Teoria_veroyatnostey

w SLU^AE q > 1, DOWERITELXNYJ INTERWAL IMEET WID

0 < < S (1 + q):

pRIMER 11. kOLI^ESTWENNYJ PRIZNAK X GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI RASPREDELEN NORMALXNO. pO WYBORKE OB_EMA n = 25 NAJDENO "ISPRAW- LENNOE" SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE S = 0; 8: nAJTI DOWERI- TELXNYJ INTERWAL, POKRYWA@]IJ GENERALXNOE SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE S NADEVNOSTX@ 0; 95:

rE[ENIE. pO TABLICE 4 (SM. pRILOVENIE) PO DANNYM = 0; 95 I n = 25 NAJDEM q = 0; 32:

iSKOMYJ DOWERITELXNYJ INTERWAL TAKOW:

0; 8(1 ; 0; 32) < < 0; 8(1 + 0; 32);

ILI

0; 544 < < 1; 056:

3.6pROWERKA STATISTI^ESKIH GIPOTEZ

3.6.1sTATISTI^ESKIE GIPOTEZY

pUSTX X { IZU^AEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA, I PUSTX EE ZAKON RASPRE- DELENIQ NEIZWESTEN. pROIZWEDQ WYBORKU I POSTROIW GISTOGRAMMU, MOV- NO WYDWINUTX GIPOTEZU O ZAKONE (FUNKCII) RASPREDELENIQ IZU^AEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY, SRAWNIWAQ GISTOGRAMMU S GRAFIKAMI IZWESTNYH PLOTNOSTEJ WEROQTNOSTEJ.

~ASTO GIPOTEZU O ZAKONE RASPREDELENIQ WYDWIGA@T IZ SU]ESTWA ZA- DA^I, OPREDELQ@]EJ IZU^AEMU@ SLU^AJNU@ WELI^INU. tAK, NAPRIMER, O[IBKA IZMERITELXNYH USTROJSTW, KAK PRAWILO, RASPREDELENA PO NOR- MALXNOMU ZAKONU.

oPREDELENIE. sTATISTI^ESKOJ GIPOTEZOJ H NAZYWAETSQ PRED- POLOVENIE OTNOSITELXNO PARAMETROW ILI WIDA FUNKCII (ZAKONA) RAS- PREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X.

sTATISTI^ESKAQ GIPOTEZA NAZYWAETSQ PROSTOJ, ESLI ONA ODNO- ZNA^NO OPREDELQET RASPREDELENIE SLU^AJNOJ WELI^INY, ILI, ESLI OT- NOSITELXNO EE PARAMETROW ONA SODERVIT TOLXKO ODNO PREDPOLOVE- NIE. w PROTIWNOM SLU^AE ONA NAZYWAETSQ SLOVNOJ.

113

pRIMER 12. pROSTOJ GIPOTEZOJ QWLQETSQ PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO SLU^AJNAQ WELI^INA X RASPREDELENA PO NORMALXNOMU ZAKONU S MATEMA- TI^ESKIM OVIDANIEM a = 0 I SREDNEKWADRATI^ESKIM OTKLONENIE = 1. pRIMER 13. eSLI { PARAMETR POKAZATELXNOGO RASPREDELENIQ, TO GIPOTEZA: = 2 { PROSTAQ, A GIPOTEZA: > 3 { SLOVNAQ. oNA SOSTOIT IZ BES^ISLENNOGO MNOVESTWA PROSTYH GIPOTEZ Hi: = bi; GDE bi { L@BOE

^ISLO, BOLX[EE TREH.

oPREDELENIE. pROWERQEMAQ (WYDWINUTAQ) GIPOTEZA NAZYWAETSQ NULEWOJ GIPOTEZOJ I OBOZNA^AETSQ H0.

oPREDELENIE. kONKURIRU@]EJ (ALXTERNATIWNOJ) NAZYWA@T GI- POTEZU H1, KOTORAQ PROTIWORE^IT NULEWOJ.

wYBOR ALXTERNATIWNOJ GIPOTEZY OPREDELQETSQ IZ USLOWIJ RASSMAT- RIWAEMOJ ZADA^I.

pRIMER 14. pUSTX PROWERQETSQ GIPOTEZA O RAWENSTWE PARAMETRA Q NEKOTOROMU ZADANNOMU ZNA^ENI@ Q0; T. E. H0: Q = Q0: w KA^ESTWE ALX- TERNATIWNOJ GIPOTEZY MOVNO RASSMOTRETX ODNU IZ SLEDU@]IH GIPOTEZ:

H1 : Q < Q0; H2 : Q > Q0; H3 : Q 6= Q0; H4 : Q = Q1; GDE Q1 { ZADANNOE ZNA^ENIE, Q1 6= Q0.

3.6.2sTATISTI^ESKIE KRITERII DLQ PROWERKI GIPOTEZ. pO- STROENIE KRITI^ESKIH OBLASTEJ

dLQ PROWERKI NULEWOJ GIPOTEZY NA OSNOWANII WYBORO^NYH DANNYH ISPOLXZU@T SPECIALXNO PODOBRANNU@ SLU^AJNU@ WELI^INU K; TO^NOE ILI PRIBLIVENNOE RASPREDELENIE KOTOROJ IZWESTNO.

oPREDELENIE. wELI^INU K NAZYWA@T STATISTI^ESKIM KRITERI- EM.

sTATISTIKA \TOGO KRITERIQ (FUNKCIQ OT WYBORO^NYH ZNA^ENIJ) NAZYWAETSQ STATISTIKOJ Z KRITERIQ K.

nAPRIMER, PRI PROWERKE PROSTOJ GIPOTEZY H0: Q = Q0 W KA^ESTWE STATISTIKI KRITERIQ WYBIRA@T TU VE STATISTIKU, ^TO I DLQ OCENKI PARAMETRA Q, T.E. Q .

tAK VE KAK I PRI POSTROENII DOWERITELXNYH INTERWALOW WYBIRAET- SQ UROWENX ZNA^IMOSTI ; TAKOJ, ^TOBY WEROQTNOSTX RAWNAQ SOOTWET- STWOWALA PRAKTI^ESKOJ NEWOZMOVNOSTI MALOWEROQTNOGO SOBYTIQ.

pUSTX V { MNOVESTWO ZNA^ENIJ STATISTIKI Z I Vk V { PODMNO- VESTWO, TAKOE, ^TO P (Z Vk=H0) = ; T. E., ^TO USLOWNAQ WEROQTNOSTX

114

PRINADLEVNOSTI ZNA^ENIJ KRITERIQ PODMNOVESTWU Vk PRI USLOWII IS- TINNOSTI GIPOTEZY H0 RAWNQETSQ .

pUSTX zW { WYBORO^NOE ZNA^ENIE SATISTIKI Z, WY^ISLENNOE PO WY- BORKE. kRITERIJ PROWERKI GIPOTEZY FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRA- ZOM:

{ GIPOTEZA H0 OTKLONQETSQ, ESLI zW 2 Vk; { GIPOTEZA PRINIMAETSQ, ESLI zW 2 V n Vk:

oPREDELENIE. mNOVESTWO (OBLASTX) Vk NAZYWAETSQ KRITI^ESKOJ OBLASTX@.

tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO V RAZBIWAETSQ NA DWA NEPERESEKA@]IHSQ PODMNOVESTWA: MNOVESTWO Vk { KRITI^ESKAQ OBLASTX, MNOVESTWO V n Vk

{ OBLASTX PRINQTIQ GIPOTEZY.

pOLOVENIE KRITI^ESKOJ OBLASTI NA MNOVESTWE V ZAWISIT OT FORMU- LIROWKI ALXTERNATIWNOJ GIPOTEZY H1:

nAPRIMER, ESLI PROWERQETSQ GIPOTEZA H0 : Q = Q0, A ALXTERNATIW- NAQ GIPOTEZA H1 : Q > Q0 (Q < Q0); TO KRITI^ESKAQ OBLASTX RAZME- ]AETSQ NA PRAWOM (LEWOM) "HWOSTE" RASPREDELENIQ STATISTIKI Z, T. E. IMEET WID NERAWENSTWA Z > z1; (Z < z ), GDE z1; I z { KWANTILI RASPREDELENIQ Z PRI USLOWII, ^TO WERNA GIPOTEZA H0:

w \TOM SLU^AE KRITERIJ NAZYWAETSQ ODNOSTORONNIM, SOOTWETSTWENNO PRAWOSTORONNIM I LEWOSTORONNIM.

eSLI ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA H1 : Q 6= Q0; TO KRITI^ESKAQ OBLASTX RAZME]AETSQ NA OBOIH "HWOSTAH" RASPREDELENIQ Z; T. E. OPREDELQETSQ DWUMQ NERAWENSTWAMI Z < z =2 I Z > z1; =2; I W \TOM SLU^AE KRITERIJ NAZYWAETSQ DWUSTORONNIM.

rIS. 5

nA RIS. 5 POKAZANO RASPOLOVENIE KRITI^ESKOJ OBLASTI Vk DLQ RAZ- LI^NYH ALXTERNATIWNYH GIPOTEZ. zDESX f(z=H0) { PLOTNOSTX RASPREDE- LENIQ STATISTIKI Z KRITERIQ PRI USLOWII PRINQTIQ GIPOTEZY (P(Z

V n Vk) = 1 ; ).

115

tAKIM OBRAZOM, PROWERKA STATISTI^ESKOJ GIPOTEZY MOVET BYTX RAZ- BITA NA SLEDU@]IE \TAPY:

1)SFORMULIROWATX PROWERQEMU@ (H0) I ALXTERNATIWNU@ (H1) GIPO-

TEZY;

2)WYBRATX UROWENX ZNA^IMOSTI ;

3)WYBRATX STATISTIKU Z KRITERIQ DLQ PROWERKI GIPOTEZY H0;

4)OPREDELITX WYBORO^NOE RASPREDELENIE STATISTIKI Z PRI USLOWII, ^TO WERNA GIPOTEZA H0;

5)W ZAWISIMOSTI OT WYBRANNOJ ALXTERNATIWNOJ GIPOTEZY OPREDE-

LITX KRITI^ESKU@ OBLASTX Vk ODNIM IZ NERAWENSTW Z > z1; ; Z < z ILI SOWOKUPNOSTX@ NERAWENSTW Z > z1; =2 I Z < z =2;

6)PO WYBORKE WY^ISLITX zW;

7)PRINQTX STATISTI^ESKOE RE[ENIE:

ESLI xb 2 V; TO GIPOTEZA OTKLONQETSQ KAK NE SOGLASU@]AQSQ S RE- ZULXTATAMI NABL@DENIJ;

ESLI zb 2 V nVk; TO PRINQTX GIPOTEZU H0; T. E. S^ITATX, ^TO GIPOTEZA H0 NE PROTIWORE^IT REZULXTATAM NABL@DENIJ.

w REZULXTATE PROWERKI WYDWINUTOJ GIPOTEZY MOGUT BYTX DOPU]ENY O[IBKI DWUH TIPOW

1) O[IBKA PERWOGO RODA { OTWERGNUTA PRAWILXNAQ GIPOTEZA H0; KOGDA

P(Z 2 Vk=H0) = ;

2) O[IBKA WTOROGO RODA { PRINQTA NEPRAWILXNAQ GIPOTEZA (W DEJ- STWITELXNOSTI WERNA ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA), WEROQTNOSTX O[IBKI WTOROGO RODA MOVNO WY^ISLQTX (DLQ PROSTOJ ALXTERNATIWNOJ GIPO- TEZY H1) PO FORMULE

= P (Z 2 V n Vk=H1):

pRIMER 15. pO PASPORTNYM DANNYM AWTOMOBILXNOGO DWIGATELQ RASHOD TOPLIWA NA 100 KM PROBEGA SOSTAWLQET 10 L. w REZULXTATE IZME- NENIQ KONSTRUKCII DWIGATELQ OVIDAETSQ, ^TO RASHOD TOPLIWA UMENX- [ITSQ. dLQ PROWERKI PROWODQTSQ ISPYTANIQ. 25 SLU^AJNO OTOBRAN- NYH AWTOMOBILEJ S MODERNIZIROWANNYM DWIGATELEM, PRI^EM WYBORO^-

NOE SREDNEE RASHODOW TOPLIWA SOSTAWILO X = 9; 3L. pREDPOLOVIM, ^TO WYBORKA RASHODOW TOPLIWA POLU^ENA IZ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SO- WOKUPNOSTI SO SREDNIM m I DISPERSIEJ 2 = 42: iSPOLXZUQ KRITERIJ ZNA^IMOSTI, PROWERITX GIPOTEZU, UTWERVDA@]U@, ^TO IZMENENIE KON- STRUKCII DWIGATELQ NE POWLIQLO NA RASHOD TOPLIWA.

116

pROWERQETSQ GIPOTEZA O SREDNEM a NORMALXNO RASPREDELENNOJ GENE- RALXNOJ SOWOKUPNOSTI. pROWERKU GIPOTEZY PROWEDEM PO \TAPAM:

1. pROWERQEMAQ GIPOTEZA H0 : a = 10; ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA H1 : a < 10:

2. wYBEREM UROWENX ZNA^IMOSTI = 0; 05:

3. w KA^ESTWE STATISTIKI KRITERIQ ISPOLXZUEM OCENKU MATEMATI-

^ESKOGO OVIDANIQ { WYBORO^NOE SREDNEE X:

4. tAK KAK WYBORKA POLU^ENA IZ NORMALXNO RASPREDELENNOJ GENE- RALXNOJ SOWOKUPNOSTI, WYBORO^NOE SREDNEE TAKVE IMEET NORMALXNOE

RASPREDELENIE S DISPERSIEJ 2 = 4 : pRI USLOWII, ^TO WERNA GIPOTEZA n 25

H0, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE \TOGO RASPREDELENIQ RAWNO 10. nORMI-;

ROWANNAQ STATISTIKA KRITERIQ U = Xq4=2510 IMEET NORMALXNOE RASPRE-

DELENIE N(0; 1); a = 0; = 1:

5. aLXTERNATIWNAQ GIPOTEZA H1 : a < 10 PREDPOLAGAET UMENX[ENIE RASHODA TOPLIWA, SLEDOWATELXNO, NUVNO ISPOLXZOWATX ODNOSTORONNIJ KRITERIJ. kRITI^ESKAQ OBLASTX OPREDELQETSQ NERAWENSTWOM U < u :

u^ITYWAQ, ^TO
F (x) =	p12	Zx	e;x2=2dx =
;1

= 0; 5 + p1 Zx e;x2=2dx = 0; 5 + (x): 2 0

u0;05 NAHODIM PO TABLICE 2 (SM. pRILOVENIE) IZ URAWNENIQ

(u0;05) = 0; 05 ; 0; 5 = ;0; 45

ILI

(;u0;05) = 0; 45: u0;05 = ;1; 645:

6. wYBORO^NOE ZNA^ENIE NORMIROWANNOJ STATISTIKI KRITERIQ RAWNO

uW = 9; 3 ; 10 = ;1; 75: q4=25

7. sTATISTI^ESKOE RE[ENIE: TAK KAK WYBORO^NOE ZNA^ENIE STATISTI- KI KRITERIQ PRINADLEVIT KRITI^ESKOJ OBLASTI, GIPOTEZA H0 OTKLONQ- ETSQ: SLEDUET S^ITATX, ^TO IZMENENIE KONSTRUKCII DWIGATELQ PRIWELO K UMENX[ENI@ RASHODA TOPLIWA.

117

gRANICA Xk KRITI^ESKOJ OBLASTI DLQ ISHODNOJ STATISTIKI X KRI- TERIQ MOVET BYTX POLU^ENA IZ SOOTNO[ENIQ

OTKUDA POLU^AEM Xk

X < 9; 342:

;

Xk 10 = ;1; 645; q4=25

= 9; 342; T.E. KRITI^ESKAQ OBLASTX DLQ STATISTIKI

pRIMER 16. w USLOWIQH PRIMERA 12 PREDPOLOVIM, ^TO NARQDU S GIPOTEZOJ H0 : a = 10 L RASSMATRIWAETSQ ALXTERNATIWNAQ GIPOTEZA H1 : a = 9 L. w KA^ESTWE STATISTIKI KRITERIQ SNOWA WOZXMEM WYBORO^-

NOE SREDNEE X. pREDPOLOVIM, ^TO KRITI^ESKAQ OBLASTX ZADANA SLEDU-

@]IM NERAWENSTWOM: X < 9; 44 L. nAJTI WEROQTNOSTI O[IBOK PERWOGO I WTOROGO RODA DLQ KRITERIQ S TAKOJ KRITI^ESKOJ OBLASTX@.

rE[ENIE. nAJDEM WEROQTNOSTX O[IBKI PERWOGO RODA. sTATISTIKA

X KRITERIQ PRI USLOWII, ^TO WERNA GIPOTEZA H0 : a = 10 L IMEET

NORMALXNOE RASPREDELENIE N(10; q4=25): pO FORMULE

P (Z 2 Vk=H0) = ;

ISPOLXZUQ TABLICU 2 (SM. pRILOVENIE), NAHODIM

: a = 10] =

1

+ 0

9; 44

;

10

1 =

= P [X < 9; 44=H0

2

@

q4=25 A

1

1

; (1; 4) = 0; 5 ; 0; 4192 0; 08:

= 2

+ (;1; 4) = 2

|TO OZNA^AET, ^TO PRINQTYJ KRITERIJ KLASSIFICIRUET

8% AWTO-

MOBILEJ, IME@]IH RASHOD 10 L NA 100 KM PROBEGA, KAK AWTOMOBILI,

IME@]IE MENX[IJ RASHOD TOPLIWA.

pRI USLOWII, ^TO WERNA GIPOTEZA H1 : a = 9 L,

STATISTIKA X IMEET

NORMALXNOE RASPREDELENIE N(9; q4=25): wEROQTNOSTX O[IBKI WTOROGO

RODA PO FORMULE

RAWNA

= P (Z 2 V n Vk=H1)

00; 5 +

0

;

11 =

= P[X < 9; 44=H1 : a = 9] = 1

9; 44

9

;

@

@

AA

q4=25

= 0; 5 ; (1; 1) = 0; 5 ; 0; 3643

0; 136:

sLEDOWATELXNO, W SOOTWETSTWII S PRINQTYM KRITERIEM 13; 6% AWTOMO- BILEJ, IME@]IH RASHOD TOPLIWA 9 L NA 100 KM PROBEGA, KLASSIFICIRU- @TSQ KAK AWTOMOBILI, IME@]IE RASHOD 10 L.

118

KRITERIJ mIZESA:

3.6.3pROWERKA GIPOTEZ O WIDE FUNKCII RASPREDELENIQ. kRI- TERIJ 2-pIRSONA

pUSTX PROWERQETSQ GIPOTEZA O WIDE FUNKCII RASPREDELENIQ IZU^AE- MOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X. w \TOM SLU^AE ZA KRITERII PROWERKI GI- POTEZY BERUTSQ RAZLI^NYE MERY OTKLONENIQ \MPIRI^ESKOJ FUNKCII RASPREDELENIQ Fn(x) OT GIPOTETI^ESKOJ F (x):

nAPRIMER,

Z = max jFn(x) ; F(x)j { KRITERIJ kOLMOGOROWA

x

Z = +1(F (x) ; F (x))2g(x)dx; g(x) 0;

Z n

;1

+Z1g(x)dx < 1 {

;1

pODROBNO RASSMOTRIM KRITERIJ 2-pIRSONA.

pUSTX X { NEPRERYWNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA. rAZBIWAEM OBLASTX EE ZNA^ENIJ NA r NEPERESEKA@]IHSQ INTERWALOW 1; 2; : : : ; r. nk { KOLI- ^ESTWO \LEMENTOW WYBORKI PRINADLEVA]IH k-MU INTERWALU.

r

pk = P(X 2 k); k = 1; 2; : : : ; r; X nk = n

k=1

(DLQ WY^ISLENIQ pk ISPOLXZUETSQ GIPOTETI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELE- NIQ).

eSLI X { DISKRETNAQ WELI^INA, TO nk { ^ASTOTY, S KOTORYMI KAVDOE ZNA^ENIE WSTRE^AETSQ W WYBORKE. pk = P (X = xk); KOTOROE WY^ISLQETSQ

PO PREDPOLAGAEMOMU ZAKONU RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X. w

r

OBOIH SLU^AQH P pk = 1:

i=1

eSLI W FUNKCI@ (ZAKON) RASPREDELENIQ WHODQT l NEIZWESTNYH PA- RAMETROW, TO IH ZAMENQ@T OCENKAMI, KOTORYE POLU^A@TSQ, NAPRIMER, METODOM MAKSIMALXNOGO PRAWDOPODOBIQ, POSLE ^EGO WY^ISLQ@TSQ pk. zA MERU OTKLONENIQ (ZA KRITERIJ) BERETSQ SLU^AJNAQ WELI^INA

2 =	r	(nk ; npk)2	;	pk = 0:	(31)
	X	npk		6
	k=1

dOKAZANO, ^TO PRI n ! 1 NEZAWISIMO OT ZAKONA RASPREDELENIQ SLU- ^AJNOJ WELI^INY X; RASPREDELENIE WELI^INY 2 STREMITSQ K RASPREDE- LENI@ 2 ("hI-KWADRAT") S (r ; l ; 1)-STEPENQMI SWOBODY. nA PRAKTIKE

119

POLXZU@TSQ \TIM RASPREDELENIEM DLQ WELI^INY (31) (PRI FIKSIROWAN- NOM n) W SLU^AE npk > 10. eSLI W NEKOTORYH INTERWALAH \TO USLOWIE NE WYPOLNQETSQ, TO IH OB_EDINQ@T S SOSEDNIMI.

dALEE PO WYBORKE WY^ISLQETSQ 2W PO FORMULE (31) I PRINIMAETSQ STATISTI^ESKOE RE[ENIE: GIPOTEZA NE PROTIWORE^IT WYBORKE PRI ZA- DANNOM UROWNE ZNA^IMOSTI , ESLI 2W < 21; ; ESLI VE 21; 21; ; TO GIPOTEZA OTKLONQETSQ.

zDESX 21; { KWANTILX PORQDKA 1 ; RASPREDELENIQ 2 S (r ; l ; 1) STEPENQMI SWOBODY, KOTORYJ WY^ISLQETSQ PO TABLICE 6 (SM. pRILOVE- NIE).

oPREDELENIE. kWANTILEM t PORQDKA RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY X QWLQETSQ KORENX URAWNENIQ

P (X < t ) = F (t ) = :

pRIMER 17. pROWERKA GIPOTEZY O RASPREDELENII PO ZAKONU pUASSO- NA. w PERWYH DWUH STOLBCAH TABLICY 3.2 PRIWEDENY DANNYE OB OTKAZAH APPARATURY ZA 10000 ^ASOW RABOTY. oB]EE ^ISLO OBSLEDOWANNYH \KZEM- PLQROW APPARATURY n = 757; PRI \TOM NABL@DAETSQ

0 427 + 1 235 + 2 72 + 3 21 + 4 1 + 5 1 = 451

OTKAZ.

pROWERITX GIPOTEZU O TOM, ^TO ^ISLO OTKAZOW IMEET RASPREDELENIE pUASSONA:

		k
pk = P [X = k] = k! e;				; k = 0; 1; : : : ;	PRI	= 0; 05:
oCENKA PARAMETRA		RAWNA SREDNEMU ^ISLU OTKAZOW					: = 451=757

0; 6: pO TABLICE 5 (SM. pRILOVENIE) c = 0; 6 NAHODIM WEROQTNOSTI pk I OVIDAEMOE ^ISLO SLU^AEW S k OTKAZAMI (TRETIJ I ^ETWERTYJ STOLBCY TABLICY 3.2).

dLQ k = 4; 5 I 6 ZNA^ENIQ npk < 10; PO\TOMU OB_EDINQEM \TI STROKI SO STROKOJ DLQ k = 3: w REZULXTATE POLU^IM ZNA^ENIQ, PRIWED<NNYE W TABLICE 3.3.

120

= 5; 99;

t A B L I C A 3.2

~ISLO	kOLI^ESTWO SLU^AEW,												oVIDAEMOE ^ISLO
									0; 6k
OTKAZOW	W KOTORYH NABL@DA			-			pk =			e;	0;6	SLU^AEW S		k	OTKAZA	-
									k!
k	LOSX k OTKAZOW, nk												MI, npk
0	427							0,54881				416
1	235							0,32929				249
2	72							0,09879				75
3	21							0,01976				15
4	1							0,00296				2
5	1							0,00036				0
6	0							0,00004				0
sUMMA	757								{			{
t A B L I C A 3.3
		k	nk			npk		(nk ; npk)2
									npk
		0	427			416			0,291
		1	235			249			0,787
		2	72			75			0,120
		3	23			17			2,118
								W2 = 3; 316
		{	{			{

tAK KAK PO WYBORKE OCENIWALSQ ODIN PARAMETR ; TO l = 1; ^ISLO STEPENEJ SWOBODY RAWNO 4 ; 1 ; 1 = 2: pO TABLICE 6 (SM. pRILOVENIE) NAHODIM 20;95 TAK KAK 2W < 20;95; TO GIPOTEZA O RASPREDELENII ^ISLA OTKAZOW PO ZAKONU pUASSONA PRINIMAETSQ.

3.6.4wYBORO^NYJ KO\FFICIENT KORRELQCII. pROWERKA GIPO- TEZY O ZNA^IMOSTI KO\FFICIENTA KORRELQCII

rASSMOTRIM DWUMERNU@ SLU^AJNU@ WELI^INU (X; Y ) { SISTEMU IZ DWUH SLU^AJNYH WELI^IN X I Y:

dLQ WYQSNENIQ ZAWISIMOSTI ILI NEZAWISIMOSTI, KORRELIROWANNOSTI

ILI NEKORRELIROWANNOSTI WY^ISLQ@T KO\FFICIENT KORRELQCII r
r =	M((X ; M(X))(Y ; M(Y )))	=	M(XY ) ; M(X)M(Y )	:	(32)
	(X) (Y )		(X) (Y )

121

eSLI SLU^AJNYE WELI^INY NEZAWISIMY, TO IH KO\FFICIENT KORRE- LQCII RAWEN 0.

eSLI KO\FFICIENT KORRELQCII NE RAWEN 0, TO SLU^AJNYE WELI^INY ZAWISIMY I NAZYWA@TSQ KORRELIROWANNYMI.

eSLI KO\FFICIENT KORRELQCII RAWEN 0, TO SLU^AJNYE WELI^INY NA-

ZYWA@TSQ NEKORRELIROWANNYMI.

kO\FFICIENT KORRELQCII DWUH ZAWISIMYH WELI^IN MOVET BYTX NE RAWEN NUL@, A MOVET I RAWEN NUL@.

iZ NEKORRELIROWANNOSTI E]E NELXZQ ZAKL@^ITX O NEZAWISIMOSTI \TIH WELI^IN.

eSLI VE SLU^AJNYE WELI^INY X I Y RASPREDELENY PO NORMALXNOMU ZAKONU, TO IZ NEKORRELIROWANNOSTI WYTEKAET IH NEZAWISIMOSTX.

kO\FFICIENT KORRELQCII UDOWLETWORQET NERAWENSTWU

;1 r +1

I ESLI r = 1; TO Y I X cWQZANY LINEJNOJ FUNKCIONALXNOJ ZAWISI- MOSTX@.

pUSTX W REZULXTATE n NEZAWISIMYH \KSPERIMENTOW POLU^ENY n PAR

ZNA^ENIJ SLU^AJNYH WELI^IN X, Y : (x1; y1); (x2; y2); : : : ; (xn; yn): iSHODQ IZ OPREDELENIQ KO\FFICIENTA KORRELQCII (32) I POLU^ENNYH

TO^E^NYH OCENOK DLQ MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ I SREDNEKWADRATI^ES- KOGO OTKLONENIQ, PRIHODIM K WYBORO^NOMU KO\FFICIENTU KORRELQCII

	n
rW =	iP=1 xiyi! =n ; XY		:
		S (X)S (Y )

tAK KAK WYBORKA SLU^AJNA, TO WYBORO^NYJ KO\FFICIENT KORRELQ- CII QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ I MOVET SLUVITX TO^E^NOJ OCENKOJ KO\FFICIENTA KORRELQCII SLU^AJNYH WELI^IN X I Y

pUSTX WYBORO^NYJ KO\FFICIENT KORRELQCII, NAJDENNYJ PO WYBORKE NE RAWEN NUL@. qSNO, ^TO OTS@DA E]E NELXZQ ZAKL@^ITX, ^TO KO\FFI- CIENT KORRELQCII GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI TAKVE OTLI^EN OT NULQ. i SWQZI S \TIM PROWERQ@T GIPOTEZU O RAWENSTWE NUL@ KO\FFICIENTA KORRELQCII GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI { ZNA^IMOSTI (SU]ESTWENNOSTI)

WYBORO^NOGO KO\FFICIENTA KORRELQCII.

eSLI WYDWINUTAQ GIPOTEZA BUDET OTWERGNUTA, TO WYBORO^NYJ KO\F- FICIENT KORRELQCII ZNA^IM, A WELI^INY X I Y KORRELIROWANY. eSLI GIPOTEZA PRINQTA, TO WYBORO^NYJ KO\FFICIENT KORRELQCII NEZNA^IM, A WELI^INY X I Y NEKORRELIROWANY.

122