на фиг. 4.5.1.

Газовая линза состоит из нагрев емой металлической трубы, в которой поддерживается ламинарное течение газа.

JJптш

•ш

Газ поступает в т])убу при комнатной температуре слева

ипокидает ее при более высокой температуре справа. Поскольку газ нагревается стенками трубы, то тепло, радиально проникая внутрь газа, образует гекоторый температурный градиент. Б каждом поперечном сечении наиболее охлажденные участки находятся иа оси трубы,

ичем ближе к стенке, тем более нагретым является газ 131J.

Объем V, давление р и температура Т идеального газа связаны уравнением

pV = [iRT.

(4.5.1)

Газовая постоянная R равна

R = 8,315 Дж *град-1 -моль-1.

(4.5.2)

Постоянная р равна числу молей в объеме V. Обозначим через М вес одного моля газа (один моль газа равеи его молекулярному весу в граммах). Например, кислород 0 2 имеет молекулярный вес 32. Один моль кислорода состав­ ляет, следовательно, 32 г этого газа. Тогда

m	\уМ	(4.5.3)
естьистинная мае а газа,	содержащегося	в объеме V.

Плотность р газа определяется как его масса в единице объема:

р = — .

(4.0.4)

С помощью приведенных определений уравнение состояния идеального газа можно переписать в виде

Экспериментально установлено, что показатель прелом­ ления газа зависит от его плотности следующим образом:

н.= 1 + (н0— 1)-^",		(4.5.6)
где р0 — некоторая	постоянная средняя	плотность	газа,
а 7г0 — показатель	преломления, соответствующий		этой

плотности.

Газовая линза работает при постоянном (атмосферном) давлении. Это значит, что плотность газа обратно пропор-

1 3 - 0 S 7

194

Глава 4

цшшальна его температуре. Уравнение (4.5.б) можно, сле­ довательно, записать как

n = l - f ( n 0- l ) - ^ .

(4.5.7)

Отсюда видно, что показатель преломления газа умень­ шается с ростом температуры. В центре трубы газ имеет наибольший показатель преломления, так как там он менее нагрет, п величина п тем меньше, чем ближе к стен­ ке трубы. Световой пучок, проходящий внутри газовой линзы, отклоняется по направлению к области с более высоким значением показателя преломления. Пучок света изгибается, как показано па фиг. 4.5.1, и покидает газо­ вую линзу под более крутым углом к оптической оси, чем тот, который он имеет на входе.

РЕШЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Детальный анализ газовой линзы требует некоторого отступления в область термодинамики. Поскольку соответ­ ствующие уравнения легко получить, их вывод будет здесь приведен.

Рассмотрим некоторый объем, который неподвижен относительно трубы и расположен в движущейся среде с неоднородным распределением температуры. Количество тепла в малом объеме дается выражением

ср j pTdV.	(4.5.8)
v

Константа ср называется теплоемкостью при постоянном давлении. Произведение температуры Т и массы dm = = pdP дает количество тепла, содержащегося в элементе объема с массой dm\ путем интегрирования получается количество тепла внутри объема V. Если количество тепла в объеме V изменяется, то это происходит вследствие про­ никновения тепла в объем из-за теплопроводности п из-за течения газа в объеме. Количество тепла, поступающего в объем за 1 с благодаря теплопроводности, пропорцио­ нально градиенту температуры Т:

к j vr-dA.

(4.5.9)

А

Лним

493

Некто]) (1А является внешним но отношению к замкнутой поверхности А . Это выражение записано для притока тепла через поверхность А, ограничивающую объем V. Множи­ тель к называется теплопроводностью. Наконец, тепло может поступать путем притока нагретого газа внутрь объема. Полный приток тепла в соответствии с этим меха­ низмом равен

- с р j pTVclA.

(4.5.10)

А

Знак минус стоит потому, что вектор ilA направлен нару­ жу из объема. Комбинация — v ч1А определяет объем вещества, входящего впутрь объема Г за единицу времени. Три полученных выражения позволяют составить уравне­ ние энергетического баланса

ср A j	pTdV = k J VТ • clA — ср j pfv-clA. (4.5.11)
V	Л	Л

Изменение энергии в объеме за единицу времени (левая часть уравнения) вызывается притоком тепла (первый члеи справа) и втеканием газа (второй член справа). При­ менение теоремы о дивергенции к обоим поверхностным интегралам дает

J	{ ^ [ 4 - ( P 7')+ d iv (p T v )]- /i;V 2r}dF = 0. (4.5.12)
г

Поскольку объем совершенно произволен, то подынте­ гральная функция должна быть равна нулю. Запишем это уравнение в слегка измененной форме

с* { 3r,[ i r + ‘liv (p v )]+ p -^ - + P v -V2’}= *va7’. (4.5.13)

Теперь воспользуемся уравнением непрерывности (3.7.1), выведенным в разд. 3.7. Применим его здесь для трехмер­ ного случая и заменим в (3.7.1) координату z на время t. Это позволит опустить первый члеи в левой частп уравне­ ния (4.5.13), так что окончательно получим дифференци­ альное уравнение в частных производных, описывающее перенос тепла в движущейся среде:

-A_V2r = p -^L -j-pyV r.

(4.5.14)

13*

19(3

Глава d

Для теории газовой линзы интерес представляет только стационарный процесс, который устанавливается после протекания газа в трубе в течение некоторого времени. Для стационарного случая

(4.5.15)

Получающееся при этом уравнение все еще не поддается решению, если считать плотность р и скорость v перемен­ ными величинами. Точное решение задачи требует рас­ смотрения динамики движущейся среды при наличии неод­ нородного распределения тепла. Эта задача слишком труд­ на. Поэтому для приближенного решения предполагают, что плотность р почти постоянна внутри трубы, скорость соответствует ламинарному течению, вязкий поток па про­ тяжении трубы находится при постоянной температуре. Распределение скорости вязкой среды в ламинарном потоке при постоянпо t температуре определяется кодгполентами

*3

II

щ. = 0,

щ, = 0,

1	т
----1
о

а Ь

|2J ,

(4.5.1(1)

(4.5.17)

где а — радиус трубы. Задача о потоке в такой упрощен­ ной форме известна как задача Гратца. Она рассмотрена в книге Якоба [32], посвященной переносу тепла. Задача о стационарном процессе в этом приближении следует из (4.5.14)—(4.5.17):

('ГГ	1	ОТ
“ ( дГ	г	Or
где
		а = ^ - .	(4.5.19)
Здесь предполагается, что распределение			температуры

не зависит от азимутального угла ф. Это предположение является еще одним приближением, поскольку гравита­ ционное поле Земли искажает газовый поток, если газо­ вая линза ориентирована горизонтально. Гравитационный

Л инзы

197

эффект приводит к искажению линзы, но ради упроще­ ния будем игнорировать этот эффект, ибо учет его значи­ тельно усложняет задачу [33, 70*, 71*].

Начнем решение задачи о распределении тепла в газо­ вой линзе с введения новой переменной

<4 -5 ' 2 0 >

Здесь Т w — температура стенки трубы; Т0 — температу­ ра газа, поступающего в трубу. Функция 0 является решением такого же дифференциального уравнения, как и (4.5.18), но с более простыми граничными зюловиями

Потребуем, чтобы Т	— Tw при	г =	а. Если	воспользо­
ваться относительной	независимой переменной
	" " 7 ’			(4-5.21)
то это трсооваиые запишется как
0(н) = 0 при		н=	1.	(4.5.22)

1 Гз физических соображений можно ожидать, что решение симметрично по координате и и поэтому функция 0 сим­ метрична относительно аргумента и. Будем искать реше­ ние дифференциального уравнения в частных производ­ ных (4.5.18) в виде

0 = AR (и) е-Р2«*/“2”оК

(4.5.23)

Подставляя выражение (4.5.23) в (4.5.18) (с заменой Т на 0), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

	сРЯ		(4.5.24)
	du%	Т - 1 Г + Р , (1- “‘) Л = 0-

Членом d27'/dz2 в (4.5.18) мы пренебрегли. Это приближе­ ние справедливо для достаточно больших значений v0.

Решения дифференциального уравнения (4.5.24) отно­ сятся к так называемым функциям Уиттекера. Однако в связи с тем, что они недостаточно широко табулированы, необходимо получить для них разложение в степенной ряд. Поскольку R является четной функцией и, можно ограничиться степенным рядом нз четных степеней и

со
R = 2 C 2vii2v.	(4.5.25)
y=Q

198	Глава	4
Тогда	Д(0) =	1,	(4.5.26)
	С0 — 1-		(4.5.27)

Подстановка выражения (4.5.25) в (4.5.24) с учетом (4.5.27) дает

С г = ~ | Р 3

(4-5.28)

при и — 0. Сравнение коэффициентов при и3 в уравне­ нии, полученном после подстановки выражения (4.5.25) в (4.5.24), приводит к следующему рекуррентному соот­ ношению для коэффициентов:

C2v—	Р2	(C2v_4 ■С,2 v -2 )	при v ^ 2 . (4.5.29)
	(2v)2

Если (3 известно, то задача решена. По собственное значе­ ние р должно быть определено из уравнения

R (1) = 0, (4.5.30)

которое следует нз граничного условия (4.5.22).

Решить эту задачу о собственном значении можно лишь численно с помощью вычислительной машины. Имеется бесчисленное множество решении уравнения (4.5.30). Их отличают друг от друга при помощи индексов, припи­ сываемых р и 7?. Решение физической задачи получают как суперпозицию всех собственных решений. Функцию 0 можпо, таким образом, переписать для наиболее общего случая в впде

0 = V Л^Л11(н )в -(“/ Л о < 1.	(4.5.31)
ц=0

Вычисление собствеппых значелпй (3^ высокого порядка представляет довольно сложную задачу. Ряд (4.5.25) схо­ дится не очень быстро. Коэффициенты C2v возрастают до огромной величины, прежде чем начнут уменьшаться. Оказалось возможным получить решения задачи о соб­ ственных значениях только до Р8 даже с использованием двойной точности, так как коэффициенты росли до вели­ чин порядка 1020, тогда как величина R (и) не превосхо­ дила единицы. По этой причине возникла необходимость применить разложение в ряд R (и). Разложение (4.5.25)

			Л низы				199
можно	использовать		при	0 ^ и ^ 0,5.		Произведения
C2vu2v остаются		при	этом	в	разумных	пределах. Если
и > 0,5,	то нужно ввести новую переменную
			w = 1	-	и		(4.5.32)
и воспользоваться разложением
				СО
		Л (« )=		2	Dvw'\		(4.5.33)
				v=0
Дифференциальное уравнение для R, выраженное через
переменную w,		плюет вид
( 1 - И О - 0 - - ^ + Р 2( 2 « ; - 3 ^ + < ) Я := 0 .							(4.5.34)
Уравнение (4.5.30) теперь записывается как
		/? = 0 при w = 0					(4.5.35)
и приводит к условию
			D о =		0.		(4.5.3В)

Подставляя (4.5.33) в (4.5.34), получаемрекуррентные соотношения

Пз= 4 А -	(4.5.37)
^ = ( t ~ b-PsK
■ ® v= v ( v _ i ) ' U v — l ) 2 ^ v - i — P2 ( 2 £ \,- з — 377v_4 +	Z)v_5)].
	(4.5.38)

Собственное значение [3 и коэффициент D{ должны теперь выбираться так, чтобы функция, представленная рядом (4.5.25), и ее первая производная были непрерывны. Эта трудная задача может быть решена при помощи электрон­ ной вычислительной машины [34]. Результаты вычислений собственных значений, первой производной R' функции

R (и)	при и = 1, а также производной OR/dfi при и = 1
и (3 =	Рн приведены в табл. 4.5.1.