2.6. Операторные схемы

Для составления операторных изображений можно использовать так

называемые операторные схемы. В этих			схемах все элементы и токи
обозначаются	их	операторными	выражениями. Начальные	условия

учитываются дополнительными источниками, включенными последовательно с индуктивностью и емкостью соответственно. Причем направление источника,

учитывающего ток в индуктивности, совпадает с направлением тока,

величина равна Li(0). Последовательно с емкостью включается источник э.д..с

направленный против тока. Величина его равна uc(0)/p .

2.7. Переход от изображений к оригиналам

После определения операторных выражений неизвестных необходимо найти оригиналы функций. Для этого есть два пути. Первый, это нахождение оригиналов по таблицам. Второй путь – по теореме разложения.

Изображение тока в любой физически осуществимой цепи можно привести к виду:

I ( p) =	G( p)		a p m + a	2	p m-1	+ ... + a	m	p 0
		=	1						.	(2.25)
	F( p)		b p n + b p n-1			+ ... + b p 0
			1	2		n

В этом выражении m ≤ n ; ak , bk – вещественные числа; многочлены G(p),

F(p) не имеют общих корней, т.е. дробь является несократимой. Кроме того,

многочлен F(p) не имеет нулевых и кратных корней.

Известно, что дробь G(p)/ F(p) можно разложить на простейшие дроби:

G( p)

A1

A2

Ak

An

n

Ak

, (2.26)

=

+

+ ... +

+ ... +

= å

F ( p)

p - p1

p - p2

p - p

p - p

k

n

k =1 p - p

k

где р1 , р2, …рк … рn – корни знаменателя;

A1 , A2 , …Ak … An – коэффициенты, которые подлежат определению.

Обе части уравнения (2.26) умножим на р - рк :

30

G ( p)( p - p

k

)

=

A

( p - p

k

)

+

A

2

( p - p

k

)

+ ... + A

+ ... +

A

n

( p - pk )

1

k

F ( p)

p - p1

p - p 2

p - p n

Пусть р → рк , тогда р – рк = 0 , и

Ak	= lim	G ( p )( p - p k	)	.
		F ( p )
	p ® pk

В этом выражении правая часть содержит неопределенность, так как F(p) → 0

и р – рк =

0. Эта

неопределенность раскрывается по правилу

Лопиталя.

d

( p -

p

)

k

Ak

= G ( p k )

lim

dp

= G ( p k

)

1

,

d

[F ( p )]

F ¢( p k )

p ® pk

dp

Окончательно

Ak	=	G ( p k )	,
		F ¢( p k )
где F’(p) – производная.

G ( p)

n

Ak

n

G ( p K )

1

=

å

= å

.

F ( p)

- p

) ( p -

p

)

k =1 p

k

k =1F ¢( p

k

k

Так как

1

== eat

,

( p - a )

то

i ( t ) = å G ( p K ) e p k t .

n

k =1

F ¢( p

k

)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

Это есть теорема разложения. Правая часть полученного выражения представляет собой сумму экспоненциальных составляющих. Количество их равно числу корней знаменателя. Если знаменатель имеет нулевой корень, его можно представить в виде

F1 ( p) = pF ( p) .

31

В этом случае теорема разложения принимает вид:

i(t) =	G(0)	n	G( pk )	p	t
		+ å		e k	.	(2.31)
	F(0)		¢
		k=1 pk F ( pk )

Рассмотрим несколько конкретных примеров. Включение конденсатора на постоянное напряжение (рис. 2.4).

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

		iR +	1 t
R			C	òidt +uc (0) = E			(2.32)
i				0
E	C	Перейдем к операторной форме записи:
Рис. 2.4. Схема заряда конденсатора		I ( p)R +		1	I ( p) + uc (0) = E .		(2.33)
				pC	p	p
Откуда выражаем

I ( p) =	E / p -uc	(0) / p
			.	(2.34)
	R +1/ pC

Упростим это уравнение:

I ( p) =	C[E - uc	(0)]
			.	(2.35)

pCR +1

Введем обозначения в соответствии с теоремой разложения:

G(p) = С[E-uс (0)] ,

F(p) = pCR – 1 = 0,

F’(p) = CR ,

P1 = – 1/ CR.

Применим теорему разложения: 32

i(t) =	G( p1 )	e p1t	=		C[E - uС (0)]		e p1t .	(2.36)
	F¢( p1 )					CR
При нулевых начальных условиях:
	i(t ) =			E		e p1t .		(2.37)
				R

Полученные выражения полностью совпадают с выражениями, полученными в классическом методе.

Для определения операторного выражения напряжения конденсатора запишем дифференциальное уравнение:

CR	du c	+ u c = E .	(2.38)
	dt

Перейдем в операторную форму с учетом правила дифференцирования:

CR[pU c ( p) - uc (0)]+U c ( p) = E / p .

(2.39)

При нулевых начальных условиях, после некоторых преобразований получаем

U c ( p ) =	E
		.	(2.40)
	p ( pCR + 1)

В знаменателе этого выражения имеется нулевой корень. Следовательно, здесь требуется применение второй формы теоремы разложения:

uc

(t) =

G(0)

G( p1)

p t

E

E

p t

p t

+

e 1

=

+

× e 1

= E(1 - e 1 ) . (2.41)

F (0)

p1F ¢( p1)

1

1

-

CR

CR

33