R
I(p)	uc(0)
E/p	p
	1
	pC
Рис. 2.5. Схема в операторной форме

Т.е:	uc (t) = E(1 - e p1t ) .			(2.42)
Последнее		выражение также совпадает
с классическим методом. Приведенные
выше	операторные		выражения	можно
получить		непосредственно			п
операторной схеме (рис. 2.5) используя
методы		цепей	постоянного ,		тока

например по закону Ома.

R

I(p)

1

E/p

pC

pL

Рис. 2.6. Операторная схема цепи RLC

2.8. Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение

Операторная схема такого случая при нулевых начальных условиях изображена на рис. 2.6. Запишем уравнение по закону Ома:

I ( p) =	E / p			. (2.43)
	R + pL +	1

pC

После преобразования получим

I ( p ) =

E

1

=

E

×

1

. (2.44)

L

p 2 + p

R

+

1

L

p 2 + 2dp + w 02

L

LC

Операторное выражение для напряжения на конденсаторе получается как падение напряжения:

U с	( p ) = I ( p )	1	=	E	×	1		. (2.45)
							02 )
		pC LC p ( p 2 + 2dp + w

Аналогично для индуктивности:

34

	U L	( p) = I ( p) pL = E ×		p	.	(2.46)
			( p2	+ 2dp +w02 )

Переход к оригиналам производим по теореме разложения. Здесь возможен учет постоянных коэффициентов за пределами формул разложения.

Тогда введем следующие обозначения в выражение для тока.

G(p) = 1;

F ( p) = p 2 + 2dp + w02 = 0 ;

F¢( p) = 2 p + 2d ;

p1,2 =-d ±d2 -w02 .

Тогда для тока:

E

n G(p )

p t

Eæ

1

p t

1

p t ö

E ep1t -ep2t

к

кk

ç

1

2 ÷

i(t) = ×å 1

e

=

e

+

e

= ×

.

ç

2p1

+2d

2p2 +2d

÷

L k=1 F (pк )

Lè

ø

L p1 -p2

Знаменатель выражения для напряжения на конденсаторе имеет нулевой корень. Тогда

	E éG(0)				n	G( pk )			p t ù
uc	(t) =		ê		+ å				e k ú =
							F¢( pk )
	LC ëF(0)				k=1 pk				û

= E æç 1

LC çèw02

+	1	e 1	+	1	e	2	÷.	(2.47)
		p t				p t ö
							÷
	p1 (2 p1 + 2d )			p2 (2 p2 + 2d )
							ø

Так как w 2	= 1/ LC	и по теореме Виета p p	2	= w 2	,
0		1		0

æ		p	e p1t - p e p2t ö
ç		2	1	÷
uc (t) = Eç1	+			÷ .	(2.48)
			p1 - p2
è				ø

Аналогично можно получить выражение для напряжения на индуктивности:

35