книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

150

Глава 3

ЪЛ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ [24]

Теорема Лпувилля играет важную роль в стати­ стической механике. Приведенные выше рассуждения, подчеркивавшие тесное сходство лучевой оптики с меха­ никой, подготовили нас к тому, чтобы не удивляться при обнаружении применимости теорем механики в оптике. Световые лучи обычно не рассматриваются статистически­ ми теориями. Однако квантовая механика является статис­ тической теорией, поэтому волновая оптика, будучи кван­ товой теорией лучевой оптики, сводится к статистической трактовке световых лучей. Статистические положения

встрогом классическом смысле также с успехом могут быть применены для описания коллективного движения пучков лучей. Большая важность теоремы Лиувилля в оп­ тике обусловлена ее способностью служить руководством

вситуациях, когда рассуждения, основанные иа интуи­

ции, могут привести к грубым ошибкам. Пример такого рода будет рассмотрен в гл. 4. Он включает обобщение концепции тонких линз как фазового корректора. Теорема Лиувилля может быть применена для проверки физиче­ ской реализуемости математнчеких предположений, кото­ рые выглядят интуитивно правдоподобными, но неулови­ мым образом нарушают физические принципы. Теорема Лиувилля не часто обсуждается в книгах по оптике. По оиа является мощным инструментом и содержит как частные случаи несколько хорошо известных оптических теорем.

Вывод теоремы Лиувилля можно найти в книгах по ста­ тистической механике [25]. Выведем ее здесь, чтобы ие за­ ставлять читателя обращаться к литературе по статисти­ ческой механике. Отправная точка для формулирования и понимания теоремы — это понятие о фазовом простран­ стве. Ранее было показано, что в гамильтоновой формули­ ровке лучевой оптики используются два рода координат: положение луча х и у и «импульсы» луча рх и ру. Вместе эти переменные образуют пространство четырех измере­ ний (шести измерений в классической механике точечной частицы). Физическое состояние светового луча может быть представлено точкой в фазовом пространстве. Каждая точка в фазовом пространстве дает информацию о положе­ нии и угле наклона («импульсе») луча. Траектория в фазо­

Геометрическая оптика

151

вом пространстве дает нам такое же количество информа­ ции, какое мы получили бы, изучая положение и наклон луча в зависимости от координаты z. Переход от одного луча к многим лучам и, наконец, к статистике лучей есте­ ственным образом приводит к рассмотрению элементов объема в фазовом пространстве. Рассмотрим пучок лучей, заполняющих некоторую площадь в реальном простран­ стве и имеющих некоторый разброс по направлению. Каждый луч пучка в фазовом пространстве представлен точкой, слегка отличающейся по положению от любого другого луча данного пучка. Если положение лучей в реальном пространстве и углы их наклона ограничены, то представляющие их точки в фазовом пространстве запол­ нят некоторый конечный объем. Проследив за изменением светового пучка при его распространении через оптиче­ скую систему, можно заметить, что объем, который пер­ воначально занимали лучи, изменяет свою форму и движет­ ся в фазовом пространстве. Вместо того чтобы изучать историю каждого отдельного луча в пучке, легче наблю­ дать движение объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля дает сведения об объеме пучка лучей в фазовом пространстве. Ее можно выразить в нескольких эквива­ лентных формах. Через объем фазового пространства она формулируется следующим образом: объем в фазовом про­ странстве, заполненный точками, соответствующими пучку лучей, остается постоянным. Этот результат осно­ ван на уравнениях лучей. Сами лучи могут сильно откло­ няться, вызывая деформацию и вытягивание объема фазового пространства. Однако объем, который первона­ чально был занят лучами в их исходном состояипп, не ме­ няется даже при изменении его первоначальной формы.

Теорема Лнувилля основана на плотности р точек в фа­ зовом пространстве. Плотность — это число точек в еди­ нице объема фазового пространства. Плотность удовлетво­ ряет уравнению непрерывности

-g+ div(pv) = 0.

(3.7.1)

Заметим, что временная координата механики снова заме­ нена на z. Согласно уравнению непрерывности, общее число точек должно оставаться постоянным. Справедлц-

152

Глава 3

вость этого уравнения подтверждается тем, что изменение общего числа точек, заключенных внутри фиксирован­ ного объема Vf фазового пространства, должно объяснять­ ся движением точек как внутрь этого объема, так и наружу из него. Так как движение точек происходит вдоль оси z, то

^ рйУ = — ^ pv-n dS.

(3.7.2)

Интеграл слева есть общее число точек в объеме У/, тогда как интеграл справа представляет поток частиц с плотно­ стью тока pv (v — скорость частиц), который течет через замкнутую поверхность, окружающую У/. Единичный вектор и направлен по внешней нормали. Поэтому отрица­ тельный поток означает, что в объеме накапливаются час­ тицы. Это учтено отрицательным знаком правой части. Применение теоремы о дивергенции к интегралу в правой части приводит к уравнению (3.7.1), если учесть, что объем Vf произволен.

Мы рассматривали задачу о потоке так, как если бы он имел место в обычном трехмерном пространстве с коорди­ натой z, представляющей временную координату. Однако математические операции, которые были применены, не ог­ раничены случаем трехмерного пространства, так что каждое утверждение применимо и к четырехмерному про­ странству. Дивергенция, появляющаяся в уравнении (3.7.1), является обобщением обычной трехмерной дивер­ генции на четырехмерное фазовое пространство. Можно записать уравнение (3.7.1) через составляющие следующим образом:

- | - + 2 [ ^ ( р ^ ) - ^ - ( р ^ ) ] = 0' <3-7-3» i=i

Здесь использованы обозначения хt = х, хг — у, p t = р х и Рг = Ру Координаты и импульсы представляют действи­ тельные лучи, которые подчиняются законам лучевого

распространения. Использование		соотношений			(3.5.4) —
(3.5.8) позволяет записать
дН_\	д	/	дН	) ] = 0 .	(3.7.4)
dPi )	dpi	V	d x t

Геометричсская оптика

153

Полезно помнить, что законы лучевой оптики использова­ ны именно здесь. Вычисление производных от произведе­ ний позволяет сократить некоторые члены, так что в ре­ зультате получаем

	f +	2		др	дН	др	ОН		(3.7.5)
			( dxi		dpi	dpi	дх r H
		i= l
	Повторное применение уравнений						Гамильтона		приводит
	к равенству
		2	/	др	dxj	, др	dpi	\ q
		у							(3.7.6)
	dz	/ J	\	dxi	dz	"Г dpi	dz	}

i= l

Плотность p является функцией х, у , рх и ру. Левая часть является полной производной р по z, так что получаем теорему Лиувилля в следующем виде:

А = ° .

(3.7.7)

Плотность точек в фазовом пространстве не зависит от координаты z. Можно использовать этот результат для получения второй формы теоремы Лиувилля. Заключим определенное число точек в объем V и будем изменять границы этого объема таким образом, чтобы общее число точек, содержащихся внутри, не изменялось. Тогда по оп­ ределению

i J p d V = 0 .	(3.7.8)
V

Можно расположить точки любым произвольным образом. Расположим их так, чтобы плотность р была постоянна внутри объема V. Это позволяет вынести р из-под знака интеграла и, используя равенство (3.7.7), поставить ее перед знаком производной. В результате получается урав­ нение

i T = ° -

(3-7-9)

Это теорема Лиувилля в ее второй форме. Она утверждает, что объем, содержащий фиксированное число точек фазо­ вого пространства, не зависит от z. Этот объем переносится

154

Глава 3

вместе с точками, ио численная величина объема не изме­ няется, хотя его форма может существенно изменяться.

Можно выразить теорему Лиувилля в третьей форме, которая наиболее полезна для наших целей. Получение этой последней формы требует небольшого введения. Возьмем луч во входной плоскости z — zt с координатами x ii l/h Pxii Pin■При прохождении луча от начальной точки z = z; до произвольной точки z = Zj вдоль его траектории изменяются все значения координат. Обозначил: перемен­ ные в произвольной точке луча через xj, г//, p xj, p vj. Рас­ сматриваемый луч является одним из лучей пучка, кото­ рый заполняет некоторый объел: в фазовол: пространстве. Соседние лучи нл:еют координаты, начальные и конечные значения которых несколько отличаются от координат выбранного луча. Следует учесть, что если изменять начальные координаты луча в фиксированной плоскости z = Zj, его конечные координаты в этой плоскости z = zf пзлюнятся тоже. Действительно, конечные координаты являются функциями начальных координат:

Xj = x j ( x i , y h p xi, p„i),	(3.7.10)
Pxf== Pxf {xiy JJii Pxiy Pyi)•	(3-7.11)

Аналогичные функциональные соотношения справедливы и для двух других координат. Координата z считается постоянной и нет необходплюсти включать ее в эти функ­ циональные соотношения. Далее иал: необходим один результат из теории объелшых интегралов. Если интеграл, выраженный через ряд перелюнпых, необходилш записать через новый ряд пере.меппых, то преобразование выпол­ няется с полгощыо якобпапа преобразования [261. Для слу­ чая объемных интегралов это можно представить уравнениел:

d V f	9 {xf,	yf, pxf ,	Pyf) ^
	9 (x h	Vh Pxh	(3.7.12)
			Pyi)

Прнлюнил: эту теорему к нашел:у ряду перелюнных. Урав­ нения (3.7.10) и (3.7.11) и остальные уравнения не выра­ жают явно форл:ы преобразования от одного ряда пере­ люнных к другол:у, поэтол:у прилюняется теория преобра­ зования объелшых интегралов. Теорел:а Лиувилля в ее второй форлю (3.7.8) утверждает, что два элелюнта обтюлщ

Гео.четрическая оптика

155

должны быть одинаковыми, так как объем совокупности точек в фазовом пространстве не изменяется. Должно выполняться равенство

dVf = dVi.

(3.7.13)

Следовательно, якобиан, входящий в формулу (3.7.12), должен быть равен единице. Из определения якобиана получаем третью форму теоремы Лиувилля

		dxf	9tJf	9Pxf	dPyf
		dxi	dxi	dxi	dxi
9 (х/, У{, рх/ , Pyf)		bxj	d'Jf	dPxf	dPyf
		dtJi	dtJi	9У1	dyi	= 1. (3.7.14)
д (xit i/i,	Pyi)	dxf	dyf	9Pxf	dPyf
		9Pxi	9Pxi	dPxi	SPxl
		dxj	dtlf	9Pxf	dPyf
		dPyi	9Pyi	9Pyi	9Pyi

Теорема Лиувилля справедлива не только для лучей в средах с непрерывным распределением показателя пре­ ломления, но также и для лучей, пересекающих границу между средами с разными показателями преломления, и при отражении света от изогнутых зеркал. Доказатель­ ство справедливости теоремы при отражении света предо­ ставляется читателю в качестве упражнения. Справедли­ вость теоремы Лиувилля для диэлектрических границ может быть подтверждена следующим образом. Предпо­ ложим, что скачкообразное изменение показателя прелом­ ления заменено произвольным плавным распределением, как показано на фиг. 3.7.1. Ось z координатной системы выбрана совпадающей с нормалью к границе. Показатель преломления постоянен в обеих областях и является непре­ рывной функцией п (z) внутри переходной области. При таком выборе системы координат и распределения показа­ теля преломления из формул (3.5.30) и (3.5.31) получаем

рх = const,	(3.7.15)
const	(3.7.16)

во всем пространстве. Этот результат совершенно не зави­ сит от вида функции п (z). Уравнения (3,5.32) и (3.5.33)

156	Глава 3
могут быть дополнены соотношением
	Р- = “ТГ ■	(3.7.17)

Все три соотношения приводят к квадрату длины вектора «импульса»:

Р Н - й + р : = » а [ ( £ ) г+ ( ^ ) 2+ ( т Г ] = ' Л (3-7.18)

Используя угол aj, определяющий наклон луча в среде 1, и угол а 2 для наклона луча в среде 2 (см. определение этих

Ф и г . 3.7.1. Замена резкого скачка	показателя преломлспия
на границе раздела диэлектриков	плавным изменением.

углов на фиг. 3.7.1), из формулы (3.7.15) сразу же получа­ ем закон Снеллиуса (считается, что система координат расположена так, что ру = 0):

{Рх)I = « 1 sin « 1 = (р*)2= Щ. sin a 3.

(3.7.19)

Геометрическая оптика

157

Эти рассуждения показывают, что закон Снеллиуса спра­ ведлив не только в случае резкого изменения показателя преломления на границе, но даже в случае произвольного его распределения и произвольной ширины переходной области. Поскольку показатель преломления здесь вообще не используется, можно принять его изменяющимся про­ извольным образом и получить, в частности, резкую гра­ ницу в результате предельного перехода. Таким образом, любое резкое изменение показателя преломления можно считать сглаженным, так что уравнения лучей и, следова­ тельно, теорема Лиувилля являются справедливыми и в случае резкого изменения показателя преломления. Траектории лучей в среде со сглаженным распределением показателя преломления асимптотически идентичны тра­ екториям в разрывной среде, если считать, что изменение показателя преломления становится все более и более резким.

Второе доказательство справедливости теоремы Лиу­ вилля использует с самого начала резкую границу. Разу­ меется, справедливость (3.7.14) можно подтвердить пря­ мым вычислением в любом конкретном случае. Однако в случае произвольной границы такое непосредственное вычисление весьма трудоемко. Второй подход показывает, как такое прямое вычисление может быть упрощено вра­ щением системы координат.

Рассмотрим задачу лучевой оптики, схематически изо­ браженную на фиг. 3.7.2. Плоская граница расположена под произвольным углом к координатным осям. Задача для простоты сведена к двумерной. Гораздо легче проводить лучи через границу, расположенную перпендикулярно осп z системы координат. Поэтому введем координаты, показанные на фиг. 3.7.2 пунктирными линиями. Однако поворот системы координат вызывает определенные слож­ ности, напоминающие те, которые возникают в галилеев­ ском варианте преобразования Лоренца [21]. Теорема Лиувилля принципиально основывается на том факте, что все координаты луча х, у, рх и ру берутся при одном и том же значении координаты z. Лучи в точках Рх и Р 2, показан­ ных на фиг. 3.7.2, удовлетворяют этому требованию в пер­ воначальной системе координат х, у. Однако в повернутой системе каждая точка имеет другое значение z'. Чтобы

158	Глава’a
можно	было использовать теорему Лиувилля, нужно

не просто отнести положение луча к координатам х' и у', а рассматривать их как новые координаты, смещенные

\ х х \

XXX

Ч г '

Ф и г. 3.7.2. Пояснение к доказательству теоремы Лиувилля.

Лучи пересекают границу раздела двух сред. Ось к ' повои системы коорди­ нат параллельна граничной поверхности.

по лучу до точки его пересечения с плоскостью, перпендикулярной оси z'. Мы не имеем права просто геометриче­ ски поворачивать систему координат, а должны изменить координаты каждой точки так, чтобы быть уверенными, что каждый луч снова соотнесен с той же самой точкой z'. Эта задача аналогична задаче одновременности, встречаю­ щейся в теории относительности. Здесь обнаруживается

Геометрическая ontoика

159

еще одна связь лучевой оптики с релятивистской механи­ кой. Только в параксиальном (нерелятивистском) прибли­ жении, когда все углы (включая углы лучей с нормалью к границе) малы, простой поворот системы координат будет приблизительно правильным. Представление в фазовом пространстве четырех лучей в точках Р 1и Р 2, выраженное

				и
				Р*
Ф и г. 3.7.3.		Фазовое	про­
странство	для	лучей,	про­	2 .	. 4
ходящих	через точки		Pi п
Р 2 на фиг. 3.7.2.				7 .	, 3

х

в старой системе координат, показано на фиг. 3.7.3. Точки 1 и 2 па фиг. 3.7.3 соответствуют точке P t на фиг. 3.7.2, а точки 3 и 4 соответствуют Р г■В новой системе координат положения четырех лучей должны быть представлены

а

2. . 4

/. 3

Ф и г. 3.7.4. Фазовое про­ странство для лучей, пере­ секающих пунктирную ли­ нию, которая 'проходит че­ рез точку Pi на фнг. 3.7.2.

пересечениями пунктирной линии (проходящей через Рj) с лучами. Соответствующее представление в фазовом про­ странстве показано на фиг. 3.7.4. Все точки были сдвинуты вдоль р'х, и первоначальный квадрат приобрел слегка трапецеидальную форму. Используя угол наклона а, сред­ ний между углами наклона лучей 3 и 4, можно выразить связь между приращением длины dx' в новой системе коор­ динат и приращением dx в старой системе в виде

dx = (cos ф — sin фtga) dx'.

(3.7.20)