книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

240

Глава S

можно наблюдать, как она распространяется в направле­ нии к зеркалу, отражается от него, идет в противополож­ ном направлении к другому зеркалу. Рассматривая полу­ чающееся распределение поля, можно сказать, что резо­ натор точно соответствует линзовому волноводу. В самом деле, система на фнг. 5.3.2 преобразуется в линзовый вол­ новод, если не учитывать того, что волна меняет свое направление в плоскости зеркала, и считать, что она распространяется без отражения при условии, что непо­ средственно за первой стоит другая идентичная линза.

Ф н г. 5.3.3. Развернутый вдоль оси лазерный резонатор, иллю­ стрирующий эквивалентность между лазерными резонаторами и линзовыми волноводами.

Реальная отраженная волна пересекает каждую линзу, как видно из фиг. 5.3.2, дважды. Волна, приближающаяся к системе линза — зеркало, проходит через линзу, отра­ жается от плоского зеркала и проходит еще раз через лин­ зу. Эта волна распространяется так же, как в структуре, показаппой на фиг. 5.3.3. Линзы, показанные на фнг. 5.3.2,

имеют	фокусные расстояния 2/j и 2/ 2. Iio			поскольку эти
линзы	пересекаются	волной дважды,	они	действуют по­
добно	двум близко	расположенным	линзам, которые

в сумме имеют фокусные расстояния Д или / 2. Резонатор в развернутом виде показан на фиг. 5.3.3; он подобен линзовому волноводу.

До сих пор внимание концентрировалось на одной из бегущих волн стоячей волны резонатора. Другая волна претерпевает те же изменения, но движется в противо­ положном направлении. Обе бегущие волны накладывают­ ся друг на друга в каждой точке пространства, образуя в резонаторе стоячую волну. Конечно, необходимо, чтобы

. // низовые волноводы 2 -i t

волны точно повторялись нры движении туда и обратно, создавая внутри резонатора интерференционную картину. Это требование приводит к тому, что резонатор может работать только на ряде дискретных частот, зависящих от его длины. В этом состоит отличие поля резонатора от моды, распространяющейся в соответствующем линзо­ вом волноводе. Линзовый волновод используется в непре­ рывном спектре частот, тогда как резонатор может рабо­ тать только на определенных дискретных частотах. Однако линзовый волновод способен поддерживать моды, как и резонатор. Картина поля идентична картине в соответ­ ствующем резонаторе. Сходство линзового волновода и резонатора лазера обнаруживается еще сильнее, если рассмотреть задачи методами волновой оптики, как это сделано в разд. 5.6 и 6.6. Резонатор лазера может быть описан интегральным уравнением. Итерационное решение этого уравнения эквивалентно процессу распространения волны по линзовому волноводу.

Установив эквивалентность лазерных резонаторов и линзовых волноводов, можно использовать результаты рассмотрения линзового волновода для случая резонатора.

Мы видели па фиг. 5.2.4, что конфокальный линзовый волновод соответствует точке х = у = 0. Эта особая точ­ ка находится между стабильной и нестабильной областя­ ми структуры. Ранее отмечалось, что эта нестабильность не является очень существенной для реального линзового волновода, если даже существует опасность попадания фокусных расстояний некоторых линз в запретную зону (фиг. 5.2.4). Рассмотрим теперь лазерный резонатор, скон­ струированный для работы в режиме конфокального резо­ натора. В этом случае резонатор будет соответствовать конфокальному линзовому волноводу. Все множество линз волновода соответствует двум зеркалам резонатора, так что любое случайное отклонение от равенства фокусных расстояний зеркал может вызвать работу устройства либо в режиме внутри заштрихованной области (фиг. 5.2.4), либо вне ее. В последнем случае потери в резонаторе будут очень быстро возрастать и работа будет нарушена. По этим соображениям обычно лазерные резонаторы не конструи­ руются с конфокальными системами, а рассчитываются для работы в точке, соответствующей заштрихованной

242

Глина 5

области (фиг. 5.2.4), чтобы устранить возможность работы в области больших потерь, обусловленных случайным отклонением зеркал от строгой идентичности. Для неко­ торых специальных применений в лазерах с высоким уси­ лением предлагается работать в области нестабильности резонатора для обеспечения требуемой селекции мод.

Мы еще вернемся к обсуждению лазерных резонаторов при рассмотрении линзовых волноводов. Однако представ­ ление об эквивалентности линзовых волноводов и лазер­ ных резонаторов может быть получено непосредственно из геометрической оптики.

5.4.ЛИНЗОВЫП ВОЛНОВОД С ИСКРИВЛЕННОЙ ОСЬЮ

Впредыдущих разделах были рассмотрены линзовые волноводы, осп которых представляют собой идеальные прямые линии. Разумеется, это является идеализацией,

Линза

не реализуемой па практике. Одним из важных свойств линзовых волноводов является возможность передачи света по искривленным путям. Ниже изложена луче­ вая теория линзовых волноводов с произвольно искрив­ ленными осями [50, 51].

Геометрия участка линзового волновода с искривлен­ ной осью показана на фиг. 5.4.1. В этом разделе мы пред­ полагаем, что линзы волновода одинаковы. Снова обозна­ чим через гп положение луча на линзе, измеренное отно­ сительно ее центра. Прямые линии, соединяющие центры линз, образуют ломаную ось структуры. Угол уп указы­ вает изменение направления оси волновода у п-й линзы.

Jl низовые волповоОи

243

Как и прежде, угол между направлением луча и осью обозначим через ап. Уравнение луча может быть получено из следующих параксиальных уравнений:

	rn±i^=rn-\-a.nL,		(5.4.1)
&п	Уп==	~ •	(5.4.2)

Уравнение (5.4.1) идентично уравнению (5.2.2). Уравне­ ние (5.4.2) такое же, как и уравнение (5.2.1), с той лишь разницей, что нужно вычесть угол уп, определяющий изме­

нение направления	оси	волновода, из разности углов
ап — a n_i, так как	эти	углы измеряются относительно

оси волновода. Изменение направления луча определяет­ ся оптической силой линзы и положением луча в линзе независимо от изменения направления оси волновода. Опять исключаем углы, вычитая из уравнения (5.4.1) подобное ему уравнение, полученное заменой п на п — 1.

С учетом уравнения (5.4.2)	имеем
г,1+1 — 2 ^1—	f'n-j-rn-j —ynL.	(5.4.3)

Линзовый волновод с искривленной осью описывается неоднородным разностным уравнением. Решение разност­ ных уравнений очень похоже на решение дифференциаль­ ных уравнений. Неоднородное дифференциальное уравне­ ние может быть решено методом вариации произвольных постоянных. Применяя этот метод к разностному уравне­ нию, получим пробное решение в виде

г„= апе'пв,

(5.4.4)

где 0 задается формулой (5.2.6). Для постоянного зна­ чения ап (когда ап не зависит от п) пробное решение (5.4.4) должно быть решением однородного разностного уравне­ ния (уп = 0). В частном случае = г2 = 0 и у4 = 0 при использовании (5.2.6) можно записать систему уравне­ ний (5.4.3) в следующей форме:

a3eie		= L y 2e~2ie,
я-4е10— 2a3cos0		= L y 3e~3ie,
a5eie — 2a4 cos 0	-j-a3e -ie	= L y 4e~,ii@
aaeie — 2abcos 0	-|-a4e -i0	= Ly5e -5i0,

aneie — 2«„_i cos Q-\-an. ze-i@— Lyn_je -<-n- l'>i@.

10*

244

Г.тип 5

Сложение уравнений системы приводит к соотношению

п—1	(5.4.5)
апе'в — an_1e~ie = L У yve_iv0.
v=2

Пробное решение (5.4.4) позволяет привести неоднородное разностное уравнение второго порядка (5.4.3) к неодно­ родному разностному уравнению первого порядка. Такое понижение порядка уравнения совершенно аналогично методу вариации произвольных постоянных в дифферен­ циальных уравнениях. Уравнение (5.4.5) может быть заппсано в виде системы

,i©

ачб?

< , jo

U j j c

— L ^ yve- iv0 v=2

3

— L >, yve~ive »2iH v—2

4

а5е’в— a4e~ie> = L S	Yve ivB	„4 it)
V = 2
71—1
a neie - fl„ _ Ie - ie= / , ^	Yve-ive	М 2 (n - 3) t)
V = 2

Очевидно, что все члены, кроме ап в левых частях отпх уравнений, взаимно уничтожатся, если умножить каждое уравнение на экспоненциальный множитель, стоящий пра­ вее вертикальной линии, и сложить все уравнения. Эта процедура приведет к уравнению

7 1 -	1	77	(5.4.6)
йпв{(2п-5) е _ £ , V	TvC-ive	У, в(2(ц-з)е
v=2		H =v+1

После выполнения суммирования и подстановки резуль­ тата в уравнение (5.4.4) получаем частное решение неодно­ родного разностного уравнения второго порядка в следую­ щем виде:

П~ i

sin 0

2 "Yv sin (гг— v) 0 для ?г)^3. (5.4.7)

2

Линзовые волноводы

245

Полное решение неоднородного разностного уравнения (5.4.3) является суммой решения (5.2.12) однородного уравнения и частного решения (5.4.7) неоднородного уравнения:

, П =Ж 0 [ 1s*n (п ~~^ ©“Ь'г s‘n (п — 1) 0 + л-1

-f-L У yvsin (п — v) ©J для п ^ З . (5.4.8)

v=2

Это решение для траектории луча в линзовом волноводе с искривленной осью получено в параксиальном прибли­ жении. Однако оно справедливо для волноводов, оси

которых изменяются произвольным образом, но так, что угол уп остается малым.

Угол у„ может быть использован для получения радиу­ са кривизны линзового волновода. На фиг. 5.4.2показано, как угол уп связан с радиусом кривизны оси волновода.

Эта связь имеет следующий вид:
V*=т г •	(5-4.9)
•“тг

Разумеется, это соотношение справедливо лишь в пара­ ксиальном приближении,

246

Глава 5

Другой способ описания линзового волновода с искрив­ ленной осью связан с рассмотрением положений как луча, так п центров линз. Это особенно полезно при рассмотре­ нии линзовых волноводов, оси которых незначительно отклоняются от прямой линии. Подобная ситуация изоб­ ражена на фиг. 5.4.3, где смещение линз сильно увели­ чено. Положение луча рассматривается относительно пря­ мой линии отсчета, а нс центра каждой линзы. Расстояние

сЛинза

Ф и г. 5.4.3. Другое описание линзового волновода с пскривленnoii осью. Положения центров линз и луча рассматриваются отно­ сительно пунктирной линии отсчета.

от линии отсчета до центра линзы обозначим через Sn. Тогда положение луча рп определяется равенством

Рп = rn + Sn.

(5.4.10)

Соотношение между расстоянием Sn и углом у„ может быть получено следующим образом. Рассмотрим треуголь­ ник, образованный участками прямых, соединяющих центры линз с номерами п — 1, п и п + 1, и третьей пря­ мой линией (на фиг. 5.4.3 не показана), соединяющей центр

(п — 1)-й линзы с центром (?г +		1)-й линзы. Внутренние
углы этого	треугольника	приблизительно	равны
(S n — Sn_i)/L	у линзы п — 1,	я — уп у линзы	п и

(Sn — Snt i)IL у линзы п + 1. Так как сумма этих углов должна равняться я, то получаем следующее выражение:

—

(2S n S — 5цц).

( 5 . 4 . 1 1 )

. 7 инзовые mijiiwendin

247

Подстановка выражений (5.4.10) и (5.4.11) в (5.4.7) дает

71— I

Р«= 5 '1+ Л Г ё З (25v5V_, - 5V+1) sin (» - v ) ©.(5.4.12) v=2

Перегруппировка членов в сумме приводит к выражению

p»= ^ g { — Si sin (/г — 2)0-j-6,2sin(« — 1)0 +

71— 1

-f- 2 Sv [2 sin (я—v) 0 —sin (я—v—1)0—sin(n—v-j~l)0]| • v=2

(5.4.13)

Пашей задачей является нахождение частного решения неоднородного разностного уравнения, которое соответ­ ствует этой модифицированной задаче. Перввте два члена до знака суммы в формуле (5.4.13) являются решениями однородного разностного уравнепня п могут быть исполь­ зованы в качестве решения, которое должно быть добавле­ но для получения полного решения неоднородного раз­ ностного уравнения. Опустив первые два члена в форму­ ле (5.4.13) и используя формулу для суммы синусов, мож­ но записать частное решение неоднородной задачи в виде

	71— 1
Рд=	6) 2 Sv sin(n — v)Q,	3. (5.4.14)
	v=2
Прибавим решение однородного уравнепня		по аналогии

с методом получения соотношения (5.4.8). В итоге получим полное решение задачи

plSin (” — 2) 0 + р2 sin (я — 1 )0 +

71— 1

+ - J - 2 ■S’vSin^i — v)©j .(5.4.15)

v=2

Формула (5.2.6) использовалась для выражения cos 0 через Uf. Наша вторая формулировка задачи линзового волновода с искривленной осью имеет тот недостаток, что она непригодна для описания волноводов, осп которых

248	Глава	5
существенно	отклоняются от	начального направления.

В этих случаях должна использоваться формула (5.4.8). Однако выражение (5.4.15) является полезным при стати­ стическом анализе траекторий лучей в линзовом волново­ де с малыми случайными смещениями линз.

Теперь мы в состоянии предсказать траекторию любого луча в линзовом волноводе с произвольной деформацией оси и с достаточно большим радиусом кривизны, чтобы выполнялись приближения, которые были использованы при получении соотношения (5.4.8).

Существует несколько простых случаев, которые лег­ ко могут быть описаны пашей теорией. Рассмотрим лин­ зовый волновод, ось которого свернута в кольцо. Можно опустить индекс п у радиуса кривизны н вместо выраже­

ния (5.4.9) записать
Т..= 4 -	(5-4.16)

Суммирование в формуле (5.4.8) легко осуществляется;

врезультате имеем:

{— /*1 sin (/г — 2) 0 - f r 2siu(/i— J) 0 —

_ L2	0
	cos -т	{cos (/г— 1) 0 — 1}-{—sin (п— 1) 0		. (5.4.17)
2R	0
	sin —
Единственным членом, не зависящим от п, является
		L2	0
			. 0	(5.4.18)
		2R .
		sin 0 sin -jj-

Учет выражения (5.2.6) преобразует этот член к простому виду

ы	(5.4.19)
R

Легко можно показать, что гп — гс, если в формуле (5.4.17) положить г4 = г2 = гс. Но вместо этого докажем более общее положение, что траектория луча в кольцевом лин­ зовом волноводе подобна траектории луча в идеально

Линзовые волноводы

249

прямом волноводе с той лишь разницей, что луч осцил­ лирует не около оси волновода, а около линии, которая параллельна оси и смещена от нее на величину гс.

Для доказательства этого утверждения введем новую переменную

Юц 7л 7С,

(5.“4.20)

которая представляет собой положение луча по отноше­ нию к линии, смещенной от оси волновода па расстояние гс. Подстановка выражения (5.4.20) в (5.4.17) дает

	Wn	1	— u>i sin (п — 2) ©—!—г^2 sin (п — 1) 0-)-
		sin
			0

cos

+I -2R

sin 0 sin

(1 — cos 0) — 1 sin (n — 1 )01/ . (5.4.21

Здесь sin (n — 2) 0 заменен выражениями, содержащими sin (n — 1) 0 ii cos (n — 1) 0. Член, содержащий cos(n— 1) 0, отсутствует. С помощью тригонометрических формул сложения легко показать, что выражение в квад­ ратных скобках в (5.4.21) равно нулю. Следовательно, преобразование (5.4.20) приводит (5.4.17) к более просто­ му выражению

Wn= sliTe" I- — Wl s'n (д — 2) 0-)-ie2sin (/г— 1) 0]. (5.4.22)

Это выражение, описывающее траекторию луча в линзо­ вом волноводе, который изогнут по дуге окружности, с формальной точки зрения аналогично выражению (5.2.12). Луч внутри такого волновода проходит так же, как внутрп прямого оптического волновода, если траектория луча определяется не по отношению к оси волновода, а по отно­ шению к линии, смещенной относительно оси волновода на величину гс.

Такой результат заслуживает внимания. Он подтвер­ ждает, что линзовый волновод способен передавать пучки света по изогнутым траекториям. Кроме того, он пока­ зывает, что свет может проходить в изогнутых линзовых волноводах без осцилляций (гщ = = 0), если он следует