Teoria_veroyatnostey

Q1; Q2; : : : ; Qk

3.4.3mETOD MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ

mETODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ POLU^A@T TAKIE OCENKI Q , PRI KOTORYH WEROQTNOSTX REALIZACII RASSMATRIWAEMYH WYBOROK (OB_- <MA n) MAKSIMALXNA.

pUSTX X { DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA I E< ZAKON RASPREDELENIQ ZAWISIT OT k NEIZWESTNYH PARAMETROW

P (X = xi) = pi(Q1; Q2; : : : ; Qk); (pi 6= 0):

tOGDA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SLU^AJNYE WELI^INY X1; X2; :::Xn, OPRE- DELQ@]IE WYBORKU PRIMUT WYBORO^NYE ZNA^ENIQ (1) RAWNA

L(x1; x2; : : : ; xn; Q1; Q2; : : : ; Qk) = P (X1 = x1; X2 = x2; : : : ; Xn = xn) =

n

= P (X1 = x1)P(X2 = x2) P(Xn = xn) = Y pi(Q1; Q2; : : : ; Qk):

i=1

zDESX U^LI PREDPOLOVENIE, ^TO SLU^AJNYE WELI^INY Xi NEZAWISIMY I IME@T TOT VE ZAKON RASPREDELENIQ, ^TO I SLU^AJNAQ WELI^INA X; I WEROQTNOSTX PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH SOBYTIJ RAWNA PROIZWEDENI@ WEROQTNOSTEJ \TIH SOBYTIJ.

oPREDELENIE. fUNKCIQ L NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PRAWDOPODOBIQ. oNA QWLQETSQ ZAKONOM RASPREDELENIQ WYBORKI I PRI FIKSIROWANNYH WYBORO^NYH ZNA^ENIQH QWLQETSQ FUNKCIEJ TOLXKO NEIZWESTNYH PARA-

METROW Q1; Q2; : : : ; Qk.

kAK UVE BYLO SKAZANO, ZA OCENKI BERUTSQ TE ZNA^ENIQ PARAMETROW, PRI KOTORYH FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ (T. E. WEROQTNOSTX REALIZACII WY- BORKI) PRINIMAET MAKSIMALXNOE (NAIBOLX[EE) ZNA^ENIE.

tAKIM OBRAZOM, PRIHODIM K URAWNENIQM DLQ NAHOVDENIQ OCENOK (NE- OBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA)

@L	= 0;	j = 1; 2; : : : ; k:	(17)
@Qj

kONE^NO, NEOBHODIMO PROWERITX, ^TO PRI NAJDENNYH Qj IZ (17) FUNK- CIQ PRAWDOPODOBIQ BUDET PRINIMATX NAIBOLX[EE ZNA^ENIE.

nA PRAKTIKE WMESTO FUNKCII L WWODQT LOGARIFMI^ESKU@ FUNKCI@ PRAWDOPODOBIQ ln L

	n		n
ln L = ln	Y	pi(Q1; Q2; : : : ; Qk) =	X	ln pi(Q1; Q2; : : : ; Qk):
	i=1		i=1

103

tO^KI \KSTREMUMA FUNKCIJ L I ln L SOWPADA@T, TAK KAK
@ ln L =	1		@L	= 0; j = 1; 2; : : : ; k:	(18)
@Qj	L @Qj

pUSTX X { NEPRERYWNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA. i PUSTX E< PLOTNOSTX WEROQTNOSTEJ f(x; Q1; Q2; : : : ; Qk) ZAWISIT OT NEIZWESTNYH PARAMETROW

Q1; Q2; : : : ; Qk :

bUDEM ISKATX OCENKI NEIZWESTNYH PARAMETROW IZ USLOWIQ, ^TO IMEN- NO PRI DANNOJ RASSMATRIWAEMOJ WYBORKE DOSTIGAETSQ MAKSIMALXNAQ WE- ROQTNOSTX POPADANIQ WYBOROK W n-MERNYJ PARALLELEPIPED S CENTROM

W (x1; x2; : : : ; xn) I REBRAMI X1; X2; : : : ; Xn. wEROQTNOSTX POPADA- NIQ WYBOROK W \TOT PARALLELEPIPED, S TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALOJ

BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ^EM

q( X1)2 + ( X2)2 + + ( Xn)2;

RAWNA

n

P = Y f(xi; Q1; Q2; : : : ; Qk) X1 X2 : : : Xn =

i=1

= L(x1; x2; : : : ; xn; Q1; Q2; : : : ; Qk) X1 X2 : : : Xn;

GDE L { FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ

n

L = Y f(xi; Q1; Q2 : : : ; Qk):

i=1

zAMETIM, ^TO WEROQTNOSTX P I FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ ZAWISQT TOLXKO OT NEIZWESTNYH PARAMETROW (xi ZAFIKSIROWANY). tOGDA MAKSIMUM WE- ROQTNOSTI P I FUNKCII PRAWDOPODOBIQ DOSTIGAETSQ W ODNOJ I TOJ VE TO^KE.

nA PRAKTIKE, TAK VE KAK I W DISKRETNOM SLU^AE, PEREHODQT K LOGA- RIFMI^ESKOJ FUNKCII PRAWDOPODOBIQ ln L:

pRIMER 7. pUSTX X RASPREDELENA PO NORMALXNOMU ZAKONU, PARAMET- RY KOTOROGO a = M(X); = qD(X) NEIZWESTNY. tREBUETSQ PO WYBORKE METODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ POLU^ITX OCENKI \TIH PARAMET- ROW.

rE[ENIE. iMEEM

	1					(x a)2
f(x; a; ) =	p			e;		2;2 ;
		2
				n
L(x1; x2; : : : ; xn; a; ) =			Y		f(xi; a; ) =

i=1

104

1

n

n

1

(x;a)2

1

P

(xi a)2

2 2

Y

;

;

p2 e;

= ( p2 )n e

;

= i=1

2 2

i=1

n

1

X

; a)2 ; n ln ; n ln p2 :

ln L = ;2 2

(xi

i=1

w SOOTWETSTWII S (18), POLU^AEM SISTEMU URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ

OCENOK

n

@ ln L

1

@a =

X

(xi ; a) = 0;

2

i=1

@L

1

n

n

=

X

(xi

; a)2 ; = 0:

@

3

i=1

oTS@DA

1

n

a

= n

X

= X:

i=1

v

n

2

i=1(xi

X)

=

u

P

;

= S:

t

n

uPRAVNENIE. pOKAZATX, ^TO PRI \TIH ZNA^ENIQH FUNKCIQ PRAWDOPODOBIQ PRINIMAET NAIBOLX[EE ZNA^ENIE.

kAK WIDNO, OCENKI MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ I DISPERSII DLQ NORMALXNOGO RASPREDELENIQ, POLU^ENNYE METODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, SOWPADA@T S WYBORO^NYM SREDNIM I WYBORO^NOJ DISPERSIEJ, I KAK BYLO POKAZANO W P. 3, QWLQ@TSQ SOSTOQTELXNYMI OCENKAMI, PRI^EM OCENKA a NESME]ENNAQ, A OCENKA 2 { ASIMPTOTI^ESKI NESME]ENNAQ. mOVNO E]E POKAZATX, ^TO OCENKA DLQ a QWLQETSQ \FFEKTIWNOJ, A NESME]ENNAQ OCENKA DLQ DISPERSII

			1			n	2
	2					X
	S = (n		;
				1)			(xi ; X)
						i=1

QWLQETSQ ASIMPTOTI^ESKI \FFEKTIWNOJ.

pRIMER 8. nAJTI METODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ OCENKU

PARAMETRA RASPREDELENIQ pUASSONA
	xi e;
Pm(X = xi) =	xi! ;

GDE m { ^ISLO PROIZWEDENNYH ISPYTANIJ; xi { ^ISLO POQWLENIJ SOBYTIQ W i-OM (i = 1; 2; : : : ; n) OPYTE (OPYT SOSTOIT IZ m ISPYTANIJ.)

105

rE[ENIE. sOSTAWIM FUNKCI@ PRAWDOPODOBIQ, U^ITYWAQ, ^TO Q = :

L = p(x1; )p(x2; ) : : : p(xn; ) =

x1

e;

x2

e;

xn

e;

i=1n

xi

e;n

=

=

P

:

x1!x2! : : : xn!

x1!

x2!

xn!

rASSMOTRIM LOGARIFMI^ESKU@ FUNKCI@ PRAWDOPODOBIQ:

ln L = 0 n	xi1 ln ; n ; ln(x1!x2! : : : xn!):
@X	A
i=1

nAJD<M PERWU@ PROIZWODNU@ OT ln L PO

n

d ln L = iP=1 xi ; n: d

pRIRAWNIWAEM PERWU@ PROIZWODNU@ K NUL@

n

X xi= ; n = 0:

i=1

oTS@DA,

n

= xi=n = X:

i=1

X

nAJD<M WTORU@ PROIZWODNU@ OT ln L PO :

2			n	xi			n
d ln L			i=1
d	=	;		2 =		;X		< 0:
2			P

sLEDOWATELXNO TO^KA MAKSIMUMA I ZNA^IT W KA^ESTWE OCEN

, = X { , , -

KI MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ PARAMETRA RASPREDELENIE pUASSONA

BEREM WYBORO^NU@ SREDN@@

X:

=

3.5iNTERWALXNYE OCENKI

3.5.1dOWERITELXNYJ INTERWAL I DOWERITELXNAQ WEROQTNOSTX

tO^E^NYE OCENKI Q QWLQ@TSQ SLU^AJNYMI WELI^INAMI I DA@T PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE OCENIWAEMYH PARAMETROW. w SWQZI S \TIM, OSOBOE ZNA^ENIE IMEET ZADA^A O NAHOVDENII PO WYBORKE INTERWALOW, KOTORYE

106

UROWNEM ZNA^IMOSTI.

S ZADANNOJ WEROQTNOSTX@ SODERVALI BY (POKRYWALI BY) ISTINNOE ZNA- ^ENIE OCENIWAEMYH PARAMETROW. i TEM SAMYM MOVNO BYLO BY SUDITX O POGRE[NOSTI (TO^NOSTI) OCENOK.

oPREDELENIE. dOWERITELXNYM INTERWALOM DLQ PARAMETRA Q NA- ZYWAETSQ INTERWAL

(Q1(x1; x2; : : : ; xn); Q2(x1; x2; : : : ; ));

SODERVA]IJ (POKRYWA@]IJ) S ZADANNOJ WEROQTNOSTX@ (NADEVNOS- TX@) ISTINNOE ZNA^ENIE PARAMETRA.

dOWERITELXNYE INTERWALY STROQTSQ PO WYBORKE. kONCY INTERWALOW ZAWISQT OT \LEMENTOW WYBORKI I W SWQZI S \TIM QWLQ@TSQ SLU^AJNYMI WELI^INAMI.

tAKIM OBRAZOM,

P(Q1 < Q < Q2) = :

(19)

oPREDELENIE. ~ISLO { NAZYWAETSQ DOWERITELXNOJ WEROQTNOS- TX@, A = 1 ;

wYBOR KONKRETNOGO ZNA^ENIQ ZAWISIT OT RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I, TAK, ^TOBY WEROQTNOSTX = 1 ; SOOTWETSTWOWALA PRAKTI^ESKOJ NE- WOZMOVNOSTI MALOWEROQTNOGO SOBYTIQ. tO ESTX, ESLI P (A) = 1 ; ; TO SOBYTIE A S^ITAETSQ PRAKTI^ESKI NEWOZMOVNYM. zAMETIM, ^TO WYBOR ^ISLA W KONKRETNOJ ZADA^E OPREDELQETSQ STEPENX@ TEH OPASNOSTEJ, KO- TORYE MOGUT PROIZOJTI, ESLI WSE VE PROIZOJDET SOBYTIE P (A) 1 ; : kAK PRAWILO, ZA DOWERITELXNU@ WEROQTNOSTX BERUT 0:95:

bUDEM STROITX DOWERITELXNYE INTERWALY DLQ PARAMETROW, ISPOLX- ZUQ IH TO^E^NYE OCENKI.

3.5.2dOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ MATEMATI^ESKOGO OVI- DANIQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY PRI IZWESTNOM SREDNEKWADRATI^ESKOM OTKLONENII

pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA X RASPREDELENA PO NORMALXNOMU ZAKONU S NEIZWESTNYM MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM a I IZWESTNYM SREDNEKWAD- RATI^ESKIM OTKLONENIEM ; I IMEETSQ WYBORKA (1). tOGDA W SISTEME X1; X2; : : : ; Xn; REALIZU@]EJ WYBORKU IZ GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI DLQ X, KAVDAQ KOMPONENTA TAKVE RASPREDELENA PO NORMALXNOMU ZAKONU S

M(Xi) = a; (Xi) = :

107

POTREBUEM WYPOLNENIE (20)

wOZXMEM ZA TO^E^NU@ OCENKU DLQ a

	1	n
	a = X = n	X	Xi:
		i=1

wYBORO^NOE SREDNEE X QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ, I KAK SUMMA NORMALXNO RASPREDELENNYH SLU^AJNYH WELI^IN S ODINAKOWYMI MATE- MATI^EWKIMI OVIDANIQMI I DISPERSIQMI, TAKVE RASPREDELENA PO NOR- MALXNOMU ZAKONU, I W SOOTWETSTWII S (11), (12)

M(X) = a; (X) = pn				:

dOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ a BUDEM NAHODITX ISHODQ IZ SOOTNO-

[ENIQ

P (jX ; aj < ) =

(20)

(TREBUETSQ NAJTI WELI^INU :) rASPI[EM LEWU@ ^ASTX SOOTNO[ENIQ

(20)

P (jX ; aj < ) = P (a

; < X < a + ) =

= 0a + ; a1

;

0a ; ; a1 =

B

p

C

B

p

C

n

n

@

A

@

A

1 :

= 0pn 1

0

pn 1 = 2 0pn

(21)

@

A ;

@;

A

@

A

zDESX WOSPOLXZOWALISX SOOTNO[ENIEM

P( < X < ) = ( ; a)

;

( ; a);

x

e; 2

dt; (;x) =

; (x)

(x) = p12 Z

t2

0

DLQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY S MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM a I SREDNEKWADRATI^ESKIM OTKLONENIEM :

s U^ETOM (21)

0pn 1 = =2:

@ A

pO TABLICE 2 FUNKCII lAPLASA (x) (SM. pRILOVENIE) NAHODIM t =
pn	IZ USLOWIQ
	(t ) =		(22)
		2

108

I DALEE

= pt n:

tAKIM OBRAZOM, USLOWIE (20) WYPOLNENO. pEREPI[EM EGO W WIDE

P (ja ; Xj < ) = :

oTS@DA

@

t

t

; pn

< a < X +

pnA

(23)

P 0X

1 = ;

I

0X

t

; X +

t

1

@

; pn

pnA

{ ISKOMYJ DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ WELI^INY a:

pRIMER 9. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET NORMALXNOE RASPREDELE-

NIE S IZWESTNYM SREDNIM KWADRATI^ESKIM OTKLONENIEM = 3: nAJTI DOWERITELXNYE INTERWALY DLQ OCENKI NEIZWESTNOGO MATEMATI^ESKOGO

OVIDANIQ a PO WYBORO^NYM SREDNIM X; ESLI OB_EM WYBORKI n = 36 I ZADANA NADEVNOSTX OCENKI = 0; 95:

rE[ENIE. nAJDEM t : iZ SOOTNO[ENIQ 2 (t) = 0; 95 POLU^IM (t) = 0; 475: pO TABLICE 2 (SM. pRILOVENIE) NAHODIM t = 1; 96:

nAJDEM { TO^NOSTX OCENKI:

= t =pn = (1; 96 3)=p36 = 0; 98:

			;
				0; 98; X + 0; 98): nAPRIMER,
zAPI[EM DOWERITELXNYJ INTERWAL (X
ESLI X = 4; 1; TO DOWERITELXNYJ INTERWAL IMEET SLEDU@]IE DOWERI-
TELXNYE GRANICY:
	; 0; 98 = 3; 12;
X ; 0; 98 = 4; 1		X + 0; 98 = 4; 1 + 0; 98 = 5; 08:

tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIQ NEIZWESTNOGO PARAMETRA a; SOGLASU@]IESQ S DANNYMI WYBORKI, UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWU 3; 12 < a < 5; 08: pOD- ^ERKNEM, ^TO BYLO BY O[IBO^NYM NAPISATX P (3; 12 < a < 5; 08) = 0; 95: dEJSTWITELXNO, TAK KAK a|POSTOQNNAQ WELI^INA, TO LIBO ONA ZAKL@^E- NA W NAJDENNOM INTERWALE(TOGDA SOBYTIE 3; 12 < a < 5; 08 DOSTOWERNO I EGO WEROQTNOSTX RAWNA EDINICE), LIBO W NEM NE ZAKL@^ENA (W \TOM SLU^AE SOBYTIE 3; 12 < a < 5; 08 NEWOZMOVNO I EGO WEROQTNOSTX RAWNA NUL@). dRUGIMI SLOWAMI, DOWERITELXNU@ WEROQTNOSTX NE SLEDUET SWQ- ZYWAATX S OCENIWANEMYM PARAMETROM; ONA SWQZANA LI[X S GRANICAMI

109

DOWERITELXNOGO INTERWALA,KOTORYE, KAK UVE BYLO U KAZANO , IZMENQ@T- SQ OT WYBORKE K WYBORKE.

pOQSNIM SMYSL,KOTORYJ IMEET ZADANNAQ NADEVNOSTX. nADEVNOSTX= 0; 95 UKAZYWAET, ^TO ESLI PROIZWEDENO DOSTATO^NO BOLX[OE ^ISLO WYBOROK, TO 95% IZ NIH OPREDELQET TAKIE DOWERITELXNYE INTERWALY, W KOTORYH PARAMETR DEJSTWITELXNO ZAKL@^EN; LI[X W 5% SLU^AQH ON MOVET WYJTI ZA GRANICY DOWERITELXNOGO INTERWALA.

3.5.3dOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ MATEMATI^ESKOGO OVI- DANIQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY PRI NEIZWESTNOM SREDNEKWDRATI^ESKOM OTKLONENII

pUSTX IZU^AEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA RASPREDELENA PO NORMALXNOMU ZAKONU, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE a I NEIZWESTNY.

rASSMOTRIM PO WYBORKE (1) SLU^AJNU@ WELI^INU

T =				X ; a				;		(24)
				S =pn
GDE S { "ISPRAWLENNOE" WYBORO^NOE SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONE-
NIE
			1		n
u					X				2
S = vn
			;	1		(xi ; X)				(25)
t					i=1

(S { TO^E^NAQ OCENKA DLQ ).

|TA SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET RASPREDELENIE, KOTOROE NAZYWAETSQ

RASPREDELENIEM sTX@DENTA S k = n;1 STEPENQMI SWOBODY. pLOTNOSTX RASPREDELENIQ sTX@DENTA

	S(t; n) = Bn 01 +	t2	1;	n
				2	;	;1	< t < +	1	;
GDE	@	n ; 1A

;(n=2)

Bn = ;((n ;+1)1 =2)q (n ; 1);

;(p) = Z xp;1e;xdx

0

{ GAMMA-FUNKCIQ |JLERA. rASPREDELENIE sTX@DENTA NE ZAWISIT OT NE- IZWESTNYH PARAMETROW a I (ONI NE WHODQT W FORMULU DLQ PLOTNOSTI), A ZAWISIT TOLXKO OT n { OB_EMA WYBORKI.

110

iMEEM
P(jT j < t ) = P(;t < T < t ) = Zt	S(t; n)dt = 2 Zt S(t; n)dt:	(26)
;t	0
zDESX U^LI, ^TO S(t; n) ^ETNAQ FUNKCIQ PO t. dALEE, NAHODIM PO TABLICE
3 (SM. pRILOVENIE) RASPREDELENIQ sTX@DENTA S k = n ; 1 { STEPENQMI
SWOBODY WELI^INU t IZ USLOWIQ
Zt S(t; n)dt = =2;		(27)
0

i RASPISYWAQ SOOTNO[ENIE (26) S U^ETOM (24), (27), POLU^AEM ISKOMYJ DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ WELI^INY a

		t S				t S
@		; pn			; X +	pn A				:
0X									1

pRIMER 10. kOLI^ESTWENNYJ PRIZNAK X GENERALXNOJ SOWOKUPNOS- TI RASPREDELEN NORMALXNO. pO WYBORKE OB_EMA n = 16 NAJDENY WY-

BORO^NAQ SREDNQQ X = 20; 5 I "ISPRAWLENNOE" SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE S = 0; 8: pOSTROITX DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ MATEMA- TI^ESKOGO OVIDANIQ S NADEVNOSTX@ 0; 95:

rE[ENIE. nAJDEM t ; POLXZUQSX TABLICEJ 3 (SM. pRILOVENIE), PO

= 0; 95 I n = 16 NAHODIM t = 2; 13:

	nAJDEM DOWERITELXNYE GRANICY						p
		p
				n = 20; 2 ; 2; 13		0; 8=		16 = 19; 774:
	X ; t S =
		p				0; 8=	p
				n = 20; 2 + 2; 13				16 = 20; 626:
	X + t S =

iTAK, S NADEVNOSTX@ 0; 95 PO DANNOJ WYBORKE NEIZWESTNYJ PARAMETR a ZAKL@^EN W DOWERITELXNOM INTERWALE 19; 774 < a < 20; 626:

3.5.4dOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ SREDNEKWADRATI^ESKOGO OTKLONENIQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WE- LI^INY

pUSTX IZU^AEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X RASPREDELENA PO NORMALXNO- MU ZAKONU. eE SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE NEIZWESTNO. wWEDEM SLU^AJNU@ WELI^INU { "HI"

=	S p	n ; 1;	(28)

111

GDE S { "ISPRAWLENNOE" SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE (25). eE

PLOTNOSTX RASPREDELENIQ

xn;2e;x2=2

f(x; n) = 2(n;2)=2;((n ; 1)=2):

rASPREDELENIE WELI^INY NE ZAWISIT OT OCENIWAEMOGO PARAMETRA , A ZAWISIT TOLXKO OT OB_EMA WYBORKI.

pOTREBUEM WYPOLNENIQ RAWENSTWA

P (S ; < < S + ) =

(29)

(I]EM ).

pOLOVIM q = =S . zAPI[EM POSLEDOWATELXNO NERAWENSTWA

S ; < < S + ;

S (1 ; =S ) < < S (1 + =S );

S (1 ; q) < < S (1 + q);

(30)

pUSTX q < 1. iZ NERAWENSTWA (30) SLEDUET

1

1

1

< <

;

S (1 + q)

S (1 ; q)

p

<

S p

<

p

n ; 1

n ;

1

n ; 1

:

1 ; q

1 + q

oTS@DA, S U^ETOM OPREDELENIE WELI^INY (28), POLU^AEM

p

< <

p

:

n ; 1

n ; 1

1 + q

1 ; q

wEROQTNOSTX WYPOLNENIQ \TOGO NERAWENSTWA I, SLEDOWATELXNO, RAWNO- SILXNOGO EMU NERAWENSTWA (29) RAWNA

pn;Z1=(1;q)f(x; n)dx = :

pn;1=(1+q)

iZ \TOGO URAWNENIQ MOVNO PO ZADANNYM n I NAJTI q.

nA PRAKTIKE DLQ OTYSKANIQ q POLXZU@TSQ TABLICEJ 4 (SM. pRILO- VENIE). oPREDELIW PO TABLICE q I WY^ISLIW PO WYBORKE S ; POLU^AEM, W SOOTWETSTWII S (30), ISKOMYJ DOWERITELXNYJ INTERWAL

S (1 ; q) < < S (1 + q):

112