2.ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1.Общие вопросы

Классический метод расчета переходных процессоснованный, на решении дифференциальных уравнений, показывает, что законы изменения токов и напряжений состоят в основном из экспоненциальных функций. Это позволяет формализовать процесс решения , тзадачи.е. заменить дифференциальные уравнения алгебраическими.

В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа, которое заменяет функцию действительной переменной(t) функцией комплексной переменной p =σ + jw , которая называется оператором. При этом функция действительной переменной называется оригиналом, функция комплексной переменной – изображением. В операторном методе:

1.Записывают уравнения в классической форме на основе законов Кирхгофа. Эти уравнения превращаются в дифференциальные при подстановке

вних зависимостей тока и напряжения на индуктивности и емкости.

2.Производят переход от оригиналов к изображениям.

3.	Разрешают	полученную	систему	алгебраических	уравнений
относительно изображений переменных.
4.	Осуществляют переход от изображений к оригиналам.

2.2. Переход от оригиналов к изображениям
Переход от одного вида в другой обозначается знаком соответствия:
f (t ) == F ( p ) ,	(2.1)
и производится по прямому преобразованию Лапласа
F (p ) = ¥ò f ( t ) e - pt dt .	(2.2)
0

23

1.Пусть функцией является постоянная величина: f(t) = E . Используем преобразование Лапласа.

¥	- pt		1			- pt		¥
F ( p) = ò Ee		dt =		E	e
			- p					0
0

	=	E	(0 -1) =	E	,	(2.3)
		- p		p

отсюда следует, что изображение постоянной функции равно постоянной,

деленной на оператор

р.

2.

f (t ) = ea t .

¥

-

¥

- -a

1

- -a

)t

¥

F(p) = òeate

ptdt =òe

( p

)tdt =

e

( p

=

-(p -a)

0

0

0

=

1

(0-1)=

1

; (2.4)

-(p -a)

p -a

eat ==

1

;

e-at ==

1

.

p -a

p +a

3.

f (t) = sin wt

sinwt

=

e jwt - e- jwt

,

(2.5)

2 j

1

æ

1

1

ö

w

F(p) =

ç

÷

-

2

2

ç

÷=

+w

.

(2.6)

2j è p- jw

p+ jwø

p

sinwt ==

w

.

(2.7)

p2 +w2

4.

f (t ) = cos wt .

p

coswt =

(2.8)

p2 +w2

24