книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

210	Глава 4
ным. Таким	образом, фокусное	расстояние	обращается
в бесконечность в двух крайних		случаях:	для нулевой
н бесконечно	большой скорости газа. Параметр С соответ­

ствует разным температурам трубы или газам с разными показателями преломления или комбинации этих двух случаев. В случае продувки воздуха через трубу длиной 20 см и радиусом 0,3 см, нагретую па 50 °С больше входной

Ф и г. 4.5.7. Фокусное расстояние как функции расстояния от осп входного луча при i’0/K = 2 п (1,45 [34].

--------- f+ / L , ----------------1-1L.

температуры газа, получаем С = 0,2. Оптимальная ско­ рость течения v0lV = 6,4 соответствует истинной осевой скорости и0 = 272 см/с (эта осевая скорость получается при скорости течения газа 0,04 л/с). Оптимальное фокус­ ное расстояние / = 3L = 60 см. Можно получить еще более короткое фокусное расстояние, если выбрать более -длинную газовую трубу, газ с более высоким показателем преломления и более высокой рабочей температурой. Фокусное расстояние порядка 20 см можно реализовать даже с воздухом [35].

Линзы

211

Фокусирующая способность газовой лиызы довольно значительна. Однако, чтобы получить полную картину работы линзы этого типа, нужно изучить вносимые ею искажения. На фиг. 4.5.7 и 4.5.8 показана зависимость фокусного расстояния от положения луча на входе трубы.

О	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
			г/а

Ф п г. 4.5.8. Фокусное расстояние как функция расстояния от оси входного луча при v0/V = 10 и 20 [34].

--------- U / L , ----------------f-/L.

Видно, что при оптимальном значении скорости течения vQlV = 6,4 зависимость фокусного расстояния от г незна­ чительна. При более низких скоростях (v0IV = 2) абер­ рации несколько возрастают. Искажение фокусного рас­ стояния становится весьма большим при высоких скоро­ стях потока. Это видно из кривых на фиг. 4.5.8; фокус­ ные расстояния / + (в случае луча, входящего в линзу

внаправлении течения газа) и /_ (для лучей, проходящих

впротивоположном направлении) почти не отличаются друг от друга.

Однако по одним только кривым фокусного расстояния нельзя сделать окончательного вывода о всех искажениях

14*

212

Глава d

линзы. Нужно помнить, что фокусное расстояние линзы измерялось относительно главных поверхностей. Общие сведения об искажениях линзы можно получить только после исследования формы главных поверхностей.

Форма главных поверхностен показана на фиг. 4.6.9

и4.5.10, из которых видно, что главные поверхности Р+

иР_ почти совпадают. Это подтверждает то, что газовая линза подобна тонкой линзе. Однако искривление главной поверхности довольно значительное. Для скорости потока, соответствующей оптимуму по фиг. 4.5.6, главная поверх­ ность размещается вблизи середины линзы, а в продоль­ ном направлении она занимает более трети длины газовой линзы. Для коротких линз и больших фокусных расстоя­ ний это искривление можно сделать малым. Из сравнения фиг. 4.5.7 п фиг. 4.5.9 видно, что искажение фокусного расстояния п искривление главной плоскости имеют тен­ денцию компенсировать друг друга. Из фпг. 4.5.7 следует,

что фокусное расстояние длиннее для лучей, входящих в линзу ближе к стенке, тогда как из фиг. 4.5.9 вытекает, что главная поверхность размещена ближе к входному концу трубы. Если разместить фокус относительно вход­ ного конца трубы при z = 0, то возрастание фокусного расстояния и отклонение главной поверхности стремятся компенсировать друг друга, так что расположение фокуса относительно газовой трубы почти по изменяется. Такая компенсация с успехом может быть использована при созда­ нии газовой линзы с минимальными искажениями.

Для исследования справедливости предположения о тонкой лнпзе было проведено следующее численное моде­ лирование с помощью ЭВМ [36]. Лучи проходили через последовательность 100 газовых линз. Ход прохождения луча в одном случае был промоделирован путем численно­ го решения лучевого уравнения, для того чтобы найти положение луча у каждой линзы. Второй способ заклю­ чался в использовании эквивалентной тонкой линзы, являющейся моделью газовой линзы (фпг. 4.5.11). Форма этой эквивалентной линзы была выбрана в соответствии с главной поверхностью газовой линзы, а фокусное рассто­ яние для каждой точки искривленной тонкой линзы взято соответствующим фокусному расстоянию /+, рассчитан­ ному путем проведения параллельных входных лучей через

Ф и г. 4.5.9. Форма главных поверхностей при v0/V = 2 и 6,45 [341

--------- P + /L .--------------

P-/L.

О	0,2	ОА	0,6	0.8	1,0
			г/а
Ф и г. 4.5.10. Форма гланных поверхностей при vJV =					10 п 20 [34].

- ------- P + /L ,-------------- P-/L.

214

Глава 4

линзу. Истинная траектория луча была найдена с помощью формулы (3.7.37). Фиг. 4.5.12 и 4.5.13 демонстрируют

Ф и г. 4.5.11. Форма главной поверхности тонкой линзы, эквива­ лентной газовой линзе.

хорошее совпадение между результатами, полученными обоими способами. В обоих случаях линзы располагались

		N
Ф и г. 4.5.12. Сравнение		траекторий лучей в		линии	из газовых
линз и эквивалентных им тонких линз при D/a =				1200, D/f0 = 2,16,
Lla = 5 0	(N — число линз, а — радиус		газовой линзы, D — рас­
стояние	между линзами,	/ 0 — фокусиоо	расстояние,		L — длина
	газовой линзы)		[36].

друг от друга на расстоянии, примерно равном 0,8 от фо­ кусного расстояния. Линзы, соответствующие фиг. 4.5.12, примерно в 4 раза слабее линз, соответствующих фиг. 4.5.13. Согласие между обоими способами лучше для

Линзы

215

слабых линз, но согласие неплохое и в случае сильных линз *).

Газовые линзы вполне эффективны по своим фокуси­ рующим свойствам и могут быть выполнены с достаточно

Ql't

N

Ф н г. 4.5.13. Траектории лучей в лншш из газовых линз и эквива­ лентных нм тонких лниз при D/a = 330, D/ f 0 = 2,74, Ыа = 50 [36].

малыми искажениями. Однако их способность формиро­ вания изображения по сравнению со стеклянными линза­ ми остается плохой. Их малые потери являются при­ влекательным свойством, если необходимо передать свет через последовательность многих линз. Мы еще вернемся к этому вопросу в следующей главе.

4.0. ПРЕДЕЛЬНАЯ РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ

В разд. 4.2 было получено выражение (4.2.11) для пре­ дельной разрешающей способности при формировании изображения. Вывод был основан на принципе неопреде-

J)Автор имеет здесь в виду линзы с большим (слабые линзы)

Нмалым (сильные линзы) фокусным расстоянпем.— Прим. ред.

216

Глава 4

ленностп квантовой теории лучевой оптики. В настоящем разделе рассмотрим критерий Рэлея для разрешающей способности оптических приборов и сделаем некоторые замечания по дискуссии, проводимой в последиее время

влитературе и лишь добавляющей значительную путаницу

врассматриваемый предмет. Утверждают, что рэ.тгеевское

Ф н г. 4.6.1. Схематическое изображение оптической системы, фор­ мирующей изображение.

ограничение является только удобным критерием разре­ шающей способности оптических приборов и что возмож­ но, хотя бы в принципе, получить неограниченное разре­ шение [7]. Это утверждение разобрано в статье Торальдо дп Фраична [37], который показал, что если даже можно было бы получить бесконечное разрешение на строго математической основе, практическая реализация этого математического идеала тем не менее невозможна.

Следуя методике Торальдо ди Франчиа, рассмотрим систему формирования изображения, показанную на фиг. 4.6.1. Ради простоты будем считать эту систему двумерной. Существенные моменты относительно критерия разрешения можно получить из двумерной задачи; от трех­

мерной задачи	отличие будет весьма	незначительным
и скажется на	численных значениях	коэффициентов.

Линзы

217

Используя обозначения разд. 4.3, запишем преобразова­ ние Фурье поля предмета (объекта) / (и) в задней фокаль­ ной плоскости первой линзы в соответствии с формулой

(4.3.32) в виде

		1	«о/2
	F(v)		j /	(и) eiuv du.	(4.6.1)
		1/2я
			-u o /2

Предполагаем, что поле объекта существует только

вограниченной области и поэтому интеграл берется в пре­ делах от —х/2^о Д° 1!гио- Вторая линза подвергает поле

вплоскости преобразования Фурье еще одному фурье-

преобразованшо. Однако мы предполагаем, что в плоско­ сти преобразования Фурье имеется апертура, ограничи­ вающая область, через которую может проходить свет. Наличие такой апертуры является неизбежным. Даже при отсутствии реальной апертуры в задней фокальной плоскости первой линзы все равно имеется эффективная апертура, обусловленная конечными размерами двух липз. Оптическая система с неограниченными апертурами невоз­ можна. Используя ту же формулу еще раз и предполагая, что апертура в плоскости преобразования Фурье прости­

рается от —v0до и0, получаем распределение поля / в плос­ кости изображения:

	1>о
=	f F{v)eiwodv.	' Д4.6.2)

-«о

Подстановка выражения (4.6.1) в (4.6.2) приводит к сле­ дующему соотношению:

гю/2

/ » =	I	<4 -6 -3 >
	-и о/2

Для того чтобы иметь возможность представить аргу­ ментацию Рэлея, допустим, что в плоскости объекта нахо­ дится точечный источник (в двумерном случае ему, конеч­ но, соответствует линейный источник):

		/ (и) =	6 (и).	(4.6.4)
Точечный	источник	описывается 6-функцией,		которая
в начале	координат	дает для	поля бесконечно	большое

218

Глава 4

значение. Изображение этого точечного источника сле­ дует из формул (4.6.3) и (4.6.4):

=

(4-6.5)

Для исследования предельного случая, при котором два объекта возможно разрешить, нужна по крайней мере еще одна точка в плоскости объекта. Однако дальнейшее услож­ нение задачи излишне. Используя аргументацию Рэлея, можно сказать, что вторая точка не должна лежать настолько близко к первой точке, чтобы оба изображения полностью накладывались друг иа друга. В качестве прак­ тического критерия можно допустить, что два объекта распознаются как различные, когда максимум поля изо­ бражения, созданного одним объектом, приходится иа пер­ вый пуль дифракционной картины, представляющей изо­ бражение другой точки. Поскольку размеры изображения и объекта в рассматриваемом устройстве одинаковы (увеличение отсутствует), то можно сделать вывод, что изображения двух объектов являются разрешенными, когда два объекта разделены (Аи = Аю) по крайней мере в соответствии с условием

и0 Аи ^ я.

(4.6.6)

Чтобы можно было воспользоваться этим результатом, необходимо перейти к обычным пространственным коор­ динатам, используя формулы (4.3.28) и (4.3.29):

(4.6.7)

(4.6.8)

Разнесение объектов выражается через реальную коор­ динату х с помощью Ах: величина а есть полуширина апер­ туры в плоскости преобразования Фурье. Используя соот­ ношение (4.6.6), получаем критерий Рэлея для предельной разрешающей способности различения двух точек:

(4.6.9)

Линзы.

219

Критерий Рэлея можно выразить через угол а, под кото­ рым луч приходит в точку изображения:

(4.6.10)

Использование приближения aij — а является логичным, так как вывод был основан па теории дифракции в пред­ положении малых углов. За исключением множителя (2я)-1, соотношение (4.6.10) совпадает с критерием разре­ шимости (4.2.11). Поскольку критерии для разрешения изображений в обоих случаях не идентичны, то совпадение между этими двумя формулами близко настолько, насколь­ ко это можно было ожидать.

Критерий Рэлея полезен для оценки величины разре­ шающей способности, которую можно достичь с помощью прибора, формирующего изображение. Множители V2 или 1/4л, появляющиеся в этих выражениях, не являются существенными. Важным является то, что предельная раз­ решающая способность по порядку величины равна

A,/sin а или Xf/a.

В последние годы в технических журналах стали появ­ ляться статьи, оспаривающие тот факт, что рэлеевский предел представляет непреодолимый барьер для возмож­ ности разрешения изображений. Эта точка зрения недавно была отражена Гудманом в его книге по фурье-оптике [7]. Аргумент приводится следующий. Фурье-преобразоваиие поля объекта конечных размеров является аналитической функцией. Даже когда из-за наличия апертуры (реальной пли эффективной) в плоскости преобразования использует­ ся лишь часть этого фурье-преобразовапия, можно восста­ новить всю функцию. Можно полностью построить анали­ тическую функцию, если известна функция в малой окре­ стности точки. Это вытекает из того факта, что любая ана­ литическая функция может быть выражена степенным рядом по крайней мере в конечной области. Знание функ­ ции и всех ее производных в одной точке можно распро­ странить на область, определяемую радиусом сходимости степенного ряда. Зная функцию и ее производные вблизи границы области сходимости, можно определить новые коэффициенты и получить новый степеппой ряд, который расширит область определения функции. Таким образом,