книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

200

Г.ииш 4

Таблица 4.5.1

Решения задачи о собственных значениях, производные функции 1{^(и) при н = 1 , а также ее производные но собственному значению Ji, вычисленные при « — 1 и р = Рц

	Рд		бр	IV
				ц
				U =г 1)
0	2,70436	-1,01430	-0,50090
1	6,67903	1,34924		0,37146
2	10,67338	-1,57232	-0,31826
3	14,6711	1,74600		0,28648
4	18,6699	-1,89090	-0,26449
5	22,6691	2,01647		0,24799
G	26,6686	-2,12814	-0,23491
7	30,6682	2,22038		0,22485
8	34,6679	-2,32214	-0,21548
9	38,6676	2,40274		0,20779
10	42,6667	-2,48992	-0,20108
11	46,6667	2,56223		0,19516
12	50,6668	-2,64962	-0,18988
13	54,6668	2,70216		0,18513
14	58,6668	-2,76421	-0,18083

Функции R lt (и) трех первых порядков и обряжены па фиг. 4.5.2. Для определения коэффициентов А (1 разло­ жения (4.5.31) необходимо иметь соотношение ортогональ­ ности функций R v (;/). С помощью дифференциального уравнения (4.5.24) можно доказать, что имеет место сле­ дующее условие ортогональности:

	1
	[ и (1 — и2) Rtl(i/) Rv(u)du = 0	при	(4.5.3U)
	о
Условие нормировки функций R следует из интеграла
j	и (1 - и2) R * (и) clu= ~ (	dli,L ) u=i	(4.5.40)
О	“ ^	Р -Ц„

Л низы

201

г/а

Ф л г. 4.5.2. Графики функций

(г/а) трех периых порядков [31].

Коэффициенты разложения в (4.5.31) могут быть полу­ чены из условия Т — Т0 при z = 0. Температура газа Т 0 на входе не зависит от и. Это условие на входе дает

0 = — 1 при z= 0.

(4.5.41)

202 Глина 4

Из формул (4.5.41) п (4.5.31) получаем коэффициенты раз­

ложения с помощью	соотношений (4.5.39) и (4.5.40):
I (	1
	^ и (1 — U-) Д ц ( и ) й н =
2Рм \ 9Р да ) и= [	о
р=рв
	(4.5.42)

Вычисление интеграла было проведено с помощью диф­ ференциального уравнения (4.5.24). Коэффициенты раз­ ложения равны

Ав

(4.5.43)

Производные от функции R по собственному значению приведены в табл. 4.5.1. Распределение температуры внут­ ри газовой линзы получаем теперь из формул (4.5.20), (4.5.31) п (4.5.43):

T = TW+ 2(TW- T 0) 5 К Д н )х

	в—о
X [ (V ( d i y s p y i ,	в- (а/аЧ > У .	(/,.5.44)
р у

Этот ряд хорошо сходится при положительных значениях z. Из табл. 4.5.1 видно, что значения очень быстро воз­ растают с ростом и. Экспоненциальная фупкцня в (4.5.44) быстро становится исчезающе малой и ею можно пренеб­ речь везде, за исключением нескольких первых значений (1 . Ряд медленно сходится только при 2 = 0.

Данное рассмотрение дает возможность получить при­ ближенное решение задачи о тепловом потоке в газовой линзе. Распределение температуры внутри газовой линзы показано на фиг. 4.5.3 для нескольких значений нормиро­ ванной длины вдоль трубы. Хорошая сходимость ряда (4.5.44) становится очевидной, если учесть, что при az/a2v0 — 0,043 экспоненциальные множители в разложе­ нии равны 0,73; 0,147; 0,0075; 0,000090 и т. д. Это говорит

Линзы

203

о том, что уже первые три члена ряда дают очень хорошее приближение к истинному температурному распределению.

О О,! 0.2 0,3 0,4 Ц5 0,6 0,7 0,8 0,9 W

г/а

Ф и г. 4.5.3. Распределение температуры в газовой линзе для пятп различных значений нормированного параметра длины аг/о2^- Пунктирной линией дана приближенная кривая, построенная по трем членам ряда для z — 0 [31].

Нормированный параметр длппы кривых иа фиг. 4.5.3 соответствует множителю, стоящему в показателе экспо­ ненциальной функции в (4.5.44).

204

Глава 4

ТРАЕКТОРИЯ ЛУЧА

После того как установлено температурное распреде­ ление внутри газовой линзы, можно перейти к определе­ нию ее оптических свойств. Основываться будем па урав­ нении параксиальных лучей (3.2.19). Поскольку показа­ тель преломления газа весьма близок к единице (для воз­ духа п — 1,000293 при 20° С), то положим в левой части уравнения (3.2.19) п = 1. Используя цилиндрические коор­ динаты г, ф, 2 и принимая, что для траекторий лучей, падающих параллельно оптической оси, отсутствует зави­ симость от ф, получаем с хорошим приближением

d ~ r __дп

(-1.5.45)

Показатель преломления дается выражением (4.5.7). Для случая малых температурных перепадов можно написать

	дп		\ \ I slHL				1	ОТ
	Иг	•(«о-			— («0—1) То			дг • (4.5.40)
			' Т2 дг
	Уравнение параксиальных лучен принимает вид
			d2r	/	I \	1	дТ	(4.5.47)
			di2
					^	Т0	дг

Формулы (4.5.47) и (4.5.44) могут быть использованы для получения траекторий параксиальных лучей, проходя­ щих через газовую линзу. Вследствие сложного вида тем­ пературного распределения аналитическое решение уравпепня (4.5.47) получить невозможно. Для того чтобы опре­ делить свойства линз исследуемого устройства, необходимо обратиться к численным решениям, полученным с помощью вычислительной машины [34].

Свойства газовой линзы определяются двумя величина­ ми. Как и в случае обычной линзы, необходимо знать фокусное расстояние. Однако в связи с протяженной физической длиной газовой линзы необходимо добавить еще один параметр, для того чтобы полностью охарактери­ зовать ее свойства. Оказывается, что газовую линзу можно приближенно считать тонкой, хотя она имеет значитель­ ную длину. Однако эта эквивалентная тонкая линза не будет плоской и должна иметь кривую поверхность

Л низы

205

с круговой симметрией. В теории толстых линз использу­ ется концепция главных плоскостей для описания свойств

Г л а в н а я п о в е р х н о с т ь Р+

/Подогреваемая т руба

Ф н г. 4.5.4.	Определение главной поверхности в газовой линзе
в случае,	когда спет распространяется вдоль газового потока.

линз такого рода [1, 15]. Мы воспользуемся этой концеп­ цией для описания газовой линзы, но вместо главных плос­ костей будем рассматривать главные поверхности. Опре­ деление главных поверхностей дано па фиг. 4.5.4 н 4.5.5.

Ф и г. 4.5.5. Определение второй главной поверхности в газовой линзе в случае, когда спет распространяется навстречу газовому потоку.

Газовый поток направлен слева направо. На фиг. 4.5.4 изображен луч света, падающий слева параллельно опти­ ческой оси. Его истинная траектория внутри линзы не по­ казана. Траектория входного луча продлена внутрь линзы прямой пунктирной линией. Выходной луч впутрп лпнзы

2l)li i'.iami i

изображен другой п]шмой пунктирной линией. Пересече­ ние этих двух линий определяет одну из точек главной поверхности Р+. Совокупность точек, определяемых с по­ мощью всех возможных входных лучей, параллельных оптической осп, но лежит в одной плоскости. Нахождение этой главной поверхности является одной из задач при численном решении уравнения (4.5.47). Другая главная поверхность Р_ показана на фиг. 4.5.5. Ее определение идентично определению Р+, но падающий луч входит в лин­ зу справа навстречу газовому потоку параллельно опти­ ческой осп. Вовсе не обязательно, чтобы обе поверхности Р+ п jР_ совпадали. Их несовпадение фактически указы­ вает на наличие оптической толщины у газовой линзы. Если же обе поверхности совпадают, то для того чтобы проследить за ходом луча через линзу, оказывается доста­ точным одной главной поверхности. В этом случае линза является оптически тонкой. Топкая линза в разд. 4.2 рас­ сматривалась как плоская. Траектории лучей находились путем преломления каждого луча в точке пересечения его с плоскостью на величину, которая зависит от фокусирую­ щей способности линзы. Можно аналогичным образом

описать	действие газовой	линзы, преломляя каждый луч
в точке	пересечения его	с главной поверхностью. Если

у линзы две главные поверхности, то ход лучей, падаю­ щих параллельно оптической осп, можно проследить, преломляя их па соответствующих главных поверх­ ностях. Если у линзы только одна главная поверхность, то нмепио на пей должен быть преломлен каждый луч; пайти траекторию луча, прошедшего через газовую линзу, не труднее, чем определить ее в случае обычной тонкой линзы при условии, что известна форма главной поверх­ ности. Действие газовой линзы можно, с другой стороны, описать с использованием фокусного расстояния. Как показано па фиг. 4.5.4 и 4.5.5, фокусное расстояние измеряется от той точки, в которой лучи пересекают глав­ ную поверхность. Если имеются две различные главные поверхности, то не удивительно, что для описания свойств

линзы	нужно ввести два разных фокусных расстояния
/+ п /_.	К счастью, газовая линза практически является

тонкой линзой. Обе ее главные поверхности почти совпа­ дают, и поэтому фокусные расстояния /+ и /_ близки друг

Jill uitti

20?

к другу. Численное решение уравнения (-1.5.47) дает поло­ жение и наклон лучей в том сечении, где они покидают линзу. Геометрическое место точек главной поверхности Р+ определяется соотношением

Z = Р+(г),	(4.5.48)
а для главной повехности Р_
z = Р_ (г).	(4.5.49)

Положение луча при z =	0 описывается функцией г± (0),
а положение при z = L —	функцией г± (L). Аналогичным
образом наклонят лучей	dr/dz описываются функциями

г'± (0) и r'± (L). Таким образом, фокусные расстояния равны

U	_	'У (0)	(4.5.50)
		Г+(L)
	г -	( L )	(4.5.51)
	п	(0) ’

Главпые поверхности определяются теперь соотношениями

	Р+=Ь	Г+ ( 0 ) —г+ ( L)	(4.5.52)
		г+ (L)
	и
		r _ ( L ) - r _ (0)
	Р.		(4.5.53)
		/■1(0)
	Индексами « + » и «—» отмечены лучи,		идущие соответ­

ственно вправо н влево. Плоскость z = 0 совпадает с вход­ ным сечением газовой линзы (левый конец трубы). Выбор знака диктуется тем обстоятельством, что rV (L) < 0,

а г1 (0) > 0.

Для того чтобы иметь возможность оперировать с без­ размерными величинами, введем некоторые нормирован­ ные параметры. Для этой цели полезным является пара­

	метр х)	а L	кЬ
	V-			(4.5.54)
		/ - =	рса2;)
		а2

Поскольку здесь показатель степени экспоненциальной функции должен быть безразмерной величиной, то ясно,

Ч Для	воздуха при 20 °С	имеем:	р = 1 ,2 Ы 0 '3	г/см3,* к =
— 6,28-10-6	кал/см-с-град, с„	= 0,24	кал/г-град,	п — 1 =
= 2,93-10“*.

20S

I'.uiau d

что V имеет размерность скорости. Важно помнить, что величина V пропорциональна длине газовой линзы. Кроме того, этот параметр определяется также теплопровод­ ностью к и удельной теплоемкостью ср применяемого газа, а также размером поперечного сечения линзы. В связи с тем, что координата z входит в формулу (4.5.44) в виде комбинации

удобно выразить уравнение лучей через эту координату. Учитывая выражение (4.5.21), получаем из (4.5.47)

Это уравнение содержит только безразмерные величины и поэтому может быть использовано для численного рас­ чета. Из формул (4.5.44) п (4.5.56) видно, что константа

является еще одним безразмерным параметром, исполь­ зуемым для расчета линзы. Он содержит информацию о длине и поперечном сечении линзы, а также о показателе преломления газа и температуре нагреваемой трубы.

Результаты численного решения рассматриваемой зада­ чи о газовой линзе приведены на нескольких фигурах. На фиг. 4.5.6 представлены графики зависимости нормиро­ ванного фокусного расстояния газовой линзы для лучей, весьма близких к осп линзы (г+ (0)/'а = 0,1), от нормиро­ ванной скорости газа. Наиболее замечательным свойством этих кривых является наличие минимума. Тот факт, что существует оптимальная скорость газа, при которой фокус­ ное расстояние короче, чем при любой другой скорости, можно легко объяснить. Рассмотрим сначала газовую лин­ зу, в которой газ неподвижен (v0 — 0). В этом случае газ в трубе прогрет до температуры трубы. При одинаковой температуре газа линза не фокусирует (/ = оо). При проте­ кании газа через линзу устанавливается некоторое темпе­ ратурное распределение между началом и концом труоы. Однако в случае очень малых скоростей газ успевает пол­ ностью прогреться, прежде чем достигнет конца трубы,

Линзы,

209

и в результате фокусирующее действие оказывается сла­ бым. По мере возрастания скорости фокусирующая спо­ собность линзы становится все сильнее. Этим и объясняется

”6.

v

Фи г. 4.5.6. Нормированное фокусное расстояние f+/L как функ­ ция нормированной скорости газового потока v0/V [34].

уменьшение фокусного расстояния слева от минимума иа фиг. 4.5.6. При возрастании скорости наступает такой момент, когда газ покидает трубу, прежде чем успеет прогреться в достаточной мере. Фокусирующая способ­ ность линзы начинает ослабевать, и фокусное расстояние опять возрастает. При бесконечно большой скорости (если это возможно для ламинарного потока) газ прохо­ дит через линзу, не изменяя своей входной температуры, и поэтому фокусирующее действие становится певозмож-

14—087