– активная проводимость, учитывающая потери в стали; B0 – индуктивная проводимость, учитывающая реактивную мощность перемагничивания; Ia –

активная составляющая тока; Iμ – реактивная составляющая тока.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме по схеме замещения:

			= R м				&
		U&		I& + jw L S I& + jw w Ф 0 м .						( 4.36)
							2
	В этом уравнении третье слагаемое представляет собой составляющую э.д.с. от
	основного	магнитного потока. Деление				на	корень	из двух		амплитудного
				значения		магнитного			потока		обусловлено
		JωLI		переводом		его	в		действующие		.значения
		RмI		Потокосцепление здесь заменено значениемy0
	U	U0	Iа	=wФ0 .
		I	Фом	Векторная диаграмма изображена на рис. 4.33.
	γ	Iμ		Построение		начинается		с	вектора	магнитного
				потока,	который отстает			от	вектора напряжения
	Рис. 4.33. Векторная диаграмма
				U0, приложенного			к индуктивностиВ0			на	угол
	катушки со стальным
	сердечником			900. С вектором магнитного потока совпадает по
				фазе	вектор		намагничивающего			токаIμ .
	Активная составляющая тока Ia совпадает по фазе с напряжениемU0									. Сумма

этих векторов дает вектор входного токаI. Вектора падений напряжения на
активном	сопротивлении	катушки	и	на	индуктивности		расс
ориентируются по отношению ко входному				току	под	соответствующими
углами. Сумма векторов падений напряжения дает вектор входного напряжения
U .
4.16 Определение намагничивающего тока
Намагничивающая составляющая тока катушки определяется по второму
закону Кирхгофа для магнитных цепей. Для			применения			второго закона

74

необходимо знать напряженность магнитного поля. Как было упомянуто выше,

магнитный поток зависит от приложенного напряжения, т.е:

		&		ом
U&	0	= j w w	Ф			.	( 4.37)
		2

Это выражение можно переписать для модулей:

E =	2p				fwB ом S = 4,44 fwB ом S ,	( 4.38)
2
где S – площадь поперечного сечения магнитопровода.
Определив величину Вом,					по кривой намагничивания	находят значение

Ном. В воздушном зазоре напряженность определяется по выражению В = μоН .

Значение индукции, как и раньше, принимается равным его значению в магнитопроводе. Тогда

I m m	=	H m l ст + H в l в	.	( 4.39)
		w
Активная составляющая	тока находится исходя			из мощности потерь

сердечнике Рст, определяемой в свою очередь по справочным данным для данного сорта стали на единицу веса:

I a	=		P ст		.		( 4.40)
			U 0
Полный ток определяется	по			теореме Пифагора			исходя из векторн
диаграммы
I =		I a2		+ I m2		.	( 4.41)

4.17 Трансформатор со стальным сердечником Трансформатор представляет собой статическое устройство, служащее

для преобразования уровней напряжения и тока, а в некоторых случаях просто для гальванической развязки электрических цепей.

75

Трансформатор обычно состоит из двух обмоток и магнитопровода.

Последний служит для увеличения магнитного потока, что соответствует

усилению

магнитной

связи

между

обмотками. Та

обмотка,

которая

подсоединяется к источнику, называется первичной, та, которая к потребителю

Фо

–

вторичной.

Чаще

всего

I1

Ф1S

Ф2S

I2

обмотки

располагаются

на

U1

w1

U2

ZH

одной стороне магнитопровода.

На рис. 4.34 изображена схема

трансформатора,

на

которой

для

наглядности

обмотки

Рис. 4.34. Трансформатор со стальным сердечником

расположены

на

разных

сторонах (стержнях).

Так же как в катушке со стальным сердечником ток первичной обмотки

создает магнитное поле в сердечнике(основной магнитный поток Ф0) и поток

рассеяния ФS . Основной магнитный поток пронизывает вторичную обмотку и

наводит в ней э.д..сЕсли вторичную обмотку замкнуть на сопротивление

нагрузки, то по ней потечет .токЭтот ток в свою очередь создает

свой

магнитный поток, который суммируется с основным магнитным потоком, а

также свой поток рассеяния. Независимо от действия вторичной обмотки

суммарный

основной

магнитный

поток

остается неизменным, так как он

Фо

напрямую

зависит

от

напряжения источника.

Rм1

L1S

L2S

Rм2

Активные

U1

I1

w1

w2

I2

U2

сопротивления

обмоток

и

их

индуктивные

сопротивления

можно

Рис. 4.35. Упрощенная схема трансформатора

вынести

за

пределы

магнитопровода

ввиду

76

их линейности характера. Тогда получается схема для составления основных уравнений трансформатора со стальным сердечником (рис. 4.35).

&

I&1 R1

+ jwL1 S I&1 + jww1

Ф 0 m

= U& 1

,

( 4.42)

2

&

I&2 R2

+ jwL2 S I&1

+ jww2

Ф0 m

+ U&

2 = 0 .

( 4.43)

2

У правильно сконструированного трансформатора первые два слагаемых

достаточно малы, и ими можно пренебречь:

&

jww1

Ф0 m

@ U&

1 ,

( 4.44)

2

&

jww2

Ф0 m

+ U&

2

@ 0 .

( 4.45)

2

Поделив первое уравнение на второе, получим для действующих значений

w1

=

U 1

= K ,

( 4.46)

w2

U 2

где К – коэффициент трансформации.

Из последнего уравнения следует, что напряжения на обмотках

пропорциональны числам витков.

Основной магнитный

поток

создается

под

суммарным

воздействием

обеих обмоток и остается неизменным. Поэтому

I& w + I&

w

2

= I&

w ,

( 4.47)

1

1

2

0

1

где I0 – намагничивающий ток, если I2

= 0, то I0

– ток холостого хода.

Поделим последнее уравнение на w1 :

I&1

+ I&2

w 2

= I&0 .

( 4.48)

w1

Откуда появляется понятие приведенного тока

&

'

&

w 2

I

2

=

I

2

w1

.

( 4.48)

77

У правильно сконструированного трансформатора намагничивающий ток достаточно мал, и в режиме нагрузки им можно пренебречь. Тогда для действующих значений

I&1 w 1 + I&2 w 2 = 0 ,

I 1	=	w 2	.
I 2
		w 1

Токи в трансформаторе обратно пропорциональны числам витков.

R1 L1S L’2S R’2

( 4.49)

( 4.50)

I1	I’2
Go Ia Uo Iμ	Z’Н
B0

jωL1Sİ1

R1İ1

Ú1

Ú0 İ1

- İ’2

İa

Рис. 4.36
Для удобства расчетов используется так
называемый приведенный трансформатор, у
которого вторичное напряжение приводится к
уровню	первичной	обмотки	с	учето
коэффициента трансформации. При этом
U 2' = U 2 K , I 2' = I 2 / K ,		Z н' = Z 2 K 2 .

φ2	İо İ m	Расчетная	схема		замещения			приведенного
		Ф0
	R’2 İ1	трансформатора представлена на рис. 4.36.
İ’2	Ė= – Ú0	Векторная			диаграмма (рис.			4.37)
	R’2 İ’2
		строится	в	соответствии			с	выбранными
	jωL2S İ’2
	Рис. 4.37	направлениями		токов		на схеме		замещения.
		Вектора первичной			стороны		строятся так же
как для катушки со стальным сердечником. Вектор тока						I2 отстает от вектора
напряжения нагрузки на угол φ2 . Величина вектора Е складывается из векторов
падений	напряжений	на параметрах	вторичной			обмотки		нагрузки. Ток

78

первичной обмотки складывается из тока холостого хода(намагничивающего

тока) и тока вторичной обмотки, взятой с обратным знаком.

4.18 Определение параметров схемы замещения

Параметры схемы замещения могут быть определены опытным путем. Для этого проводятся опыты холостого хода(индекс “х”) и короткого замыкания (индекс “к”). Опыт холостого хода проводится при разомкнутой вторичной обмотке. На первичную обмотку подается номинальное(расчетное)

напряжение. Производится измерение первичного напряжения(U ),

1X

первичного тока (I1X), потребляемой мощности (P1X). Измеряется также и вторичное напряжение (U2X) для определения коэффициента трансформации.

Так как вторичная обмотка разомкнута, то потери в ней отсутствуют вовсе. Обычно трансформатор рассчитывают так, чтобы потери в обмотках даже при полной нагрузке были малы (несколько процентов от полной мощности).

По первичной обмотке в режиме холостого хода протекает толь намагничивающий ток, величина которого составляет несколько процентов от рабочего тока. Поэтому потери в первичной обмотке малы, и ими можно пренебречь.

Так как ток первичной обмотки мал, и падение напряжения на ее элементах также мало, то можно считать, что все напряжение приложено к поперечным параметрам. Тогда, исходя из того, что P = U2 / R , получим:

		G 0 = P1X / U21X .					(4.51)
Кроме того,	Z1X = U1X / I1X , Y1X = I1X / U1X . Следовательно,
		B0 =	Y12X	-G02 .			(4.52)
Опыт	короткого замыкания			проводится		при замкнутой		накоротко
вторичной обмотке. В целях измерения тока вторичной обмотки, последняя
замыкается	через	амперметр. На		первичную		обмотку	подается	такое
пониженное напряжение, при котором по вторичной обмотке устанавливается
номинальный ток (несмотря на короткое замыкание). При этом измеряется
напряжение	режима	короткого	замыкания первичной обмотки(U1K) , ток

первичной обмотки (I1K) , и мощность потерь (P1K) .

При нормальной работе трансформатора с полной нагрузкойего к.п.д достигает до 98%. Следовательно, потери в магнитопроводе составляют всего несколько процентов от полной передаваемой мощности. При этом они пропорциональны квадрату магнитной индукции, а индукция пропорциональна приложенному напряжению.

79

В	опыте		короткого	замыкания	на	первичную	обмотку	подает
пониженное		напряжение (от		5 до 15%,	в	зависимости	от мощности
трансформатора). Это значит, что потери в магнитопроводе достаточно малы и
ими можно		пренебречь. Таким		образом, мощность, измеренная			ваттметром,

будет являться мощностью потерь в двух обмотках трансформатора. Это положение позволяет вычислить продольные параметры схемы замещения

приведенного	трансформатора. При	этом	считается, что	приведенные
параметры обмоток равны между собой.
Суммарное активное сопротивление обмоток определится на основании
известного выражения P = I2 R :

	R + R'		=	p1K
				2 .		(4.53)
	1	2
				I1K

Индуктивные сопротивления обмоток, обусловленные потоками рассеяния, определятся следующим образом:

X1S + X2' S = Z12K - (R1 + R2' )2 , (4.54)

где Z1K = U1K / I1K .

4.19 Метод кусочно-линейной аппроксимации Основой данного метода является замена вольтамперной характеристики

нелинейного элемента для мгновенных значений отрезками прямых линий. При этом как обычно составляются расчетные схемы, в которых имеются только линейные элементы. По каждой расчетной схеме составляются уравнения по тому или иному методу. Решая полученные системы уравнений, получают соответствующие законы изменения токов и напряжений. Определяются также моменты перехода из одного участка на другой, при этом в качестве начальных условий необходимо учитывать значения в конце предыдущего интервала.

Рассмотрим, в качестве примера, расчет цепи (рис. 4.38). Цепь содержит катушку индуктивности с прямоугольной кривой намагничивания(без петли гистерезиса).

80

L

i

+y

~ e	R
	i
	–y

Рис. 4.38. Нелинейная индуктивность на переменном токе и его характеристика

Заданы параметры цепи и характеристика нелинейного элемента с

проведенной кусочно-линейной аппроксимацией. Требуется определить закон
изменения тока, напряжения на элементах и потокосцепление.
Пусть	в	начале	процесса	магнитное	состояние		магнитопрово
определялось в точке со значением -y, а напряжение источника изменяется по
закону
		u = U m sin w t .
С	увеличением		приложенного	напряжения		сердечник		начина
перемагничиваться. Ток согласно характеристике остается без изменения, т.е.
равен нулю и нет падения напряжения на активном сопротивлении. Все
напряжение приложено к катушке. В общем случае

81

а)
		t
б)			d y			+ iR = U m sin w t ,
			dt
	t	или
				d y = U			m sin w t .
в)	t			dt
		Отсюда
г)	t			1		U m cos wt + C
		y = -						,
				w
		4.51)
Рис. 4.38. Волновые диаграммы		где С	–		постоянная интегрирования,
		которая				может	быть	определена
исходя из начальных условий.
При t = 0	y = – ym .
В этом случае

-y m	= -	1		U m 1 + C ,			(4.52)
	w
C = -y m				+	U m	.	(4.53)
					w

Окончательно закон изменения потокосцепления имеет вид:

		y = -	1	U m cos wt - y m		+	U m	.		( 4.54)
		w					w
	Кривая изменения потокосцепления изображена на								.рис4.39, б. Она
представляет собой косинусоиду с отрицательным знаком и поднятая так, что
ее	амплитудное	значение			совпадает		с		максимальным		зна
потокосцепления.
	Процесс	перемагничивания			продолжается				до	, техпока пор
потокосцепление не достигнет максимального значения+y . Конец интервала

82

ωt1, который		именуется				первым, определяется				из уравнения(4.51)	при
подстановке +y .
		+y m	= -	1	U m	cos wt1 -y m +		U m	.	( 4.55)
				w				w
На	следующем				втором		интервале магнитный поток не изменяется,
падения напряжения на катушке нет. Поэтому все напряжение приложено к
активному сопротивлению (рис. 4.38, в). Конец второго интервала находится в
конце	первого		полупериода				питающего			напряжения, меняющего	свою
полярность.		Далее	процесс				повторяется с обратными знаками. Кривая
изменения тока представлена на рис. 4.38, г.

83