книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

130

Глава 3

в разд. 3.2 [см. уравнения (3.2.18) и (3.2.19)1. Производные х' н у' описывают наклон луча по отношению к оси ъ. В параксиальном приближении принимается, что наклон луча очень мал и поэтому можно принять

* 4 1 . / « ! •

(3-5.15)

Соотношения (3.5.9) и (3.5.10) требуют, чтобы выполнялись следующие условия:

/Р х < п ,	(3.5.16)
Это позволяет разложить	квадратный корень в (3.5.13)

и получить гамильтониан лучевой оптики в параксиальном приближении:

11 =	2«о	-гг.	4(3.5.17)
Необходимо также выразить		показательпреломления
в видесуммы постоянной части п0 и небольшой,			изменяю­
щейся в пространстве части Д/г:
гг =	гг0 — Агг.		(3.5.18)

Это соотношение является необходимым для параксиаль­ ного приближения, так как еслн показатель преломления резко изменяется в пространстве, то, вероятно, встретим­ ся с лучами, имеющими большие наклоны. Условие

Дгг<^гг0

(3.5.19)

вместе с (3.5.16) позволяет заменить гг на гг0 в зависящей от р части гамильтониана. Дифференциальные уравнения лучевой о п т и к и неприменимы при разрывах непрерывно­ сти диэлектрической проницаемости, когда Дгг не является малой. Однако разрывы непрерывности могут быть учтены путем сшивания решений для непрерывных участков с по­ мощью граничных условий.

Параксиальный гамильтониан геометрической оптики тесно связан с иерелятивистским гамильтонианом механи­ ки точечных частиц [19]:

Н =

(3.5.20)

Задачи лучевой оптики имеют на одно измерение меньше по сравнению с соответствующими задачами механики

Геометрическая опт ика

131

точечных частиц. Потенциал частицы V заменяется на по­ казатель преломления оптической среды. Разница в зна­ ке двух потенциальных членов не является существенной. Действительно, можно использовать Ап из (3.5.18) в ка­ честве потенциала лучевой оптики и достичь полного соот­ ветствия даже в знаке потенциального члена. Аддитивная постоянная п0не имеет физического смысла, так как любой потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Уравнение в частных производных Гамильто­ на — Якоби [19]

as_+ tf (*, IJ, 2 ,- g - dS	dS \ __,	(3.5.21)
dt

играет важную роль в гамильтоновой механике точечных частиц. Функция S введена как решение уравнения в част­ ных производных Гамильтона — Якоби (3.5.21). Произ­ водные S по координатам заменяют импульсы в функции Гамильтона. В соответствии с общей связью между меха­ никой и лучевой оптикой нужно заменить временную коор­ динату t пространственной переменной z и понизить раз­ мерность задачи на единицу. Таким образом получаем уравнение Гамильтона — Якоби для лучевой оптики

	as _	dS_	dS \	‘	(3.5.22)
	dz	дх	ду )

Возводя в квадрат обе части этого уравнения и учитывая точное выражение (3.5.13) для гамильтониана, получаем

/ OS \	2	/	0S	\2	(3.5.23)
V дх )		\	ду	)

Как видим, вновь пришли к уравнению эйконала (3.2.5)

(VS)2 = ?z2.

(3.5.24)

Таким образом, мы описали полный круг, получив уравнение эйконала, которое являлось исходным при выводе уравнения луча в разд. 3.2. Поэтому вывод уравне­ ний геометрической оптики из принципа Ферма полностго эквивалентен предыдущему выводу из приведенного волнового уравнения. Газличные выводы законов меха­ ники или лучевой оптики из вариационного принципа типичны для вариационных задач такого рода. Эта взаимо­ связь между вариационным принципом, уравнениями дви-

9*

132

Глава 3

жеиия в форме лагранжиана или гамильтониана и урав­ нением в частных производных Гамильтона — Якоби хорошо прослежена в классической книге Куранта [4].

Как увидим в следующем разделе, можно нойтн еще дальше и вывести волновое уравнение как уравнение Клейна — Гордона релятивистской механики для лучевой

оптики.

Возвращаясь к дифференциальным уравнениям Гамиль­ тона (3.5.4), (3.5.5), (3.5.7) и (3.5.8), покажем, что они тоже эквивалентны уравнению луча. Используя формулы (3.5.4) и (3.5.5), из гамильтониана (3.5.13) получаем

и

ds dz

Эта формула

	dx	1		Px			(3.5.25)
	dz		< tc 1 25* 1
		'			P'v
	dy			Py			(3.5.26)
	dz	V « 2- P l — Ру
							3.5.12)].
	уже были получены [см. (3.
	i.7) и (3..5.8) имеем					дп
	d-Px			n			(3.5.27)
		V n z — Px — P'i■				дх ’
	dz
	дру __			n		дп	(3.5.28)
	dz	<	7c	1 *a 1 *53	и	ду
	(3.5.25)
		и (3.5.26) находим
	= y i + * ' s+			j ' ;,= y =		p	(3.5.29)
	позволяет		упростить			(3.5.27)	и (3.5.28):
		dpx __ дп					(3.5.30)
		ds		дх ’
		dPy		дп			(3.5.31)
		ds		ду

Используя еще раз формулу (3.5.29), из равенств(3.5.25) и (3.5.26) получаем обобщенные импульсы в простом виде:

рх= п%г

(3.5.32)

и

dy

P» = n w

(3.5.33)

Геометрическая оптика

133

Подстановка выражепия (3.5.32) в равенство (3.5.30) дает составляющую х уравнения луча (3.2.16) или (3.4.11). Составляющая у вычисляется из двух других уравнений.

Параксиальное приближение лучевого уравнения полу­ чается сразу же, если воспользоваться параксиальным приближением гамильтониана в уравнениях Гамильтона.

Из формул (3.5.4) и (3.5.17) имеем

dx 1

(3.5.34)

dz п0 Р*'

Уравнения (3.5.7) и (3.5.17) приводят к соотношению

	dpx	дп	(3.5.35)
	dz	дх

Объединение равенств (3.5.34) и (3.5.35) дает х-составляю- щую параксиального лучевого уравнения

	dzx	дп	(3.5.36)
	П° dz2	дх

Соответствующая ^-составляющая равна

dzy __ дп

(3.5.37)

dz2 ду

Эти уравнения имеют здесь более подходящий вид, чем форма (3.2.19), так как показатель преломления в левой части заменен его средним значением п0. Это необходимо в случае параксиального приближения, так как произве­ дения Ап из (3.5.18) и производных от х и у по z являются членами второго порядка малости, которыми следует пре­ небречь в случае последовательного приближения первого порядка.

На фиг. 3.5.1 и 3.5.2 показаны участок светового луча и углы, которые он образует с плоскостями х, z и у, z. Обобщенные моменты (3.5.32) и (3.5.33) можно выразить через углы ах и ау:

рх= п sines*,	(3.5.38)
p,/= 7 2 s in a !/.	(3.5.39)

Если считать плоскость х, у границей между двумя среда­ ми с различными диэлектрическими проницаемостями и расположить систему координат так, что луч, проходя­ щий через границу нз одной среды в другую, распростра­

134

Глава 3

няется в плоскости у, z, то можно выразить закон Снеллиуса (3.3.6) через обобщенные импульсы следующим образом:

	(P * )i = (P * )a = 0 ,	(3.5.40)
	( P y ) i - ( P u ) z -

Обобщенные импульсы, таким образом, сохраняются при прохождении луча из одной среды в другую. Этот резуль-

Ф и г. 3.5.2. Определение угла а х.

Геометр ическая опт ика

135

тат следует из соотношений (3.5.30) и (3.5.31), потому что при нашем выборе системы координат везде (включая гра­ ницу) дп!дх = 0, дп/ду — 0, и, следовательно, рх и ру долж­ ны быть постоянными.

Обобщенный импульс луча нельзя путать с импульсом фотона. Они ие имеют ничего общего. Импульс фотона это действительный механический импульс, которым обла­ дает фотон, тогда как обобщенный импульс светового луча был получен чисто формально из гамильтонова формализ­ ма лучевой оптики. Обобщенный импульс светового луча описывает его наклон по отношению к фиксированным ко­ ординатным осям.

3.6. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ Й

Принцип Ферма позволил получить основные уравне­ ния геометрической оптики, ранее выведенные из приве­ денного волнового уравнения. Однако чисто алгебраиче­ ские выкладки ие могут привести к успеху при получении волнового уравнения из принципа Ферма, так как мы пре­ небрегли некоторыми членами при выводе уравнений луче­ вой оптики из волновой оптики. Эти отброшенные члены лишний раз напоминают о том, что геометрическая оптика является лишь приближением волновой оптики и ие может описывать оптические явления так же полно, как волновая оптика. В этом разделе покажем, что волновое уравнение все же может быть получено из лучевой оптики, но не про­ сто с помощью алгебраических преобразований, а скорее при использовании дополнительного условия — кванто­ вания. Применение правил квантовой механики к луче­ вой оптике приводит к квантовой теории световых лучей [42]. Оказывается, однако~что такая теория идентична скалярной волновой теории, использующей прнведенное волновое уравнение. £Г предыдущем разделе было ука­ зано, что точные (в рамках лучевой оптики) уравнения лучевой оптики эквивалентны уравнениям релятивистской механики и что уравнения параксиальной оптики экви­ валентны уравнениям нерелятивистской механики. Эта

Й Этот раздел не является существенным для понимания дальнейшего изложения. Читатели, пе знакомые с квантовой меха­ никой, могут его пропустить.

136

Глава 3

аналогия приводит нас к квантовой теории световых лучей. Приведенное волновое уравнение получается из эквива­ лента релятивистского уравнения Клейна — Гордона [22] волновой механики, тогда как геометрооптический экви­ валент обычного нерелятивистского уравнения Шредингера следует из параксиального приближения. Эйхман [66] сумел сделать еще один шаг. Он построил теорию луче­ вой оптики в духе Дирака и показал, что уравнение Дира­ ка для световых лучей эквивалентно уравнениям Максвел­ ла, не зависящим от времени.

Квантование в физической теории осуществляется путем замены физических величии операторами. Б волно­ вой механике координаты по-прежнему остаются числами, но канонически сопряженные переменные — импульсы — становятся дифференциальными операторами [5, 10]:

рх= - ш - 1 -	(3.6.1)
и
р у=	(3.6.2)

Мы воздержались от обозначения постоянной в уравнени­ ях (3.6.1) и (3.6.2) обычным символом к , так как наша кван­ товая теория несколько отличается от обычной квантовой механики дискретных частиц. Временная координата механики заменяется на координату z. Поэтому временная координата в постоянной Планка также должна быть заменена координатой длины, и Ь уже нельзя считать имеющей размерность энергии, умноженной на время. Вместо этого постоянная к, введенная вместо к, должна иметь размерность гамильтониана, умноженного на длину. Гамильтониан (3.5.13) является безразмерным, поэтому к имеет размерность длины.

В классической квантовой механике энергия оператора Гамильтона выражается с помощью производной по време­

ни. Поэтому мы применяем соотношение
I I = Ы	,	(3.6.3)

опять используя соответствие между переменными «время» и «длина».

Геометрическая оптика

137

В релятивистской квантовой механике принято возво­ дить в квадрат соотношение (3.6.3), т. е. не использовать для операторов выражения через квадратные корни. Поэ­ тому запишем

//2==- * 25 г -

(3-0.4)

Применение этого операторного соотношения к волновой функции дает геометрооптический эквивалент релятивист­ ского волнового уравнения. Это уравнение называют уравнением Клейна — Гордона [22], чтобы отличить его от обычного нерелятивистского уравнения Шредипгера. Используя формулы (3.5.13), (3.6.1) и (3.6.2) и применяя (3.6.4) к волновой функции, получаем уравнение Клейна— Гордона квантовой теории лучевой оптики:

" Ч + * т З - -X2

дуг

<9z2

(3.6.5)

Перегруппировка членов уравнения дает/

v 4 + ^ = 0.

(3.6.6)

Очевидно, что это волновое уравнение квантовой теории геометрической оптики идентично приведенному волново­ му уравнению (3.2.1), которое для данного, интересующего нас случая запишем в виде

у 2' И - ( ^ ) ^ = °

(3-6.7)

с тем, чтобы использовать понятие длины волны в свобод­ ном пространстве А,0. Сравнение двух уравнений позво­ ляет определить постоянную х:

х =	^■0	(3.6.8)
	2я

Это более чем удовлетворительный результат. Постоянная х эквивалентна квантовомеханической постоянной h. Для квантовой теории характерно, что ее результаты совпадают с результатами классической механики при h -> 0. Можно ожидать, что результаты квантовой теории лучевой оптики совпадают с результатами геометрической оптики при х — 0. Однако, как видим теперь, этот предел эквивален­ тен пределу А,0 —>- 0. Из предыдущего вывода уравнений

m Глава 3

лучевой оптики из волновой оптики известно, что уравне­

ния лучевой оптики становятся точными при Л0

0.

Очень удобно, что постоянная Планка квантовой теории лучевой оптики оказывается длиной волны света в вакууме.

Можно непосредственно использовать все хорошо известные результаты квантовой механики и применить их к квантовой теории лучевой оптики, которая, как мы показали, идентична скалярной волновой теории света или любого другого явления, описываемого волновым урав­ нением. На практике установление эквивалентности волно­ вой оптики и квантовой теории лучей приносит больше пользы лучевой оптике, чем волновой. Волновая оптика является сама по себе полной теорией. Однако граница применимости лучевой оптики — вопрос открытый, так как лучевая оптика является всего лишь приближенной теорией. Поскольку лучевая оптика — это «классическая механика» волновой оптики, то можно использовать наши знания классической н волновой механики в качестве руководства для оценки справедливости п применимости лучевой оптики. Квантовая механика не заменяет класси­ ческую механику. Последняя используется в тех областях, где она считается применимой. Известно, например, что движение электронов в электрическом и магнитном полях с большой точностью описывается законами классической механики. Только в случае очень сплыгых полей, напри­ мер вблизи ядер, мы вынуждены использовать квантовую механику для правильного описания движения электро­ нов. В этом случае классическая механика бессильна. Известно также, что классическая механика неприменима, когда электрон проявляет свою волновую природу. Эти аналогии могут быть использованы в качестве руковод­ ства при выборе лучевой или волновой оптики для конкрет­ ной оптической задачи, а теорема Эренфеста [22] помогает установить пределы классической механики. Позднее в этом разделе будут рассмотрены эти вопросы и сделаны соответствующие выводы о применимости лучевой оптики.

Первым промежуточным результатом развитой здесь квантовой теории лучевой оптики является параксиальное приближение для приведенного волнового уравнения. Мы неоднократно указывали, что параксиальное прибли­ жение соответствует нерелятивистской механике. Подста­

Геометрическая оптика

139

новка параксиального гамильтониана (3.5.17) в оператор­ ное уравнение (3.6.3) позволяет получить геометроопти­ ческий эквивалент нерелятивистского уравнения Шредингера. Это уравнение также является параксиальным приближением приведенного волнового уравнения. Оно имеет вид

	/	52\|)	, а2ф \	,	.	Х0	д\р	(3.6.9)
	— 8п2»0 (	3x2 +	ду2 )	m i>— 1		2п	dz

Перегруппировав члены, получим параксиальное волновое уравнение

321|) ,	д2\р	. . 4я	д\р , 8л2	Л	,0 г . п.
^ +	^ +	1Т 7 'го1 Г + ^ Г ,г°т ^= 0 -			(3-6Л0)

Уравнение (3.6.9) имеет вид нерелятивистского уравнения Шредиигера.

Другим важным уравнением квантовой механики является уравнение собственных значений энергии

//ф = 7?ф,

(3.6.11)

которое можно переписать в виде, более удобном для реля­ тивистского гамильтониана:

ТРлр = £ 2ф.

(3.6.12)

Из формул (3.5.17) и (3.6.11) получаем уравнение соб­ ственных значений энергии для параксиального случая

8я2/)0 \ Зх2	■ 0 - ) - т |; = £г|;	(3.6.13)

Используя волновую функцию вида [знак показателя экспоненты сравните с (3.6.27)]

ф= фо(^, у)е^г

(3.6.14)

с постоянной распространения р и сравнивая уравнение (3.6.9) с уравнением собственных значений энергии (3.6.13), находим, что собственное значение Е пропорционально постоянной распространения

Е = — Й-Р-

(3-6.15)

Тот же результат можно получить из равенства (3.6.12). Выражение (3.6.15) является эквивалентом квантовоме­