- •Р.Я. Сулейманов
- •Часть 2
- •Конспект лекций
- •Р.Я. Сулейманов
- •Часть 2
- •Конспект лекций
- •1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Задача и порядок расчета переходных процессов
- •1.3. Включение катушки на постоянное напряжение
- •1.4. Включение конденсатора на постоянное напряжение
- •1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
- •1.8. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях
- •2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •2.1. Общие вопросы
- •2.2. Переход от оригиналов к изображениям
- •2.3. Правила дифференцирования и интегрирования
- •2.5. Второй закон Кирхгофа в операторной форме
- •2.6. Операторные схемы
- •2.7. Переход от изображений к оригиналам
- •2.8. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение
- •После преобразования получим
- •2.9. Передаточные функции
- •3. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •3.1 Общие вопросы
- •3.4 Решение основных уравнений
- •3.5 Постоянные интегрирования. Гиперболические функции
- •3.6 Падающие и отраженные волны
- •3.8 Неискажающая линия
- •3.9 Входное сопротивление нагруженной линии
- •3.10 Вторичные параметры линии с распределенными параметрами
- •4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
- •4.1. Общие вопросы и определения
- •4.2. Вольтамперные характеристики некоторых реальных элементов
- •4.3. Расчет нелинейных цепей постоянного тока
- •4.4. Метод двух узлов
- •4.6. Аналитический расчет нелинейных цепей
- •4.7. Расчет магнитных цепей. Магнитное поле постоянных токов
- •4.8. Основные характеристики ферромагнитных материалов
- •4.9. Магнитные цепи постоянного тока. Законы магнитных цепей
- •4.10. Расчет неразветвленной магнитной цепи
- •4.11. Расчет силы притяжения электромагнита
- •4.13 Форма кривой тока и напряжения
- •4.14 Потери на вихревые токи и гистерезис
- •4.15 Катушка со стальным сердечником. Схема замещения
- •4.16 Определение намагничивающего тока
- •5. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
- •5.1. Общие вопросы
- •5.2 Краткие сведения из векторной алгебры
- •5.4 Второе уравнение Максвелла
- •5.5 Третье уравнение Максвелла
а) |
б ) |
Рис. 1.10. Синусоиды с разными декрементами колебания
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
e |
-dt1 |
sin |
¢ |
|
|
|
|
|
|||||
|
D = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
w t |
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1.53) |
|||||
|
|
i2 |
e |
-d ( t1 +T ) |
sin [w ¢(t1 |
+ T )] |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Но |
¢ |
|
|
|
|
¢ |
|
+ T )], тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin w t1 |
= sin[w |
(t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
e |
-dt |
|
|
= e -dT |
|
- |
d 2p |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
D = |
|
|
|
|
|
|
= e |
w¢ |
|
(1.54) |
|
||||||||||
|
|
|
-d (t1 +T ) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Величина |
ln D = dT называется логарифмическим декрементом колебания |
1.8. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях
Рассмотрим разветвленную цепь с двумя накопителями энергии. (рис. 1.11)
|
L |
|
|
R2 |
iL |
iC |
i1 |
E |
|
C |
R1 |
|
Рис.1.11.Разветвленная цепь |
|
19
Расчет производится в следующем порядке.
1. Определяются основные начальные условия исходя из законов коммутации:
uC (0- ) = uC (0+ ) = uC (0 ) = i1 |
(0)R1 = |
E |
|
R1 , |
(1.55) |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
R1 + R2 |
|
||||
iL |
(0) = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(1.56) |
|
R |
+ |
R |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Принужденный режим: |
|
|
|
|
|
Е |
|
|
||||
u Cпр |
= E , |
|
|
|
i Lпр |
= |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
1 |
|
|
3. Неосновные начальные условия. Для их определения необходимо записать дифференциальные уравнения на основании законов Кирхгофа (левый столбик).
i |
L |
= i |
C |
|
+ i |
, |
|
i L ( 0 ) = iC ( 0 ) + i1 ( 0 ), |
(1') |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
u L ( 0 ) + u C ( 0 ) = E , |
|
||||||||||||
u L |
+ u C |
|
= E , |
(2') |
||||||||||||||||
u C = i1 R1 , |
u C ( 0 ) = i1 ( 0 ) R1 , |
(3') |
||||||||||||||||||
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u L |
= L |
|
di L |
|
|
|
u L ( 0 ) = |
L |
|
L |
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
, |
|
dt |
t |
(4') |
||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
= 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du C . |
|
|||||||||
iС |
|
= C |
du |
C . |
. |
iC ( 0 ) = |
C |
|
|
|
. |
(5') |
||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
= 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем эти уравнения для момента времени t = 0 – правый столбик. Из полученной системы выразимнеосновные начальные условия, из которых в основном нужны значения производных в начальный момент времени. Из уравнения (2') с учетом (3') и основных начальных условий имеем
20
uL (0) = E -uC |
(0) = E - E |
R1 |
= E |
R2 |
. |
(1.57) |
|
R1 + R2 |
R1 + R2 |
||||||
|
|
|
|
|
Тогда из (4') с учетом последнего выражения получим
diL |
|
|
|
= |
uL (0) |
= |
E |
× |
R2 |
|
. |
(1.58) |
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
|
t = 0 |
|
L |
|
L |
|
R1 + |
R2 |
|
||
|
|
|
Из уравнения (5') с учетом (1') и (3') получим
duC |
|
|
|
|
iC (0) |
é |
|
|
uC (0) |
ù |
|
|
|
|
|
= |
= êiL |
(0) |
- |
ú |
C = 0 . |
(1.59 ) |
|||
dt |
|
|
C |
R1 |
||||||||
|
t = 0 |
|
ë |
|
|
û |
|
|
||||
|
|
|
|
4. Для нахождения корней характеристического уравнения записываем выражение для входного сопротивления на переменном токе:
|
|
R |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
Z |
( j w ) = j w L + |
jw C |
|
|
|
|
|||
R 1 |
+ |
1 |
|
. |
(1.60) |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
j w C |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заменив jω на |
a и, приравняв нулю полученное |
выражение, будем |
|||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R1 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
= |
a 2 R1 LC + aL + R1 |
|
Z (a ) = aL + |
aC |
|
= aL + |
. (1.61) |
|||||||
1 |
|
|
R1aC + 1 |
R1aC +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
R1 + |
aC |
|
|
|
|
|
|
|
Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:
a 2 R 1 LC + a L + R 1 = 0 . |
(1.62) |
Это и есть характеристическое уравнение. Перепишем его в виде
21
a 2 |
+ |
aL |
+ |
|
|
R1 |
|
= 0 , |
|
или |
a 2 + a |
1 |
+ |
1 |
= 0 |
. (1.63) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
R1 LC R1 LC |
|
|
|
|
|
|
R1C |
LC |
|
|||||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
2 d |
= |
1 |
, w 02 |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R 1 C |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда a1, 2 |
= -d ± |
|
d 2 |
- w 02 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. Решение дифференциального уравнения записывается в виде |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
u C = u C пп + A1 e a 1 t + A 2 e a 2 t , |
|
|
(1.64) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
du C |
= a |
1 A1 e a 1 t + a |
2 A |
2 e a 2 t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где А1 и |
|
А2 постоянные интегрирования, |
которые определяются с учетом |
|||||||||||||||||||
основных и неосновных начальных условий (смотри выше). |
|
При действительных и равных корнях решение ищется в виде
uC = uCпп + ( A1 + A2 t )ea 2 t
22