2.3. Правила дифференцирования и интегрирования
Пусть имеется	функция	и	её	изображениеf (t) == F ( p) .		Возьмем
производную от оригинала:
		f ¢(t) =		df (t)	.	(2.9)
				dt

Это новая функция времени. Определим ее изображение по преобразованию Лапласа.

¥	df (t )			- pt		¥	- pt
f ¢(t ) == ò			e		dt	= ò e		df (t ) .	(2.10)
		dt
0						0
Воспользуемся методом интегрирования по частям:
ò udv		= uv		- ò vdu .
Введем обозначения

e- pt = u df (t) = dv

du = - pe- pt dt v = f (t)

f ¢(t) ==e-pt f (t)

¥¥

0	+ pòe-pt f (t)dt.	(2.11)
	0

Здесь второе слагаемое есть изображение оригинала, умноженное на

оператор p, первое слагаемое раскрывается следующим образом. При

подстановке верхнего предела первый сомножитель стремится к нулю. Второй

сомножитель	может	стремиться	к	бесконеч. Одностиако	все
электротехнические	функции	стремятся	к бесконечности медленнее, чем
первый сомножитель к нулю. Поэтому произведение равно нулю.
Подстановка нижнего предела дает начальное условие. Таким образом

e-pt	f (t)		¥
			= - f (0) .	(2.12)
			0

25

Окончательно:

	¢	== - f (0) + pF( p).
	f (t)
Если начальные условия нулевые, т.е. – f(0) = 0, то
		¢
	f (t) == pF( p) .
Отсюда	следует, что	дифференцированию	оригинала	соответствует

умножению изображения на оператор р.

2. Пусть функция имеет изображение: f(t) == F(p). Возьмем интеграл от

оригинала

t	= y (t ) == y ( p) .
ò f (t )dt					(2.13)
0
Применим преобразование Лапласа к данной функции
t	¥ ét	ù	- pt	dt .	(2.14)
y (t ) = ò f (t )dt == ò êò		f (t)dt úe
0	0 ë0	û

Этот интеграл можно взять так же по частям. Но если t=0 , то ψ (0 ) = 0. Тогда

y ¢( t ) = f ( t ) == p y ( p ) = F ( p ) ,			(2.15)
y ( p ) =	F ( p )	.	(2.16)
	p

Интегрированию оригинала соответствует делению изображения функции на оператор р .

2.4. Закон Ома	в операторной форме
Рассмотрим схему (рис. 2.1).	Эта схема представляет собой часть

сложной цепи, в которой происходит коммутация.

26

i	u
R	L	C

Рис. 2.1. Схема переходного процесса

Напряжение участка цепи складывается из суммы падений напряжения:

u = uа + uL + uC ,

	uа = iR , uL = L		di					1 t
где				,		uc	=			òidt + uC (0) .
			dt					C
										0
Или
	u = iR + L		di		1 t
				+		idt + u				(0) .	(2.17)
			dt
					C ò0				C

Умножим правую и левую части полученного уравнения наe - pt dt и

возьмем интеграл от нуля до бесконечности. В результате получится уравнение в операторной форме:

	U ( p) = I ( p)R + pLI ( p) - Li(0) +	1	I ( p) +	uС (0)	. (2.18)
		pC		p

Выразим ток из этого выражения

I ( p ) =	U ( p ) + Li (0) - u C		(0) / p		.	(2.19)
	R + pL +	1

pC

Это есть закон Ома в операторной форме. В этом выражении начальные

условия представлены в виде дополнительных источников. Если начальные условия нулевые и ввести обозначение

Z ( p ) = R + pL +	1	,	(2.20)
	pC

то получим более простое выражение закона Ома в операторной форме:

27

I ( p ) =	U ( p )	.	(2.21)

Z ( p )

Здесь Z(p) – полное операторное сопротивление, pL , 1/pC – операторное индуктивное и емкостное сопротивления соответственно.

Такие же выражения можно получить, если изобразить схему (рис. 2.1) с

добавлением дополнительных источников, учитывающих начальные условия, и

ввести обозначения в операторной форме(рис. 2.2). В результате получается операторная схема, эквивалентная классической.

I(p)	U(p)	Li(0)	uc(0)/p
R	pL		1/pC

Рис. 2.2. Схема с дополнительными источниками

Следует также отметить, что операторные сопротивления можно получить из выражений, записанных в комплексной форме для синусоидального тока, путем замены оператора jω на оператор р.

	R	C	L1
		*
	E1	i1
		M	E2
	i2	*	L2
	Рис. 2.3. схема для вывода второго закона
		Кирхгофа
	выделенного контура.

2.5. Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим		контур		сложной
электрической		цепи, в		которой
происходит коммутация (рис. 2.3)
Составим	уравнения		по	второму
закону в	классической		форме для

	1 t		di		di		di		di
		òi1dt +uC (0) + L1	1		2	2			1
i1R +				- M		- L2		- M		= e1 - e2 (2.22)
	C		dt		dt		dt		dt
		0

28

Переходим к изображениям:

I

1

( p ) R +

1

I

1

( p ) +

uc (0)

+ pL

1

I

1

( p) - L i

(0) - pMI

2

( p ) +

pC

p

1

1

+ Mi 2 (0) - pL 2 I 2 ( p) + L2 i2 (0) - pMI 1 ( p) + Mi1 (0) = E1 ( p) - E 2 ( p).

Произведем перегруппировку

I

1

( p ) é R +

1

+ p (L

1

- M

)ù

- I

2

( p )[p (L

2

- M )] =

ê

pC

ú

ë

û

= E

1

( p )

- E

2

( p ) +

(L

1

- M

)i

(0 ) -

(L

2

- M )i

2

( 0 ) -

u C ( 0 )

.

1

p

Введем обозначения:

R +

1

+ p (L

1 - M ) = Z 1 ( p ) ,

pC

p (L 2 - M ) = Z 2 ( p ) ,

p(L1

- M )i1 (0) - p(L2

- M )i2 (0) -

u C (0)

= å E

.

p

вн

Тогда

I 1 ( p ) Z 1 ( p ) - I 2 ( p ) Z 2 ( p )

= E1 ( p )

- E 2 ( p ) + å E

вн

, (2.23)

Или для общего случая

å I

k

( p ) Z

k

= å E

k

( p ) + å E

вн

( p ) .

(2.24)

Здесь Евн – те э.д.с., которые обусловлены начальными условиями.

Последние выражения отражают второй закон Кирхгофа в операторной

форме. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме имеют такой же вид, как

и	для	цепей	постоянного	(токапри	нулевых	начальных	условиях),
следовательно расчет цепей в				операторной форме		можно	вести теми же
методами, что и цепей постоянного тока.

29