1.6. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение

R	L	C
E	i

Рис. 1.7. Схема включения цепи RLC на постоянное напряжение

Рассмотрим схему (рис. 1.7). Здесь

имеется	два	накопителя		энергии–
индуктивность		и	емкость. Составим
уравнение	по	второму	закону	Кирхгофа

для послекоммутационной цепи:

iR + иL + иC

= Е .

(1.28)

Имея в виду, что

u L

= L

di

, и

i

=

C

du c

,

di

= C

d 2 u c

,

dt

dt

dt

dt 2

получаем

LC

d

2 u c

+ RC

du

+ u c = E ,

(1.29)

dt 2

dt

или

d 2u

+

R du

с

+

1

uc =

1

E .

c

(1.30)

dt

2

L

dt

LC

LC

Это есть дифференциальное

уравнение

второго порядка относительн

напряжения на конденсаторе с правой частью. Решение этого уравнения так же состоит из принужденной и свободной составляющей:

uc = ucпр + ucсв .

Принужденная составляющая может быть найдена из дифференциального уравнения путем приравнивая нулю производных. Таким образом, получаем

ucпр = Е.

Свободная составляющая определяется из дифференциального уравнения без правой части в виде :

u	ссв	= A ea1t	+ A ea2t	,	(1.31)
		1	2

11

где А1 , А2

– постоянные интегрирования;

a1,

a2

– корни характеристического уравнения.

Запишем характеристическое уравнение:

a 2

+

R

a +

1

= 0 .

(1.32)

LC

L

Введем обозначения: d =

R

, w 2 =

1

. Тогда

2 L

0

LC

a 2

+ 2da +w02 = 0,

(1.33)

a1,2 = -d ±

.

откуда

d 2 -w02

Возможны три случая при нахождении корней характеристического уравнения:

1)d f w0 , тогда корни будут вещественны, отрицательны и различны;

2)d = w0 , тогда корни будут вещественны, отрицательны и одинаковы;

3)d p w0 , корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной

частью.

В первом случае будет апериодический переходный процесс, в третьем – колебательный. Второй случай характеризует граничный режим, т.е. лежит между апериодическим и колебательным процессом.

Рассмотрим апериодический процесс, при котором корни вещественные,

отрицательные и разные. Тогда

u	с	= u	спр	+ u	ссв	= E + A ea1t	+ A	ea 2t .	(1.34)
						1	2

Постоянные интегрирования определяются с учетом начальных условий. Здесь требуется два начальных условия, так как в уравнении два неизвестных– А1 и

А2. Одно начальное условие определяется по закону коммутации и называется основным, другое – на основании первого, и называется неосновным.

Напряжение на конденсаторе перед коммутацией было равно нулю:

uc (0) = uc (0- ) = 0.

12

Ток в индуктивности равен нулю, так как цепь была разомкнута:

iL (0) = 0.

Для определения двух постоянных интегрирования нужно еще одно уравнение.

Возьмем производную от первого уравнения (1.34):

du c	= a		A e	a t	+ a		A	e	a	t
		1		1		2			2	.	(1.35)
dt			1				2

Определим значение производной в первый момент времени после коммутации по зависимости тока и напряжения на конденсаторе i = C duc dt . Ток в емкости равен току в индуктивности, поэтому

duc				= 0 .
dt			t =0

Это и есть неосновное начальное условие.

Запишем уравнения (1.34), (1.35) для момента времени t=0 :

0 = E + A1 + A2 ,

0 =a1 A1 + A2a2 .

Решение этой системы имеет вид:

	A1	=			a	2	E ,		(1.36)
			a 1 - a 2
	A2	= -				a1		E .	(1.37)
				a1 - a 2

Подставим полученные значения постоянных в уравнение(1.34) и после небольших преобразований получим:

u c = E +

E

a

2 e a 1t

- a 1 e a 2 t

.

(1.38)

a 1

- a 2

Или

a2

a t

a1

a

t

u

= E + E

e

1

- E

e 2

.

(1.39)

c

a1 -a2

a1

-a2

13

Последнее выражение показывает, что закон изменения напряжения на конденсаторе после коммутации состоит из постоянной составляющей и двух экспоненциальных функций с постоянными времени

	t 1 =		1		f t 2 =		1		.
		a 1				a 2

Ток в емкости определяется через производную:

i

= C

du

c

= CE

a a

2

ea1t

- a a

2

ea 2t

CE a a

ea1t

- ea2t

c

1

1

=

. (1.40)

dt

a1 - a 2

1 2 a1

- a

2

По теореме Виета

a

a

= w

2

=

1

.

2

0

1

LC

Тогда

i =

E

×

e a1t

- e a 2 t

,

(1.41)

L

a 1 - a 2

u L

=

L

di

= E

a 1 ea1t - a 2 ea 2t

.

(1.42)

dt

a 1

- a

2

1.7.Построение графиков зависимостей uc = f (t);uL = f (t);i = f (t)

Определим значения функций в крайних точках.
t = 0		t = ∞
i (0) = 0		i пр = 0
uc (0)	= 0	uc пр = Е
uL (0)	= E	uL пр = 0

14

Кривая тока в начальный момент и в конце процесса равна нулю. При этом в начале процесса производная тока не равна нулю, так как

L

di

= uL (0) = E .

dt

t=0

В

середине

процесса

ток

имеет максимум, совпадающий с переходом

напряжения на индуктивности через нуль (t = t1).

di

L

= 0

dt

t =t

1

Скорость изменения

напряжения на конденсаторе в начале процесса равна

нулю

C

duc

= i(0) = 0 .

dt

t=0

Это

значит,

кривая

изменения

напряжения на конденсаторе имеет точку

перегиба в точке перехода напряжения на индуктивности через нуль, так как в

этой точке

di

=

uL

= C

d 2 uc

= 0

dt

L

dt 2

В интервале времени доt1 ток возрастает, а индуктивность препятствует этому и напряжение на ней имеет положительное направление. После этого момента ток начинает уменьшаться и напряжение на индуктивности меняет свой знак. Отрицательный максимум напряжения совпадает с точкой перегиба кривой тока (t = t2)

duL				= L		d 2 i			= 0.
dt			t =t 2			dt 2
									t =t 2

Кривые изменений тока, напряжения на емкости и индуктивности изображены на рис. 1.8 .

15

i, uL,, uc

uc

E

i

t1

t2 uL

t

Рис. 1.8. Кривые изменения токов и напряжений

Рассмотрим случай колебательного процесса. Здесь w0 f d , или

1	f	R	и R p 2	L	.	(1.43)
LC		2L
				C

Преобразуем выражение для корней:

a1,2 = -d ± d 2 -w02 = -d ± -1(w02 -d 2 ) = -d ± j(w02 -d 2 ) .

Введем обозначение w02 -d 2 = (w¢)2 . Тогда

a1 = -d + jw¢ a2 = -d - jw¢.

Для нахождения законов изменения при комплексно-сопряженных корнях необходимо обратиться к формулам Эйлера:

e ja =cosa+ j sina e- ja =cosa - j sina.

	Из этих формул вытекает следующее:
	cos a =	e ja + e - ja		,	sin a =	e ja - e - ja	.
	2					2 j

Преобразуем выражение для тока с использованием формулы Эйлера:

16

e a 1t - e a 2 t

e - (d + jw ¢) t

- e - (d - j w ¢)t

=

=

a

1 - a

2

- d + j w ¢ + d + w ¢

- dt

¢

- dt

¢

- dt

¢

¢

e

e

jw t

- e

e

- j w t

e

e

j w t

- e

- j w t

=

=

×

=

2 jw ¢

w ¢

2 j

=

e

- dt

¢

sin w t .

w ¢

Итак

	E		e - d t		¢
i =		×		sin w	t .	(1.46)
	L		w ¢

Аналогичным способом можно определить другие законы изменения. Имеется всего три конструкции, которые дают формулы перехода к колебательным функциям.

ea1t - ea2t

e

-dt

¢

=

sin w t ,

(1.47)

a1 -a 2

w ¢

a1ea1t - a 2 ea2t

=

w

0

e

-dt

¢

- b ) ,

(1.48)

a1 - a 2

w¢

sin(w t

a2 ea1t - a1ea2t

w0

-dt

¢

=

1 -

e

sin( w t + b )

(1.49)

w

¢

a1 - a 2

¢	w	2	-d		2	;
где w =
	0
b =	arctg			w		¢	;
				d

17

С учетом изложенного выше, можно записать окончательно:

E

- d t

¢

i = L w ¢

× e

sin w t ,

(1.50)

uL = E

w0

e

-dt

¢

,

(1.51)

w¢

sin(w t - b )

u c

= E - E

w 0

e

- dt

¢

.

(1.52)

w ¢

sin( w t + b )

Это

затухающие

синусоиды, графическое

изображение

которых

приведено на рис. 1.9.

i

u

uc

E

i1

i2

t1

T

t

i

Рис. 1.9. Затухающий переходный процесс

В зависимости от параметров цепей синусоиды могут быть различными

(рис. 1.10, а. б ). Такие затухающие синусоиды характеризуют с помощью декремента колебания. Декремент – отношение двух соседних максимумов кривой (см. рис. 1.9).

18