книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

•180

Глава 4

не выполняются. Однако результат для этого случая вытекает из формул (4.3.10) и (4.3.11):

to = = _ f ! ^ i е- ш ,е -072)/«РV f+ хръ ) х

ф кЬ

СО

X j ф,-(а:', z') e M 2№ V f - i / b ) x ' 4 - ( 2 / b ) XoX’] dx>_(4.3.33)

— oo

Располагая выходное поле вновь в задней фокальной плоскости

		Ь = /		(4.3.34)
п	используя	формулы (4.3.28)	— (4.3.31), после	замены
X j	на х ' получим следующий результат:
			СО
	F(i0 =	^ ^ e _1'ft(-v6/2/+Zo)	j / (и) eiuvdu.	(4.3.35)

— СО

Не интересующие нас постоянные фазы снова опущены по тем же соображениям, которые были приведены ранее. Преобразование Фурье (4.3.35) отличается наличием фазо­ вого множителя, который не является постоянным, а за­ висит от выходной координаты х 0. Это отличие, однако, можно исключить, если рассматривать выходное поле не в плоскости s0 = /, а на криволинейной поверхности

| i +Zo==/+z'.

Анализ выходного поляна этой параболической поверх­ ности вместо плоскости позволяет рассматривать резуль­ тат прохождения поля через линзу как преобразование Фурье.

До снх пор мы ограничивались обсуждением двумерно­ го случая. Нетрудно перейти к более общему случаю. При рассмотрении трехмерного поля нужно исходить из выраже­ ния (2.2.31) вместо (2.2.43). Различие между этими двумя выражениями незначительно и может быть легко учтено. Наиболее существенное отличие состоит в том, что под зна­ ком интеграла стоит произведение фазовых множителей, зависящих от а: и у. Это приводит к тому, что вместо инте­ грала (4.3.12) появляется произведение этого интеграла

Л низы

181

на другой, полученный путем замены всех ^-составляю­ щих па соответствующие ^-составляющие. Принимая это во внимание и рассматривая выражения (2.2.31) и (2.2.43), можно получить результат, аналогичный двумерному уравнению (4.3.18):

л е ЦЗ/2)п e -ift(20- z .)e _ i()i/2/)p2 х

я1,° №ab

х 4 "(	J	I1!5; (* i. Уь Zi)	X
— оо — оо
х ехр [		( М	) * +
+	s ( ^	- + Jr ) 2) ] }	^ ' i!'i- 0-3.36)

В1>1воды, которые можно получить из этого выражения, почти идентичны тем, которые были сделаны для двумер­ ного случая. Если расстояния до объекта и до изображения выбраны так, чтобы а = 0, то получается перевернутое увеличенное изображение входного поля. Если входная плоскость находится при а = /, а выходная при Ъ = /, то вновь получаем, что выходное поле представляет собой преобразование Фурье (теперь двумерное) входного поля. Используя формулу (4.3.26) и обозначения

	ux=	j / rj - Xi,	(4.3.37)
	и!/=	] / Г	(4.3.38)
	» Х = У ГJ Z 0,		(4.3.39)
	VU— ' j / r~y yoi		(4.3.40)
находим из (4.3.36)
ОО	со
гк-ж)-2„ j	j f (w.v,	“y) x
		X eUuxVx+uuv,,) ^ dUy.	(4.3.41)

182

Глава 4

Мы воспользовались формулами (4.3.30) и (4.3.31) и оче­ видным здесь обобщением.на две переменные. Постоянный фазовый множитель опущен по изложенным ранее сообра­ жениям.

Сравнение выражений для преобразования Фурье между входным н выходным полями (входным полем явля­ ется поле в передней фокальной плоскости пли в плоско­ сти непосредственно перед линзой), трансформируемыми линзой, с уравнениями (2.2.31) и (2.2.43) показывает, что поле в задней фокальной плоскости линзы соответствует дальнему дифракционному полю в области Фраунгофера. Напомним, что область Фраунгофера определяется тем, что квадратичные члены в аргументе экспоненциальных функций пренебрежимо малы. Дальнее поле у оси систе­ мы также пропорционально преобразованию Фурье вход­ ного поля без применения лнпзы.

4.-1. ОПТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

То обстоятельство, что линзы можно применять для получения преобразования Фурье двумерных распределе­ ний света, является очень важным для оптической обра­ ботки данных. Из выражений (4.3.32) и (4.3.41) видно, что преобразование Фурье объекта, расположенного в перед­ ней фокальной плоскости линзы, появляется в се задней фокальпой плоскости. Преобразование Фурье распределе­ ния входного поля, таким образом, легкодоступно и может быть использовано для изменения распределения поля известными методами. Оптический аналог частотной филь­ трации электрических сигналов может быть осуществлен без сложных электрических схем просто путем размеще­ ния апертур на пути световой волны. Более сложная техника пространственной фильтрации [7] включает ат­ тенюаторы или фазовращатели в задней фокальной плос­ кости линзы для изменения фурье-спектра входного рас­ пределения поля.

Допустим, что мы хотим получить преобразование Фурье данной функции. Начнем с приготовления оптиче­ ского транспаранта, у которого амплитуда коэффициента прохождения представляет желаемую функцию. В прии-

Линзы

183

ципе возможно рассмотреть транспаранты с заданной амплитудной и фазовой характеристиками. Однако для контроля фазы транспаранта требуется чрезвычайно точ­ ный контроль оптической длины пути в транспаранте в пределах малой доли длины волны. Такая точность обычно не может быть реализована. Однако воспроизведепие оптического поля с желаемыми амплитудой и фазой возможно путем использования методов гологра­ фии [7].

Ограничимся рассмотрением простого двумерного слу­

чая. Предположим, что мы	приготовили транспарант
с амплитудной передаточной	функцией t (х). Освещение

этого транспаранта в передней фокальной плоскости цилиндрической линзы плоской световой волной сразу же приводит к следующему распределению поля справа от транспаранта:

x\:i(xi) = At(xi)=j(u).	(4.4.1)
Связь между x t и и дается формулой (4.3.28).	Константа

А есть амплитуда падающей плоской волны. После про­ хождения транспаранта амплитуда этой плоской волны модулируется амплитудной передаточной функцией t (х) транспаранта. Согласно выражению (4.3.32), находим

преобразование Фурье входного		поля	(4.4.1)	в задней
фокальной плоскости цилиндрической			линзы
tyo(xo) = F(v) = -^!=-	СОJ	f(u)eiuvdu.		(4.4.2)

— СО

Специалисты в области радиотехники привыкли к фурьепреобразованиям временных функций. Преобразование Фурье временной функции есть функция частоты. Здесь же временная координата заменена пространственной координатой

	f	2я	(4.4.3)
	и= У	т т хг’

круговая частота со заменена другой пространственной координатой

, / Г 2л

v=V (4.4.4)

Т Г Х°-

184

Глава 4

Координата .г„ в выходной (задней фокальной) плоскости цилиндрической линзы пропорциональна частотному интервалу обычного преобразования Фурье временной функции.

Это простое соотношение между функцией и ее преобра­ зованием Фурье идеально подходит для осуществления операции фильтрации преобразования Фурье в частотной области. Поскольку частотная переменная заменена здесь пространственной переменной, подобная операция филь­ трации известна как пространственная фильтрация.

Допустим, что мы хотим моделировать действие филь­ тра нижних частот. В случае электрического сигнала с временной зависимостью нужно передать напряжение пли ток через соответствующую электрическую цепь, которая позволяет пропустить все частоты вплоть до гра­ ничной частоты сос, тогда как все частоты выше сос задер­ живаются. Соответствующий пространственный фильтр представляет собой просто щель в светонепроницаемом экране. Щель простирается от х0 = —а'ое до х0 — хос, где

Свет,	достигающий задней фокальной	плоскости при
I #о I >	I ^ос I, встречает непрозрачный	экран. Можно

поставить вторую линзу для осуществления обратного преобразования Фурье и воспроизведения функции

где

(4.4.7)

Точная математическая форма преобразования Фурье получается при замене w (и соответственно x f ) на —w. Эта замена приводит к появлению отрицательного знака в показателе экспоненциальной функции. Изменение зна­ ка, необходимое для получения привычного преобразова­ ния Фурье и соответствующего ему обращения, показыва­ ет, что пространственное изображение, получаемое при использовании двух линз (в отсутствии фильтра нижних

Л низы

185

частот), оказывается перевернутым относительно входного поля. Описанное действие пространственной фильтрации показано на фиг. 4.4.1.

Простое оптическое устройство, изображенное па фиг. 4.4.1, является аналоговым вычислительным устройством.

Ф и г. 4.4.1. Оптическое аналоговое вычислительное устройство, действующее как фильтр ншкипх частот. Если экран с щелыо заме нить транспарантом, то можно осуществить более общие операции фильтрации.

Оно позволяет получить результат фильтрации нижних ча­ стот по функции t{x). Результирующая функция записы­ вается на фотографической пластинке, помещенной в задней фокальной плоскости второй линзы. Однако необходимо помнить, что фотографическая пластинка чувствительна к энергии поля, а не к его амплитуде. В случае использо­ вания пластинки в ее линейной области регистрируется квадрат абсолютной величины амплитуды распределения поля, но не распределение самого поля. Результат анало­ гового вычисления, выполняемого оптической системой, получается, если взять квадратный корень от оптической плотности, записанпой на пленке. Оптическая плотность входного транспаранта представляет квадрат функции t (х): коэффициент прохождения t (х) представляет ампли­ туду, а не мощность.

186 Глава 4

Не следует забывать, что вследствие конечного размера линз преобразование Фурье, осуществляемое линзами, является не точным, а лишь приближенным. Интеграл в (4.4.2), строго говоря, должен распространяться не на бесконечную область, а только на область, занятую лин­ зой. Приближение, однако, может быть довольно хорошим, если использовать достаточно большие линзы, чтобы иметь гарантию, что большая часть света проходит через их апертуру.

Если поместить фотографическую пластинку в задней фокальной плоскости первой линзы, то будет зарегистри­ ровано преобразование Фурье (точнее, его квадрат) вход­ ной функции t (.г). В такой конфигурации оптическое ана­ логовое вычислительное устройство представляет собой анализатор Фурье.

Пространственная фильтрация, конечно, не ограничи­ вается только нижними частотами. Так же легко можно осуществить фильтрацию верхних частот, если установить

экран, который не пропускает света в области	| х 0 | <[{ хос\,
по пропускает его при | хп | "> | хос |. При	размещении

на пути светового пучка в задней фокальной плоскости первой линзы вместо светонепроницаемых апертур оптиче­ ских транспарантов осуществляются более сложные опера­ ции фильтрации. Наиболее интересным примером прове­ дения вычислений такого рода является получение сверт­ ки двух функций.

Пусть нужно получить свертку функций L (х) и g (х). Этого можно достичь (по крайней мере в принципе) при использовании транспаранта, амплитудный коэффициент прохождения которого является преобразованием Фурье от g (х). Изготовление такого транспаранта представляет в общем случае весьма трудную задачу, и поэтому только очень простые функции могут быть представлены таким способом. Трудности возникают из-за того, что невозможно точно проконтролировать фазу транспаранта вследствие хаотических изменений толщины пленки и показателя преломления материала. Проблема хаотического измене­ ния фазы может быть упрощена, если поместить транспа­ рант внутрь контейнера, стенки которого выполнены плоскими с оптической точностью. Оптическую длину пути через транспарант можно до некоторой степени регу-

Л низы.

187

.пировать, заполняя стеклянный сосуд, содержащий тран­ спарант, маслом со специально подобранным для согласо­ вания показателем преломления. Однако нз-за непостоян­ ства показателя преломления транспаранта невозможно полностью выравнять хаотические изменения оптической длины пути через транспарант, так что описанный метод выравнивания длины пути ие решает нашу проблему. Преобразование Фурье G функции g (х) характеризуется как фазовой, так и амплитудной функцией. Невозможно приготовить транспарант с фазовым сдвигом, который изменялся бы заданным образом. Эта задача может быть решена с помощью голографической техники, которая позволяет сохранять иа пленке или пластинке информа­ цию как об амплитуде, так и о фазе. Описание простран­ ственных фильтров, изготовленных с помощью техники голографии, можно найти в книге Гудмана [7].

Здесь мы рассмотрим транспарант с амплитудной пере­ даточной характеристикой

СО

— с»

Размещение этого транспаранта в задней фокальной плос­ кости первой линзы, показапноп на фпг. 4.4.1, приводит к тому, что распределение поля F (v), являющегося преоб­ разованием Фурье от t (х), согласно (4.4.1) и (4.4.2) ум­ ножается на амплитудную передаточную функцию G (и). Распределение поля непосредственно справа от транспа­ ранта в задней фокальной плоскости первой линзы будет теперь иметь вид F (v) G (и).

Вторая линза осуществляет второе преобразование Фурье от этой функции, так что поле в задней фокальной плоскости второй линзы равно

со

— со

или после подстановки выражения (4.4.8)

СО	оо
	(4.4.10)

188

Глава 4

Обратное преобразование Фурье F (и) определяется фор­ мулой

со

1{и)=	\ F (v) e~Ulvciv.	(4.4.11)
\/ 2л	J

— со

Используя этот результат, можно переписать выражение (4.4.10) в следующем виде:

со

___

//(U,) = W I g { V Т » • ) / ( - » - « ; ) du. (4.4.12)

Возвращаясь к исходной пространственной координате (4.4.3) и вводя соответствующее выражение для w

и >= уГj X t ,

(4.4.13)

запишем выражение (4.4.12) как

_	А
" ( / ■ Н =	Ух/ -

оо
\ g [ x i ) l ( — X i — X i ) d x i .	(4.4.14)

Для того чтобы выразить / через исходную функцию t, была использована формула (4.4.1). Наконец, вводя функ­ цию

Ф ( _ * ,) = ; / ( ( / ! * , ) ,

(4.4.15)

получаем для распределения поля в задней фокальной плоскости второй линзы выражение

оо

Л	г	(4.4.16)
ф (•*■() = - у = г	] g{xi)l{xt — xi)dxi.

— ОО

Заметим, что определение (4.4.15) функции ф (х) включает обратное преобразование Фурье координатного направле­ ния в выходной плоскости.

Интеграл в выражении (4.4.16) известен как свертка функций g и t. Отфильтрованное распределение поля t (х) с фурье-преобразованием функции g (х) получается при вычислении свертки двух функций с помощью аналого­

Линзы

180

лого вычислительного устройства, схематически изображен­ ного на фиг. 4.4.1 (щель, показанная на фиг. 4.4.1, заменена транспарантом с амплитудной передаточной функцией G). Фотографическая пластинка в выходной плоскости реги­ стрирует скорее квадрат модуля функции ср (х), нежели саму функцию.

Трехмерный вариант двумерного оптического устрой­ ства, рассматривавшегося до сих пор, приводит к дву­ мерному преобразованию Фурье (4.3.41). Пространствен­ ная фильтрация с использованием обычных линз вместо цилиндрических может быть осуществлена по аналогии с двумерным случаем. Применение обычных линз и транс­ паранта, являющегося двумерным преобразованием Фурье функций двух переменных, ведет к двумерной сверт­ ке функций двух переменных. Пусть входной транс­ парант определяется функцией t (х, у), а пространствен­ ный фильтр — преобразованием Фурье функции g (х, у)

СО о о _ _ ____

(vx, v y)= - ^r j j g ( y r | u „ ] / -fu;/) x

—oo—oo

X ei(uxvx+ui/vn) dux diiy. (4.4.17)

Распределение выходного поля в задней фокальной плос­ кости второй (обычной) линзы будет

о о о о

ф(ан, y t) = -£f j	j	g{xh yi)l(xt—Xi, yt—yi)dxidyi. (АЛЛ8)
— со	— со
Свертка двух функций пли двух одинаковых функций
(автокорреляция)		явля тся ве.ьма ценной операцией.

Так, например, процессом а токорреляцин можно выде­ лить замаскированный шумом сигнал.

Для рассмотренного здесь оптического аналогового вы­ числительного устройства требуется когерентный свет. Ко­ герентным с большой степенью является свет лазера, тогда как свет, исходящий из теплового источника, не являет­ ся когерентным. Свет называется когерентным, если амп­ литуды поля в разных точках пространства меняются при вполне определенном фазовом соотношении между ними. Отсутствие определенного соотношения фаз характери­ зует некогерентный свет. Если имеет место частичная кор­