книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

140

Глава 3

ханического выражения

Е = ~ со.

(3.6.16)

Разница в знаке между (3.6.15) и (3.6.16) возникает только из-за того, что функция (3.6.14) описывает волну, распро­ страняющуюся в отрицательном направлении г. Постоян­ ная Планка % превращается в Х0; как видно, частота ю классической квантовой механики в квантовой теории лучей заменяется постоянной распространения — р в на­ правлении оси z. Уравнения собственных значений энер­ гии (3.6.11) и (3.6.12) эквивалентны граничной задаче нахождения мод в оптическом волноводе. Подобная задача будет решена в другой главе для оптического волновода с параболическим распределением показателя прелом­ ления.

Волновая функция ф квантовой механики лучей яв­ ляется обычной скалярной волновой функцией волновой оптики. В данной теории она получает дополнительную интерпретацию как амплитуда вероятности. Волновая функция описывает состояние статистического ансамбля лучей. Квадрат ее абсолютной величины

Р = \ У ( Х , //, Z )|2

(3.6.17)

приобретает значение плотности вероятностей прохожде­ ния светового луча через единичную площадку в плоскости х, у с координатой z. Следовательно, полная вероятность прохождения световым лучом данной площади А опреде­ ляется как

Р = |’ |ф |2й/1.	(3.6.18)
л

Требование того, что каждый луч света должен пересе­ кать любую плоскость, перпендикулярную оси z, дает условие нормировки

ООСО

j j |ф (я. У, z)\*dxdy = l.

(3.6.19)

— ОО — ОО

Волновая функция описывает вероятность нахождения луча в области световых лучей, статистическое состояние которых характеризуется функцией ф.

Геометрическая оптика

141

Можно также записать волновое уравнение в простран­ стве импульсов [10]. Для этого преобразования нужно знать собственные функции и собственные значения импульсов. Уравнение собственных значений для опера­ тора импульса рх, определяемого формулой (3.6.1), имеет вид

Зф	(3.6.20)
— 1* - ъГ = Рь$ рх-

Решением этого уравнения является собственная функция импульса, соответствующая к собственному значению импульса рх:

V = — L - еЧр*Мхе ^ ) .	(3.6.21)
У 2л	v	'

Множитель (2я)-1/2 необходим для правильной нормиров­ ки собственной функции импульса; фазовая функция ф произвольна. Поскольку спектр собственных значений собственной функции непрерывен, эта функция должна быть нормирована на дельта-функцию:

оо	оо
j Фр^Фр» d x = 2^	j ег(-Ук)(рх -рх)х dx=5(p'x — р'х). (3.6.22)

— оо — оо

Чтобы можно было дать физическую интерпретацию соб­ ственной функции импульса, нужно выбрать ее фазу ф та­ кой, что фр,; также становится решением уравнения Клей­ на — Гордона (3.6.5). Пробное решение

	Фрх=	е <[(Р 'х / х ) х + ( р £ / к ) г ]	(3.6.23)
		Д/2зт

является решением релятивистского уравнения Шредингера (3.6.5), если имеет место следующее соотношение:

p%-\-pl=n2,

(3.6.24)

где показатель преломления есть постоянная (п = п0). Это означает, что собственная функция импульса может быть физическим состоянием, т. е. удовлетворять уравне­ нию Шредингера, только в том случае, когда показатель преломления п постоянен в пространстве. Если это требо­ вание удовлетворено, собственное состояние импульса существует и представляет собой плоскую волну, распро-

U2

Глава 3

стреляющуюся в направлении вектора

V = PxGx-\-PzCz

(3.6.25)

{ех и ez — единичные векторы в направлении осей i h z ). Этот результат согласуется с пашей физической интер­ претацией лучевой оптики. Собственное состояние импуль­ са может существовать как физическое состояние только тогда, когда каждое измерение (проведенное для опреде­ ления величины «импульса» лучей) дает один и тот же точный результат. В соответствии с формулой (3.5.38) «импульс» лучей определяет пх наклон. Световой луч может иметь определенный наклон в рассматриваемой системе координат, если он соответствует плоской волне. Лучи являются траекториями, ортогональными фазовым фронтам сопровождающей волны. Если фазовые фронты изогнуты, наклоны лучей — пх «импульсы» — различны в разных частях пространства. Поэтому собственное «им­ пульсное» состояние должно быть плоской волной. При выбранных нами постоянных выражение (3.6.23) описы­ вает плоскую волну, распространяющуюся в отрицатель­ ном направлении вектора р, если используем для него вре­ менную зависимость в виде множителя

еш . (3.6.26)

Волновая функция, являющаяся одновременно собствен­ ной функцией операторов рх и ру, представляет собой плос­ кую волну более общего вида

^ = ^ - ei( ^ + V + pZ2)/x.

(3.6.27)

Эта волна является решением релятивистского уравнения Шредннгера (3.6.5) в случае постоянного п = п0, если выполняется условие

P*+PS + P2= nS-

(3.6.28)

Если бы мы потребовали, чтобы собственная функция импульса была решением нерелятивистского уравнения Шредннгера (3.6.9), то получили бы соотношение

1	(3.6.29)
- 2 ^ ( p l - \ - p l ) - \ - P z = n <ь

Геометрическая оптика

143

которое, конечно, соответствует параксиальному прибли­ жению уравнения (3.6.28) при p z та щ, т. е. своему парак­ сиальному значению.

Теперь можно выполнить преобразование произволь­ ной волновой функции ф в пространство импульсов. Это преобразование имеет вид

п о СЮ

ф ( Рх , Ру, Z)= 2^ ]' ] г1’ (ж>У’ z) е~<гШрхх+руу) dx dy. (3.6.30)

—00—00

Вероятность нахождения луча с составляющими «импуль­ са» рх, ру в интервале dpx dpv дается формулой

dP = | ф(Рх, Ру) |2 dpx dpy.

(3.6.31)

Обратное преобразование (3.6.30) представляет трудную задачу, так как диапазон физически возможных значений рх и ру заключен между —п и п. Однако если к — очень малая величина, так что диапазон значений рх/к заключен между — 2яп/\0 и + 2яп/Х0, то при очень малых значени­ ях А,„ интервал интегрирования весьма широк. Можно предположить, что функция ф(рт, ру) становится исчезаю­ ще малой вблизи границ интервала интегрирования, так как вероятность прохождения лучей перпендикулярно оси в большинстве практических случаев должна быть очень близкой к нулю. Заметной ошибки не будет допущено, если положить ф = 0 вне физического интервала интегрирова­ ния и распространить этот интервал от — оо до + о о . В та­ ком случае преобразование (3.6.30) можно рассматривать как интегральное преобразование Фурье с обратным пре­ образованием

со	со
=	j t ( p „ p „ ) e « ' * » V + V > x
— ОО — оо
	x d ( Jt ) d ( ^ - ) •	(3-6-32)

Трактовка волновой функции как амплитуды вероятности позволяет сразу же определить математическое ожида­ ние [10, 22] всех операторов, появляющихся в квантовой теории лучей. Для любого оператора А можно определить

144

Глава 3

математическое ожидание уравнением

оо	со
<Л> = \	\	y)A\\i(x, y)dxdy.	(3.6.33)
*'	J

— оо — со

Математическое ожидание можно выразить в пространстве импульсов соотношением

ООоо

М >= j j ф*(Рх,Рв) А г,ф{рх, Pu) d ( > ± ) d ( ^ - ) . (3.6.34)

— оо — со

Оператор A v является эквивалентом А в пространстве импульсов НО]. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы рассмотреть теорему Эренфеста. Ранее было отмечено, что эта теорема служит мостом между классической и кванто­ вой теориями. Теорема Эренфеста в релятивистской кван­ товой механике почти не применяется. Чаще всего она используется в перелятивистской квантовой механике. Поэтому ограничимся параксиальным приближением и вы­ ведем теорему Эренфеста из нерелятпвистского уравнения Шредингера (3.6.9), которое в операторной форме имеет вид

Я я ])= гх -^ ,

(3.6.35)

где Н определяется формулой (3.5.17). В теорему Эренфе­ ста входят производные величин математического ожида­ ния координат х и у и «импульсов» рх и ру. Поэтому возь­ мем производную от величины математического ожидания координаты х :

[ J V ^ d x d y =

— оо — со

оо оо

==	j	j	dxdy-	(3.6.36)
	— оо —оо
Производные	от	волновой	функции можно	исключить

спомощью уравнения Шредингера (3.6.35)

ООоо

=■£- j \ [(#ф*) Яф— ф*х//г|)] dx dy.

— 00 —оо

Геометрическая оптика

145

Для любого гамильтониана можно произвести следующую перегруппировку членов [22]:

оо оо

^T=i J J r { I I x - x H ) ^ d x d y . (3.6.37)

В нашем частном случае это можно проверить выполнени­ ем частичного интегрирования с использованием специаль­ ного вида гамильтониана, который получается подстанов­ кой выражений (3.6.1) и (3.6.2) в (3.5.17). Можно легко оценить операторное выражение в круглых скобках. Начнем с коммутаторов

хрх— рхх = Ы	(3.6.38)
и	(3.6.39)
хРу — РуХ=:0.
Эти фундаментальные соотношения	квантовой механики

[10]хорошо известны. Их можно подтвердить, применяя

кпроизвольной волновой функции и используя точные выражения (3.6.1) и (3.6.2) для рх и ру. Повторное приме­ нение тех же коммутаторов дает

хр%— р%х=рххрх-\-трх — рххрх-{-Ырх= 2Ырх,	(3.6.40)
хр1 — р1х = 0.	(3.6.41)

Используя эти коммутационные соотношения, сразу же получаем желаемый результат:

Нх — х Н = — [ 2 ^ {xpl — Р%х- \-x p l — р1х)-\-хп — пх^ —

= (3.6.42)

Уравнение (3.6.37) теперь принимает вид одного из урав­ нений теоремы Эренфеста

ОО	оо
Т = J	j V p ^ d x d y ,	(3.6.43)
—00—00

используя определение математического ожидания опера­ торов (3.6.33), можно записать его в виде

d (X)	«о <Рх>■	(3.6.44)
dt

10-087

UG

Глава 3

Аналогичное соотношение можно получить для у-компо- ненты:

d О/)	1	(Pi/)*	(3.6.45)
dt

Необходимо также определить производную от математи­ ческого ожидания р х:

	d{рх)	J J	( ^ r P ^ + r P x ^ ) d x d y =
	dz
		- СО — т о
			= it ^ 1	— pxH)\\>dx dy. (3.6.46)
			— со — со

Для определения этого коммутатора необходимо исполь­ зовать коммутационное соотношение

Р*/(*) — /(*) Рх= —

•

(3.6.47)

Это соотношение непосредственно проверяется примене­ нием его к произвольной волновой функции с учетом (3.6.1). Используя это коммутационное соотношение и учитывая то обстоятельство, что рх коммутирует сам с собой и рх, из формулы (3.6.46) получаем

d (Рх)	/ дп \	(3.6.48)
dz	\ д х /

Аналогичное соотношение имеет место и для у-компопенты:

	d (py> _	/	дп \	(3.6.49)
	dz	\	ду /

Уравнения (3.6.44), (3.6.45), (3.6.48) и (3.6.49) составляют теорему Эренфеста. Эти уравнения очень похожи на урав­ нения параксиальных лучей (3.5.34) и (3.5.35). Действи­ тельно, можно объединить уравнения (3.6.44) и (3.6.48) в одно, которое имеет почти такой же вид, как уравнение параксиальных лучей (3.5.36):

* т £ = < ^ > •

<3-6-50>

Аналогичное соотношение, конечно, справедливо и для у-компонеиты. Если бы можно было представить уравпе-

Геометрическая оптика

147

ние (3.6.50) как

(3.6.51)

то отсюда следовало бы, что величина математического ожидания координаты х светового луча сама «движется» ■подобно лучу. Одиако уравнение (3.6.50) заметно отличает­ ся от (3.6.51) и такое утверждение не может быть сделано в общем случае. Можно лишь сказать, что если производ­ ная дп({х), (у})/д(х) достаточно близка к (дп(х, у)/дх), то величина математического ожидания луча «движется» подобно реальному лучу. Это очень важная теорема, так как она утверждает, что центр тяжести светового поля (кото­ рый совпадает с величиной математического ожидания (х )) движется примерно так же, как световой луч. Такое сравнение лучей геометрической оптики и центра тяжести светового поля является ключом к интерпретации луче­ вой оптики. Мы используем лучевую оптику только для получения упрощенного и приближенного описания траек­ торий световых лучей. Было бы полезно иметь уверенность

втом, что уравнение луча описывает траекторию центра тяжести действительного светового луча. В этом случае лучевая оптика точно указывала бы, где проходит боль­ шая часть светового поля. Однако сравнение полученного

вдействительности уравнения (3.6.50) и желаемого уравне­ ния (3.6.51) показывает, что лучевая теорпя не обязатель­ но предсказывает движение центра тяжести световых лучей. Чтобы более подробно изучить условия, при кото­

рых уравнение луча предсказывает движение центра тяже­ сти светового поля, разложим показатель преломления в степенной ряд:

п — П о - \ - П 1Х - \ - П 2у - \ - П 3Х 2 - \ - Щ Х у - \ - П ьу 2- \ - П аХ 3 - \ - 71; Х 2у - \ -

+ 'г8ху2-{-пду3-\- . . . . (3.6.52)

Производная этого разложения показателя преломления равна

■j^ = nl-\-2n3x-\-n!ly-\-3n0x2-\-2?i1xy-!r}i8y2-\- . . . . (3.6.53)

Если бы в разложении (3.6.52) существовали только члены первого и второго порядка, то мы бы точно имели

148

Глава 3

Только в этом случае можно точно утверждать, что центр тяжести светового луча движется в соответствии с луче­ вой оптикой. Распределения показателя преломления, описываемые разложением вида

п = п0-\- щх + п2у -f-п3х1-f- i\xij - f n5if-, (3.6.55)

конечно, возможны. Действительно, уже получены оптиче­ ские волокна с параболическим распределением показате­ ля преломления [23, 112]. Такая «квадратичная среда», которая может быть использована в качестве световых волноводов, будет рассмотрена в гл. 7. Среда с квадратич­ ным распределением представляет большой интерес, так как известно, что решения уравнений лучевой оптики точ­ но описывают движение центра тяжести светового луча, распространяющегося в ней. В случае среды более общего характера уравнения лучей также разрешимы, но не ясно, как эти математические лучи связаны с действительным движением светового поля. В среде с медленно и слабо изменяющимся показателем преломления распределение показателя преломления может быть приблизительно опи­ сано разложением, содержащим только члены первого и второго порядка. Можно утверждать, что луч описывает движение центра тяжести светового поля только в при­ ближении, допускаемом разложением (3.6.55). В случае самого общего распределения коэффициента преломления мало что можно сказать о связи между решениями лучевой оптики и действительной траекторией светового луча.

В заключение рассмотрим принцип неопределенности применительно к данной квантовой теории световых лучей. В книгах по квантовой теории [10, 22] показывается, что коммутационное соотношение (3.6.38) и соответствую­ щее соотношение для г/-компонент приводят к следующим соотношениям неопределенности:

	(3.6.56)
и
ЬуЬРу> ^ .	(3.6.57)

Неопределенности х и рх определяются выражениями вида

Д х = [((.г — (я))2)]1/2

(3.6.58)

Геометрическая оптика

149

= [<(£*— <Р.г-))2)]1/2-

(3.6.59)

Математические ожидания определяются по формуле (3.6.33). Согласно полученным соотношениям, если свето­ вой луч сформирован таким образом, что х известен с не­ которой точностью, то рх может быть измерен только с точ­ ностью, определяемой формулой (3.6.56). Рассмотрим два примера. Сначала предположим, что состояние луча опи­ сывается плоской волной вида (3.6.23). Это состояние является собственным «импульсом» и показывает, что каждое измерение наклона лучей должио'давать величину р'х. В этом случае положение луча совершенно неиз­ вестно, так как бесконечная плоская волна занимает все пространство и нельзя определить какое-либо конкретное положение луча. Далее рассмотрим световой луч, прошед­ ший через очень узкую щель. Положение луча, проходя­ щего через щель, известно с точностью до ширины щели. Однако наклон выходящего луча становится все менее и менее определенным при сужении щели, так как свето­ вая волна дифрагирует в стороны по мере удаления поля от щели. Если предположить, что можно принять Ах = d, т. е. ширине щели, то из формулы (3.6.56) получим

(3.6.00)

пли, используя соотношение (3.5.38) для малых значений а, получим неопределенность угла луча для п = 1:

Аа> Ш - ■

(3.0.61)

Сравнение с формулой (2.3.28) показывает, что развитая ранее дифракционная теория приводила к угловому рас­ ширению примерно того же порядка величины. Получен­ ный результат представляет собой всего лишь неравен­ ство и не противоречит равенству (2.3.28). Однако есте­ ственно ожидать, что можно выбрать более благоприят­ ные распределения поля, которые приведут к меньшему расширению луча по сравнению с диафрагмированной плоской волной с однородным распределением амплитуды в щели. Такими волновыми пакетами с минимальной Неопределенностью являются гауссовы пучки (см. гл. 6),