3.5Постоянные интегрирования. Гиперболические функции

Вначале линии при х = 0 имеются напряжение Ú1 и ток İ1 . Составим уравнения для определения постоянных интегрирования. Из уравнений (3.14)

и(3.19) при х = 0 следует:

	&		= A1 + A2 ,			(3.20)
U1
I&	Z	в	= -A + A	2	.	(3.21)
1			1

Решая систему уравнений, путем сложения и вычитания, получим:

&

&

A1

=

U1

- I1 Z в

,

(3.22)

2

A 2

=

U&

1

+ I&1 Z в

.

(3.23)

2

Подставим уравнения (3.22) и (3.23) в (3.14):

U& =

U&1 - I&1 Z в

e g ×x +

U&1 + I&1 Z в

e -g ×x =

2

2

.

(3.24)

&

e g ×x + e -g ×x

&

e g ×x

- e -g ×x

= U

1

- I 1 Z в

2

2

С учетом того, что здесь появились гиперболические функции, и такие же преобразования можно произвести для тока, запишем:

U& = U&1 ch gx - I&1 Z в s h gx , (3.25)

&	=	&	ch gx -	U&	1	s h gx .	(3.26)
I		I 1
						Z в

По этим формулам можно найти напряжение и ток в любой точке линии, если известны ток и напряжение в начале линии. Однако, бывают известны требуемые ток и напряжение в конце линии.

Если в качестве граничных условий использовать значения тока и напряжения в конце линии, то получим такие же уравнения:

U&	= U&	2 ch gy + I&2 Z в s h gy ,			(3.28)
I&	= I&2	ch gy + U&	2	s h gy .	(3.29)
				Z в

44

где y – расстояние от рассматриваемой точки до конца линии (y = l - x)

Во многих случаях использование в качестве граничных условий значений тока и напряжения в конце линии удобнее для определения других выражений, например, входного сопротивления линии и др.

3.6 Падающие и отраженные волны

Постоянные интегрирования А1 и А2 являются комплексными величинами:

	A 1 =		A1e	j y 1	, A2 =	A2 e		jy	2
									.
Запишем уравнение (3.14) с учетом последних выражений и того,
что γ = a + jβ:			j (y1+bx)				j (y 2 -bx)
&		ax			-ax
	= A1e e				+ A2 e	e			.	(3.30)
U

Аналогичную операцию проделаем с выражением (3.19) с учетом ZВ = Z e j φ .

I& =-

A1

ax

j(y +bx-j )

A2

e

-ax

e

j(y -bx-j )

e

e

1

в

+

1

в

Zв

Zв

.

(3.31)

Для перехода к функциям времени умножим правые части формул (3.30) и (3.31) на 2 e jw t и от произведений возьмем мнимые части:

u = A1 2eax sin(wt +y1 + bx) + A2 2e-ax sin(wt +y 2 - bx) ,

(3.32)

i = -			A1					eax sin( wt + y 1 + bx - j ) +
							2
	A2		Z в						.
+						e -ax sin( wt + y 2 - bx - j )
				2
	Z в

(3.33)

Последние выражения поясняют физическую сторону происходящих процессов. Они состоят из двух составляющих, зависящих от двух переменных – t и х . Для каждого момента времени (t = const) первые составляющие представляют собой возрастающие в зависимости от расстояния от начала линии синусоиды. Вторые слагаемые – затухающие синусоиды.

45

Рис. 3.3. Прямая и обратная волны

прямая

волна

vo

обратная

волна

vп

l – длина линии

Рассмотрим фазу второй составляющей. При некотором увеличении
времени t для сохранения постоянства фазы необходимо увеличить
координату х . Это означает, что синусоида с течением времени
передвигается в направлении возрастания координаты с уменьшением
амплитуды (рис. 3.2). Поэтому вторая составляющая называется прямой
волной напряжения или тока. Наоборот, первые составляющие
2 A2 e -ax	передвигаются в
	направлении
	уменьшения
	координаты так же с
v	уменьшением
	амплитуды. Эти
x	составляющие можно
	назвать обратными
	волнами.
Рис. 3.2. Схема передвижения волны

Прямая и обратная волны в любой точке суммируются и дают значение напряжения и тока для этой точки линии. Если эти волны

изобразить

графически, то можно увидеть, что обратная волна является

как бы продолжением прямой волны, если перегнуть лист чертежа в конце линии

(рис. 3.3).

Поэтому прямая волна на зывается падающе й волной, обратная – отраженной.

46

3.7 Фазовая скорость. Длина волн

Фазовой скоростью vф называется скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания. Для этого необходимо, чтобы

w ×t +y2 - b × x = const .

(3.34)
Возьмем производную по времени:
	d	(wt + y	2 - bx ) = 0	,	или w - b	dx	= 0.	(3.35)
	dt					dt

Откуда

w vф = dx / dt = b .

(3.36)

Расстояние, которое проходит волна за один период называется длиной волны:

l = vT = v / f .

(3.37)

Пример. Определить длину волны при частотах f = 50 Гц и f = 50.106

Гц.

Решение. При f = 50 Гц

l = 300000 км / с = 6000км . 50 с -1

При f = 50.106 Гц λ = 6 м.

3.8 Неискажающая линия

Каждая линия имее т коэффициент распространения – уравнение (3.16):

g = Z 0 Y 0 = (R0 + jwL0 )(G0 + jwC0 ) =a + jb . (3.38)

По линиям связи переда ются раз ного рода сигналы, состоящие из синусоид различных частот – разложения в ряд Фурье. Как было показано выше, фазовая с корость распространения волны и затухание зависят от частоты. Следовательно, составляющие

47