книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

160 Глава 3

Импульс в старой системе координат получается из соот­

ношений (3.5.38)	или (3.7.19):
	pa.= n 1sina.	(3.7.21)
Его приращение	дается формулой
	dpx= n 1cos a da.	(3.7.22)
Импульс в новой системе координат равен
	р'х— щ sin (a-j- ф),	(3.7.23)
а приращение	dpx= iii cos (a-j-ф) da.	(3.7.24)

Теперь можно выразить приращение в старой системе координат через приращение в новой системе:

	dP * = T Z % S w d* -		<3 -7-25)
Элементы объема	в фазовом	пространстве, выраженные
в двухкоординатной системе, связаны соотношением
dx dpx=	cos а	31П Ф) dx' dp'x'	^3-7-26)

или, используя равенство dV = dxdpx и теорему дополне­ ния тригонометрических функций, получаем

dV = d V '.

(3.7.27)

Таким образом, при преобразовании к повой системе координат объем в фазовом пространстве сохраняется. Это полезный результат, так как он показывает, что можно поворачивать систему координат до любого удобного поло­ жения, когда мы пытаемся подтвердить теорему Лнувилля для лучей, которые или отражаются зеркалом, или, как в этом случае, преломляются диэлектрической границей. Вывод об инвариантности объема фазового пространства не зависит от величины показателя преломления и, конеч­ но, справедлив также и в случае, когда система координат возвращается обратно в первоначальное положение после прохождения лучей через границу. Этот результат спра­ ведлив также и для реального трехмерного случая. Выбор двумерной задачи мотивировался лишь удобством изло­ жения.

Геймtчиp ическая онтика.

161

Чтобы доказать теорему Лиувилля для лучей, прохо­ дящих через границу между двумя средами с различными показателями преломления, используем повернутую сис­ тему координат с осыо z', перпендикулярной границе в точке, где лучи ее пересекают. Граничное условие для лучей (3.3.5) с помощью формул (3.5.32) и (3.5.33) может быть выражено в виде

(P/)i = (Р/)а-

(3.7.28)

Тангенциальные составляющие вектора р при пересечении границы остаются непрерывными. При выборе повернутой системы координат тангенциальными компонентами явля­ ются р'х и р'и. Теорема Лиувилля справедлива вдоль тра­ ектории луча в свободном пространстве, поэтому при до­ казательстве справедливости (3.7.14) можно использовать положепия луча в непосредственной близости к границе. Пересечение границы не изменяет положения луча. Так как тангенциальные х'- и z/'-компопеиты р также одинако­ вы па обеих сторонах границы, имеем

dVi = d,V2,

(3.7.29)

т. е. теорема Лиувилля справедлива для лучей на разрывах непрерывности показателя преломления. Поскольку сис­ тему координат можно поворачивать произвольным обра­ зом, доказавельство того, что теорема Лиувилля справед­ лива на разрывной диэлектрической границе, становится тривиальным. Этот метод прямой проверки теоремы Лиувплля является наиболее подходящим для установления ее справедливости в случае отражения от произвольной поверхности. С помощью предельного перехода, рассмот­ ренного ранее, мы убедились, что теорема должна быть справедливой на диэлектрических границах раздела. Одна­ ко случай отражения не может быть рассмотрен таким же способом, поэтому желательным является прямое дока­ зательство. Это доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Непосредственное вычисление становится совершенно простым, если использовать тот факт, что можно поворачивать систему координат и отно­ сить положение лучей к плоскости постоянных значений z'.

Теперь воспользуемся теоремой Лиувилля, чтобы дока­ зать теорему синусов Аббе [1] для оптических изображе-

I 1-087

162

Глава 3

lniii. Эта теорема не яшгяотся существенной для содержа­ ния настоящей книги. Ее вывод включен только в качестве иллюстрации полезности теоремы Диувилля. Условие синусов применяется для спетом формирования изобра­ жения. Точнее, оно применяется к изображениям без абер­ раций. Пусть необходимо определить связь между углами лучей и расстояниями между соседними точками изобра­ жения и объекта. На фиг. 3.7.5 показана геометрия задачи.

Ф и г. 3.7.5. Схематическое изображение системы формирования оптического изображения. Показаны точки объекта Р ! и Р 2 и точки изображения Р[ и Р 2, а также направления двух типнчпых лучен, используемых в теореме сипусов Аббе.

Точка объекта Р, расположена иа оптической осп системы. Соответствующая точка изображения Р\ также расположе­ на на оптической оси. Фактически ими определяется опти­ ческая ось. Вследствие нашего предположения о правиль­ ности оптического изображения каждый луч, выходящий из Pi под произвольным углом, должен пройти через Р\. Разумеется, то же самое справедливо для каждого луча, выходящего из соседней точки объекта Р 2. Они все должны пройти через ее изображение Р'2. Теорема Лнувилля в дву­ мерной форме дает

дх’	др’х
дх	дх	(3.7.30)
дх'	= \ .
	др'х

дрх дрх

1'сомeni/)ическая опт ина

163

Предполагаем, что Ахи Ах' являются расстояниями по вер­ тикали между двумя соседними точками объекта и изобра­ жения. Для стигматичиости (правильности) изображения необходимо, чтобы положение луча х' в плоскости изобра­ жения ие зависело от угла наклона луча (его «импульса»). Это означает [с использованием производных в (3.7.30)], что

•Й г = ° -

р -7-31>

Теорема Лиувилля (3.7.30) требует, чтобы выполнялось следующее соотношение между соседними точками объек­ та и изображения и «импульсами» лучей:

АхАрх= Ах'Арх.

(3.7.32)

Так как положение каждой пары точек объекта и изобра­ жения не зависит от угла, под которым луч выходит из точ­ ки объекта, можно проинтегрировать соотношение по рх, что дает

Ахрх= Ах'р'х.

(3.7.33)

Наконец, используя выражение (3.5.38), получаем условие синусов Аббе

пАх sin а — п'Ax' sin а'.

(3.7.34)

Это условие обычно выводится без использования теоремы Лиувилля [1]. Наш вывод показывает, что условие синусов является лишь частным случаем теоремы Лиувилля. Отношение Ах'/Ах есть увелпчепие изображения. Теорема синусов устанавливает связь между увеличением изобра­ жения и углами выходящих и приходящих лучей. Она основывается на предположении о стпгматнчностн изобра­ жения.

Наконец, выведем другое соотношение, которое будет использовано при рассмотрении распространения света через оптические передающие системы довольно общего вида. Удобно использовать представление о тонком опти­ ческом корректоре. Это прибор, имеющий (в идеале) нуле­ вую толщину, но изменяющий угол наклона каждого луча, проходящего через него, в зависимости от положения луча. Другими словами, можно сказать, что тонкий опти­ ческий корректор производит в общем случае переменный

И*

d64

Рлааа 3

по фронту волны фазовый сдвиг. Схематически тонкий оптический корректор показан иа фиг. 3.7.6. Тонким опти­ ческим корректором может быть тонкая оптическая линза. То, что опа показана расположенной перпендикулярно оси 2, не является ограничением, так как мы убедились, что можем поворачивать систему координат, не нарушая справедливости теоремы Лиувилля. Снова достаточно при­ менить теорему Лиувилля в ее двумерной форме (3.7.30).

Ф п г. 3.7.6. Тонкин оптический корректор. Луч, падающий под углом а , выходит па корректора под углом а '.

Мы выбираем две точки х и х' па траектории луча непосред­ ственно перед и после корректора. Это означает, что х = х' и что х' не зависит от рх. Теорема Лиувилля (3.7.30) дает

4 ^ = 1.	(3.7.35)
дРх

Умножим обе части равенства (3.7.35) иа dpx п проинте­ грируем. Интегрирование дает произвольную постоянную, которая может быть функцией от х:

px= p x+ F (x ).

(3.7.36)

Через углы это уравнение выражается следующим образом:

sin а' = sin a -)-F (х).

(3.7.37)

Предполагается, что показатель преломления среды перед и после корректора имеет одно и тоже значеипе. Функция F (z) произвольна и дает значительную свободу в выборе тонких оптических корректоров. Однако изменение угла падения луча, которое может внести корректор, сильно

Геометрическая оптика

165

ограничено теоремой Лиувилля. Используя теорему допол­ нения синусоидальных функций, можно выразить (3.7.37) через разность углов а' — а:

	sin	F (*)			(3.7.38)
		2 cos	а ' +	а
			2

В параксиальном приближении предполагается, что а и а ' очень малы, поэтому можпо использовать приближенную форму (3.7.38) для получения хорошо известной формулы тонкой линзы

а' — a = F(x).

(3.7.39)

В параксиальном приближении тонкий оптический коррек­ тор (тонкую линзу) можно рассматривать как прибор, который изменяет угол луча в зависимости от положения луча, но вне зависимости от угла падения. Однако изме­ нение угла должно зависеть и от угла падения, если этот угол велик. Мы не имеем права предположить, что можем создать тонкий оптический прибор, который просто изме­ няет угол луча независимо от угла падения. Это важный и неожиданный результат. Работая с тонкими линзами и с углами падения, близкими к нормальным, мы привыкли к мысли о том, что тонкая линза лишь отклоняет каждый луч на фиксированную величину, зависящую только от точки, через которую луч проходит через линзу, но не зависящую от угла падения. Если это простое правило применить к тонким лппзам, которые наклонены по отно­ шению к осп или, возможно, даже искажены более общим образом, можно получить серьезные ошибки, если не при­ нять во внимание следствия теоремы Лиувилля. Траекто­ рия луча, проходящего через тонкую линзу, описывается формулой (3.7.38). Единственная свобода, предоставлен­ ная экспериментатору, заключается в выборе функции F(x). Следствия этих рассуждений будут рассмотрены в другой главе при исследовании прохождения световых лучей через системы пеидеальных линз.

Применение теоремы Лиувилля к задаче сжатия пучка световых лучей сужающимися образцами диэлектрическо­ го материала и линзами можно найти в работе [102].

4

JI 111 131>1

4 .1 . В В Е Д Е Н И Е

Нет более важных оптических элементов, чем. .тшпзьт. Линза является основным элементом любой системы, фор­ мирующей изображение, в том числе и глаза животных. Линзы в искусственных оптических системах обычно изго­ тавливаются из стекла. Назначение линз состоит в изме­ нении пути световых лучей таким образом, чтобы все лучи, исходящие из некоторой точки объекта, снова собрались в соответствующей точке изображения. Не существует линз, которые выполняли бы эту операцию идеально во всех случаях. Для устранения недостатков, присущих одиночной линзе, используются сложные комбинирован­ ные системы, позволяющие достичь компромисса между противоречивыми требованиями.

Принципы конструирования одиночных и сложных линз изложены в литературе по оптическим приборам [ 1, 15]. По этой причине здесь не будут детально описы­ ваться способы коррекции линз. Ограничимся рассмот­ рением таких свойств линз, которые являются важными при передаче света в линзовых волноводах, и фурье-преоб- разующпх свойств, существенных при оптической обра­ ботке информации и в оптических апалоговых вычисли­ тельных устройствах. Принцип работы этих устройств может быть объяснен с помощью понятия тонкой линзы. Линза называется тонкой, если траекторию света внутри ее можно не рассматривать в деталях. Тонкая линза ра­ ботает как устройство, которое просто изменяет направ­ ление проходящих через него лучей. На языке волновой оптики тонкую линзу можно рассматривать как фазовый корректор, изменяющий фазу проходящей волны. Фазо­ вый сдвиг зависит от того, на какую часть линзы падает свет.

Л низы

167

Рассмотрим свойства тонких линз как с позиции гео­ метрической оптики, так и с позиции волновой оптики.

4.2. ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА ТОНКИХ ЛИНЗ

Определим тонкую линзу как устройство, которое отклоняет любой световой луч, падающий параллельно оптической оси, так, что ои пересекает оптическую ось

Тонкая

Фп г. 4.2.1. Схема идеальной тонкой линзы. Все горизонтальные входные лучи проходят за линзой через фокальную точку.

иа фиксированном расстоянии / после прохождения лин­ зы. На фиг. 4.2.1 показаны тонкая собирающая линза п ее действие на два световых луча в двумерном случае. Тонкая линза должна подчиняться общей формуле (3.7.37). Для удовлетворения условия, чтобы каждый луч, идущий параллельно оптической оси, пересекал ее на расстоянии

/ от линзы, функция F (х) должна иметь	следующий вид
(при а = 0):
f W = s i Be ' = W -	<4 -2 Л )

Для линзы с осевой симметрией расстояние х заменяется расстоянием вдоль радиуса г, на котором луч проходит через линзу:

	F(r)	г	(4.2.2)
		у Щ Щ

Общая формула тонкой линзы для луча, входящего в лин­ зу под углом а по отношению к нормали к плоскости тон­ кой линзы и выходящего из нее под углом а', вытекает

168 I'.'inna 4

из формул (3.7.37) п (4.2.2):

sin a' = sin а-	, r - .	( 4 . 2 . 3 )
	У Г2 + /2	V

В параксиальном приближении уравнение тонкой линзы принимает хорошо известную форму

а

(4.2.4)

Если фокусное расстояние / также является функцией г, то оказывается, что тонкая линза допускает искажения. Реальные физические линзы всегда вносят некоторые иска­ жения. Даже если воспользоваться приближением тонкой линзы, то можно ожидать, что / есть функция не только г, но также зависит от частоты. До тех пор пока величина 7’ остается малой, обычно можно пренебречь зависимостью / от г и применять параксиальное приближение с постоян­ ным /. Мы воспользуемся параксиальной формулой (4.2.4)

для	описания способности линзы формировать изображе­
ние.	Из формулы (4.2.3), впрочем как и из (4.2.4), видно,
что	луч, проходящий через линзу	по оптической осп
(г =	0), не меняет своего направления.	То, что луч, падаю­

щий на линзу параллельно оптической осп, пересекает ось в фокальной точке /, а луч, проходящий через точку /, выходя из линзы, распространяется параллельно оптиче­ ской оси и, наконец, что луч, который пересекает линзу при г = 0, не изменяет своего направления, оказывается достаточной информацией для нахождения изображения любого объекта, помещенного перед линзой. Обозначим расстояние от линзы до объекта через а, а расстояние от линзы до изображения — через Ъ. Па фиг. 4.2.2 приве­ дено построение, позволяющее найти изображение; пока­ заны три упомянутых луча, причем для получения изобра­ жения точки достаточно двух из них. Для луча, проходя­

щего через фокус справа от линзы,	можно записать соот­
ношение
К _,1о+ h	(4.2.5)

}Ь

Аналогичное соотношение получается для-луча, проходя­ щего через левую фокальную точку:

	hi	Ло Н- hi	(4.2.6)
	t	а

Л низы

109

Сложение обоих соотношений дает в результате важное уравнение, которое связывает расстояние до объекта а и расстояние до изображения b с фокусным расстоянием линзы:

т = 4 + т •

(/‘-2-7)

Из этого равенства видно, что для бесконечно удаленного объекта b — /. По мере приближения объекта к левому

Ф и г. 4.2.2. Формирование изображения с помощью идеальной тонкой линзы.

фокусу величина Ь возрастает. При а — / имеем b — оо. При а < / величина Ъ оказывается отрицательной. Для того чтобы не рассматривать отрицательное расстояние до изображения, будем считать, как это обычно делается, что отрицательная величина Ъ соответствует так называе­ мому мнимому изображению. Реальный объект н его мппмое изображение показаны на фиг. 4.2.3.

Наблюдатель, рассматривающий объект сквозь линзу, интерпретирует лучи, достигающие его справа от линзы, как приходящие от мнимого изображения (см. фиг. 4.2.3). Фиг. 4.2.2 поясняет принцип работы фотографической камеры. Если светочувствительную пленку поместить в по­ ложение Ъ, то на ней зарегистрируется изображение реаль­ ного объекта. Фиг. 4.2.3 объясняет действие увеличитель­ ного стекла. Наблюдатель держит линзу так, чтобы мни­ мое изображение формировалось на удобном для рас­ сматривания расстоянии Ъ. Объект должен быть помещен