Teoria_veroyatnostey
.pdf
km n WYPOLNQETSQ RAWENSTWO
P (Ak1 Ak2 : : : Akm) = P(Ak1) P(Ak2) : : : P(Akm)
oPREDELENIE. sOBYTIQ A1, A2, ..., An NAZYWA@TSQ POPARNO NEZA- WISIMYMI, ESLI P(Ai Aj) = P(Ai) P (Aj), DLQ L@BYH i; j, 1 i < j n. pONQTIE NEZAWISIMOSTI SOBYTIJ NEDOSTATO^NO DLQ NEZAWISIMOSTI n
SOBYTIJ W SOWOKUPNOSTI. |TO POKAZYWAET SLEDU@]IJ PRIMER.
pRIMER bERN[TEJNA. nA PLOSKOSTX BROSAETSQ TETRA\DR, TRI GRA- NI KOTOROGO OKRA[ENY SOOTWETSTWENNO W KRASNYJ, SINIJ I ZELENYJ CWETA, A NA ^ETWERTU@ NANESENY WSE TRI CWETA. sOBYTIE R OZNA^AET, ^TO PRI BROSANII TETRA\DRA NA PLOSKOSTX WYPALA GRANX, SODERVA]AQ KRASNYJ CWET, SOBYTIE B - GRANX, SODERVA]AQ SINIJ CWET, SOBYTIE G - GRANX, SODERVA]AQ ZELENYJ CWET. tAK KAK KAVDYJ IZ TREH CWETOW
SODERVITSQ NA 2-H GRANQH, TO P (R) = P(B) = P(G) = 24 = 12. wERO- QTNOSTX PERESE^ENIQ L@BOJ PARY WWEDENNYH SOBYTIJ RAWNA 14 = 12 12,
TAK KAK ISKOMAQ PARA CWETOW ESTX TOLXKO NA ODNOJ GRANI. |TO OZNA^A- ET POPARNU@ NEZAWISIMOSTX WSEH TREH SOBYTIJ. nO P (R G B) = 14 6= P(R) P(B) P (G) = 18, TO ESTX NEZAWISIMOSTX W SOWOKUPNOSTI NET.
pRIMER 1. pUSTX IMEETSQ \LEKTRI^ESKAQ CEPX W WIDE:
iZWESTNO, ^TO \LEMENTY Ai (i = 1; 2; 3) WYHODQT IZ STROQ NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA S WEROQTNOSTX@ pi. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO CEPX WYJDET IZ STROQ.
Ai =fWYHOD IZ STROQ \LEMENTA Aig, TOGDA P(Ai) = pi. sOBYTIE A - CEPX WY[LA IZ STROQ, TOGDA A = A1 + (A2 A3). iSPOLXZUQ TEOREMY SLOVENIQ I UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ, A TAK VE USLOWIQ NEZAWISIMOSTI SOBYTIQ Ai, POLU^IM, ^TO
P(A) = P (A1) + P(A2 A3) ; P (A1 (A2 A3)) =
P (A1) + P (A2) P(A3) ; P (A1) P (A2) P(A3) = p1 + p2p3 ; p1p2p3
23
pRIMER 2. iZ URNY, SODERVA]EJ 3 BELYH I 2 ^ERNYH [ARA, SLU- ^AJNO BEZ WOZWRA]ENIQ POSLEDOWATELXNO IZWLEKA@TSQ [ARY. nAJTI WE- ROQTNOSTX TOGO, ^TO ^ERNYJ [AR WPERWYE POQWITSQ PRI TRETXEM ISPY- TANII.
rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE A - PRI TRETXEM ISPYTANII WPERWYE PO- QWILSQ ^ERNYJ [AR; SOBYTIE Bi - PRI i-OM ISPYTANII POQWITSQ ^ERNYJ [AR (i = 1; 2; 3). wYRAZIM SOBYTIE A ^EREZ SOBYTIQ
pO\TOMU PO TEOREME UMNOVENIQ POLU^IM
|
|
|
|
B3) = |
|
|
|
|
|
||
|
P(A) = P (B1 |
B2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
12 |
|
1 |
P (B1) P(B2=B1) P (B3 |
=(B1 |
B2)) = |
5 |
4 |
3 |
= |
60 |
= |
5 |
||
zADA^I
1.w DWUH URNAH NAHODQTSQ [ARY, OTLI^A@]IESQ TOLXKO CWETOM, PRI- ^EM W PERWOJ URNE 5 BELYH, 11 ^ERNYH I 8 KRASNYH [AROW, A WO WTOROJ SOOTWETSTWENNO 10, 8, 6. iZ KAVDOJ URNY NAUDA^U IZWLEKAETSQ PO ODNO- MU [ARU. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO OBA [ARA ODNOGO CWETA.
2.dWA SPORTSMENA NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA STRELQ@T PO ODNOJ MI- [ENI. wEROQTNOSTX POPADANIQ PERWOGO SPORTSMENA 0.7, A WTOROGO 0.8. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO MI[ENX BUDET PORAVENA.
3.wEROQTNOSTX POLOMKI PERWOGO STANKA W TE^ENIE SMENY RAWNA 0.2, WTROGO 0.13, TRETXEGO 0.09. ~EMU RAWNA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO STANKI POTREBUETSQ NALAVIWATX W TE^ENIE SMENY, ESLI IH POLOMKA PROIZOJDET NEZAWISIMO.
4.w TREH ZALAH KINOTEATRA IDUT TRI RAZLI^NYH FILXMA. wEROQT- NOSTX TOGO, ^TO NA OPREDELENNYJ ^AS W KASSE 1-GO ZALA ESTX BILETY RAWNA 0.3; W KASSE WTOROGO ZALA - 0.2; A W KASSE 3-GO ZALA - 0.4. kAKO- WA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO NA DANNYJ ^AS IMEETSQ WOZMOVNOSTX KUPITX
BILET HOTQ BY NA ODIN FILXM.
5.sKOLXKO NADO BROSITX IGRALXNYH KOSTEJ, ^TOBY S WEROQTNOSTX@ MENX[E 0.3, MOVNO BYLO OVIDATX, ^TO NI NA ODNOJ IZ WYPAW[IH GRANEJ NE POQWITSQ ^ISLO 6.
6.wEROQTNOSTX UNI^TOVENIQ CELI PRI ODNOM WYSTRELE RAWNA p. nAJ- TI ^ISLO WYSTRELOW n, NEOBHODIMYH DLQ PORAVENIQ CELI S WEROQTNOS- TX@, BOLX[EJ ILI RAWNOJ q.
7.iGROK A POO^EREDNO IGRAET S IGROKAMI B I C PO DWE PARTII. wEROQTNOSTX WYIGRY[A PERWYH PARTIJ DLQ B I C RAWNA 0.1 I 0.2 SOOT- WETSTWENNO, WEROQTNOSTX WYIGRATX WO WTOROJ PARTII DLQ B RAWNA 0.3,
24
DLQ C RAWNA 0.4. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO a) PERWYM WYIGRAET B; B) PERWYM WYIGRAET C.
8.dWOE POO^EREDNO BROSA@T MONETU, WYIGRYWAET TOT, U KOTOROGO RANX[E POQWITSQ OREL. kAKOWA WEROQTNOSTX WYIGRY[A DLQ KAVDOGO IZ IGROKOW.
9.dWA STRELKA POO^EREDNO STRELQ@T PO MI[ENI DO PERWOGO POPADA- NIQ. wEROQTNOSTX POPADANIQ DLQ PERWOGO STRELKA RAWNA 0.2, DLQ WTO- ROGO 0.3. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO PERWYJ STELOK SDELAET BOLX[E
WYSTRELOW ^EM WTOROJ.
kAKOWA WEROQTNOSTX ESLI IZWESTNA WEROQTNOSTX
a, P10.(B) = b, I P(A + B) =Pc.(A B), P(A) =
1.10 fORMULA POLNOJ WEROQTNOSTI. fORMULA bAJ- ESA
pUSTX A { NEKOTOROE SOBYTIE, KOTOROE MOVET PROIZOJTI S ODNIM IZ
SOBYTIJ H1, H2, ..., Hn, PRI^EM H1, H2, ..., Hn POPARNO NESOWMESTNYE |
|||||||||
SOBYTIQ, P (Hi) > 0 I i=1n |
P (Hi) = 1. |
|
|
|
|
||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
tEOREMA (FORMULA POLNOJ WEROQTNOSTI). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
P (A) = |
X |
P(Hi) |
P(A=Hi): |
|
|
||||
i=1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
n |
|
|
|
|
|
|
^TO |
A = iP=1(Hi |
||
dOKAZATELXSTWO iZ PRIWEDENNYH USLOWIJ SLEDUET |
|
||||||||
A). dALEE, SOBYTIQ A |
H1, |
A |
H2, ..., A Hn NESOWMESTNY, PO\TOMU |
||||||
ISPOLXZUQ TEOREMY SLOVENIQ I UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ, POLU^AEM, ^TO |
|||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
P(A) = |
X |
(Hi |
A) = |
X |
P (Hi) P(A=Hi): |
|
|
||
i=1 |
i=1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
tEOREMA DOKAZANA.
zAME^ANIE. sOBYTIQ H1, H2, ...,Hn ^ASTO NAZYWA@T GIPOTEZAMI.
pRIMER 1. iMEETSQ TRI ODINAKOWYH URNY, W PERWOJ URNE 2 BELYH I 1 ^ERNYJ [AR, WO WTOROJ - 3 BELYH I 1 ^ERNYJ [AR, W TRETXEJ - 2 BELYH I 2 ^ERNYH [ARA. nAUDA^U BEREM URNU I IZ NEE WYNIMAEM [AR. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO \TOT [AR BELYJ.
25
rE[ENIE. rASSMOTRIM TRI GIPOTEZY H1 { WZQTA PERWAQ URNA; H2 { WZQTA WTORAQ URNA; H3 { WZQTA TRETXQ URNA. sOBYTIE A { POQWLENIE BELOGO [ARA.
tAK KAK ISHODY PO USLOWI@ ZADA^I RAWNOWOZMOVNY, TO P (H1) = P(H2) = P (H3) = 13, USLOWNAQ WEROQTNOSTX A PRI \TIH ISHODAH SOOTWET-
STWENNO RAWNA P (A=H1) = 23; P(A=H2) = 34; P (A=H3) = 12. pO FORMULE POLNOJ WEROQTNOSTI NAHODIM, ^TO P(A) = 13 23 + 13 34 + 13 12 = 2336.
pRIMER 2. nEKOTORAQ DETALX PROIZWODITSQ NA DWUH ZAWODAH. iZ-
WESTNO, ^TO OB_EM PRODUKCII PERWOGO ZAWODA W n RAZ PREWY[AET OB_EM PRODUKCII WTOROGO ZAWODA. dOLQ BRAKA NA PERWOM ZAWODE p1, A NA WTO- ROM p2. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO NAUGAD WZQTAQ DETALX OKAVETSQ BRAKOWANOJ.
rE[ENIE. rASSMOTRIM ISHODY. H1 { WZQTA DETALX 1-GO ZAWODA; H2 {
WZQTA DETALX 2-GO ZAWODA. |
|
|
|
|
|
|
|
||
tOGDA P (H1) = |
n |
, P |
(H2) = |
1 |
, A USLOWNAQ WEROQTNOSTX P (A= |
||||
n + 1 |
n+1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1) = p1, P(A=H2) = p2. |
|
|
|
|
|
|
|
||
pO\TOMU P(A) = |
p1 n + |
|
p2 1 |
= |
1 |
(p1n + p2). |
|||
|
|
n + 1 |
|||||||
|
n + 1 |
|
n + 1 |
|
|
||||
mOVNO RE[ITX I OBRATNU@ ZADA^U: OPYT PROIZWEDEN I W EGO REZULX- |
|||||||||
TATE NABL@DALOSX POQWLENIE SOBYTIQ A, KAK TOGDA NADO OCENITX WERO- |
|||||||||
QTNOSTI GIPOTEZ Hi, i = 1; 2; : : : ; n, W SWQZI S POQWLENIEM \TOGO SOBYTIQ A? zNA^IT, NADO NAJTI USLOWNYE WEROQTNOSTI P (Hi=A), i = 1; 2; : : : ; n. iZ TEOREMY UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ IMEEM, ^TO
P(A Hi) = P (A) P(Hi=A) = P(Hi) P(A=Hi);
SLEDUET |
|
|
|
|
|
P(Hi=A) = |
P(Hi) P(A=Hi): |
||||
|
|
|
|
P (A) |
|
wYRAZIM P(A) S POMO]X@ FORMULY POLNOJ WEROQTNOSTI, TOGDA |
|||||
P(Hi=A) = |
nP(Hi) |
P(A=Hi) |
; i = 1; 2; : : : ; n: |
||
|
j=1 |
P (Hj) P(A=Hj) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|TA FORMULA NOSIT NAZWANIE FORMULY bAJESA. |
|||||
pRIMER 3. dWA STRELKA NEZAWISIMO ODIN OT DRUGOGO STRELQ@T NA ODNOJ LINII, DELAQ PO ODNOMU WYSTRELU. wEROQTNOSTX POPADANIQ W MI- [ENX DLQ PERWOGO STRELKA 0.8; DLQ WTOROGO | 0.4. pOSLE STRELXBY W
26
MI[ENE OBNARUVENA ODNA PULQ. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO \TA PULQ PRINADLEVIT PERWOMU STRELKU.
rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE a | W MI[ENX POPALA ODNA PULQ. dO OPY-
TA WOZMOVNY SLEDU@]UE GIPOTEZY. |
|
|
|
|
|
|
||||
P(H1) | NI PERWYJ, NI WTOROJ STRELOK NE POPADAET. |
|
|
|
|||||||
P(H2) | OBA STRELKA POPADA@T. |
|
|
|
|
|
|
||||
P(H3) | PERWYJ STRELOK POPADAET, A WTOROJ NET. |
|
|
|
|||||||
P(H4) | WTOROJ STRELOK POPADAET, A PERWYJ NET. |
|
|
|
|||||||
wEROQTNOSTI \TIH GIPOTEZ: |
|
|
|
|
|
|
||||
P(H1) = 0:1 |
|
0:6 = 0:12; P (H2) = 0:8 |
0:6 = 0:48; |
|
|
|
|
|||
P(H3) = 0:8 |
|
0:4 = 0:32; P (H4) = 0:2 |
0:4 = 0:08; |
|
|
|
|
|||
uSLOWNYE WEROQTNOSTI NABL@DAEMOGO SOBYTIQ PRI \TIH GIPOTEZAH RAW- |
||||||||||
NY P (A=H1) = 0; P (A=H2) = 0; P (A=H3) = 1; P (A=H4) = 1. pOSLE OPY- |
||||||||||
TA, WEROQTNOSTI GIPOTEZ Hi BUDUT RAWNY: |
|
|
|
|
|
|||||
P(A=H1) = 0; P(A=H2) = 0; P(A=H3) = |
0:48 1 |
|
= |
6 |
; P (A=H4) = |
|||||
|
|
|||||||||
0:08 1 |
= |
1 |
. |
|
0:98 1+0:08 1 |
|
7 |
|||
0:48 1+0:08 1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
zNA^IT, WEROQTNOSTX TOGO, ^TO PULQ PRINADLEVIT PERWOMU STRELKU, RAWNA 5/7.
zADA^I
1.w KOROBKE ESTX 3 NOWYH I 3 UVE ISPOLXZOWANNYH TENNISNYH MQ^A. dLQ PERWOJ IGRY NAUDA^U BERUT IZ KOROBKI 2 MQ^A, A ZATEM WOZWRA]A@T IH NAZAD. kAKOWA WEROQTNOSTX DLQ WTOROJ IGRY IZ \TOJ KOROBKI NAUDA^U WYNUTX 2 NOWYH MQ^A.
2.w URNU, SODERVA]U@ 4 [ARA, OPU]EN BELYJ [AR, POSLE ^EGO IZ NEE NAUDA^U IZWLE^EN ODIN [AR. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO IZWLE- ^ENNYJ [AR OKAVETSQ BELYM, ESLI RAWNOWOZMOVNY WSE PREDPOLOVENIQ O PERWONA^ALXNOM SOSTAWE [AROW PO CWETU.
3.w PIRAMIDE 5 WINTOWOK, 3 IZ KOTORYH SNABVENY OPTI^ESKIM PRI- CELOM. wEROQTNOSTX TOGO, ^TO STRELOK PORAZIT MI[ENX PRI WYSTRELE IZ WINTOWKI S OPTI^ESKIM PRICELOM, RAWNA 0.35, DLQ WINTOWKI BEZ OP- TI^ESKOGO PRICELA \TA WEROQTNOSTX RAWNA 0.7. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO MI[ENX BUDET PORAVENA, ESLI STRELOK PROIZWEL ODIN WYSTREL IZ NAUGAD WZQTOJ WINTOWKI.
4.wEROQTNOSTX POSTUPLENIQ K WYZOWOW NA TELEFONNU@ STANCI@ ZA PROMEVUTOK WREMENI t RAWNA Pt(K). s^ITAQ ^ISLO WYZOWOW ZA L@BYE DWA SOSEDNIH PROMEVUTKA WREMENI NEZAWISIMYMI, OPREDELITX WEROQTNOSTX P2t(K) POSTUPLENIQ K WYZOWOW ZA PROMEVUTOK WREMENI 2t.
27
5. dWA STANKA PROIZWODQ ODINAKOWYE DETALI, KOTORYE POSTUPA@T NA OB]IJ KONWEJER. pROIZWODITELXNOSTX PERWOGO STANKA WDWOE BOLX- [E PROIZWODITELXNOSTI WTOROGO. pERWYJ STANOK PROIZWODIT W SREDNEM 60% DETALEJ OTLI^NOGO KA^ESTWA, A WTOROJ - 84%. nAUDA^U WZQTAQ S KON- WEJERA DETALX OKAZALASX OTLI^NOGO KA^ESTWA. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO \TA DETALX PROIZWEDENA NA PERWOM STANKE.
6.~ISLO GRUZOWYH AWTOMA[IN, PROEZVA@]IH PO [OSSE, NA KOTOROM STOIT BENZOKOLONKA, OTNOSITSQ K ^ISLU LEGKOWYH MA[IN, PROEZVA@]IH PO TOMU VE [OSSE KAK 3:2. wEROQTNOSTX TOGO, ^TO BUDET ZAPRAWLQTXSQ GRUZOWAQ MA[INA, RAWNA 0.1; DLQ LEGKOWOJ MA[INY \TA WEROQTNOSTX RAWNA 0.15. k BENZOKOLONKE POD_EHALA MA[INA DLQ ZAPRAWKI. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO \TO GRUZOWAQ MA[INA.
7.bATAREQ IZ 3-H ORUDIJ PROIZWELA ZALP, PRI^EM 2 SNARQDA POPALI W CELX. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO PERWOE ORUDIE DALO POPADANIE, ESLI WEROQTNOSTI POPADANIQ W CELX PERWYM, WTORYM I TRETXIM ORUDIEM SOOTWETSTWENNO RAWNY 0.4 ; 0.3; 0.5.
1.11 pOSLEDOWATELXNYE NEZAWISIMYE ISPYTANIQ (SHEMA bERNULLI)
pUSTX PROWODQTSQ n POSLEDOWATELXNYH NEZAWISIMYH ODINAKOWYH STO- HASTI^ESKIH \KSPERIMENTOW (ISPYTANIJ), W KAVDOM IZ KOTORYH MOVET NASTUPITX ILI NE NASTUPITX SOBYTIE A. pOD NEZAWISIMYMI PONIMA@T- SQ TAKIE \KSPERIMENTY, W KOTORYH SOBYTIQ, WOZNIKA@]IE W REZULXTATE \KSPERIMENTOW, QWLQ@TSQ NEZAWISIMYMI W SOWOKUPNOSTI. tAK KAK ISPY- TANIQ ODINAKOWY, TO W L@BOM IZ NIH SOBYTIE A NASTUPAET S ODINAKOWOJ
WEROQTNOSTX@, OBOZNA^IM EE p = P(A). wEROQTNOSTX PROTIWOPOLOVNOGO |
|
|
|
SOBYTIQ A (NENASTUPLENIQ A) OBOZNA^IM q = P (A) = 1 ; p. nASTUPLE- NIE SOBYTIQ A OBY^NO NAZYWA@T USPEHOM, A NENASTUPLENIE - NEUSPEHOM (NEUDA^EJ). tREBUETSQ NAJTI WEROQTNOSTX Pn;m TOGO, ^TO SOBYTIE A W TAKIH n OPYTAH POQWITSQ m RAZ.
SOSTOQ]EE W TOM, ^TO SOBYTIE A POQWITSQ W n OPYTAH ROWNO m RAZ. |TO SOBYTIE MOVET OSU- ]ESTWITXSQ RAZLI^NYMI SPOSOBAMI. rAZLOVIM SOBYTIE Bm NA OB_EDI- NENIE PERESE^ENIJ SOBYTIJ, SOSTOQ]IH W POQWLENII ILI NEPOQWLENII
28
SOBYTIQ A W OTDELXNOM OPYTE. bUDEM OBOZNA^ATX Ai POQWLENIE SOBYTIQ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A W i-M OPYTE. kAVDYJ WA- |
||||||||||||||
A W i-M OPYTE, Ai | NEPOQWLENIE SOBYTIQ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Bm |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
n;m |
|||
RIANT SOBYTIQ |
|
|
DOLVEN SOSTOQTX IZ |
|
POQWLENIJ SOBYTIQ |
|
I |
|
||||||||||||||||||||
NEPOQWLENIJ, TO ESTX A, S RAZLI^NYMI INDEKSAMI. |
tAKIM OBRAZOM, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
: : : Am |
Am+1 |
: : : |
An + A1 |
A2 |
A3 |
: : : |
An |
1 |
An + : : : + |
|||||||||||||||||||
Bm = A1 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A1 A2 : : : |
An;m An;m+1 |
: : : An, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
PRI^EM W KAVDOE PERESE^ENIE SOBYTIE A DOLVNO WHODITX m RAZ, A A |
||||||||||||||||||||||||||||
DOLVNO WHODITX n ; m RAZ. ~ISLO WSEH KOMBINACIJ TAKOGO RODA RAWNO |
||||||||||||||||||||||||||||
Cnm, TO ESTX ^ISLU SPOSOBOW, KAKIMI MOVNO IZ n OPYTOW WYBRATX m, W KOTORYH PROIZO[LO SOBYTIE A. wEROQTNOSTX KAVDOJ TAKOJ KOMBINACII PO TEOREME UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ RAWNA pmqn;m. tAK KAK KOMBINA- CII MEVDU SOBOJ NESOWMESTNY, TO PO TEOREME SLOVENIQ WEROQTNOSTEJ,
WEROQTNOSTX SOBYTIQ Bm RAWNA |
|
|
||||
Pn;m = P(Bm) = pmqn;m + : : : + pmqn;m = Cmpmqn;m. |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
| |
Cm |
} |
|
|||
|
n |
|
||||
|
{z |
|
||||
tEOREMA DOKAZANA. |
|
|
|
|
|
|
fORMULA Pn;m = Cnmpmqn;m NAZYWAETSQ FORMULOJ bERNULLI. sLEDSTWIE. pUSTX Pn(m1; m2) | WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SOBYTIE
A PROIZO[LO NE MENEE m1 I NE BOLEE m2 RAZ W ISPYTANIQH. tOGDA |
|||||||||||||||
Pn(m1; m2) = |
|
m2 Cnkpkqn;k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
;m1 |
|
|
|
|
P (m ; m |
) = P(B |
m1 |
+ B |
m1 |
+1 |
+ : : : + B |
m2 |
) = |
X |
P(B |
m1 |
+k |
) = |
||
n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k=0
m2
X Cnkpkqn;k; k=m1
TAK KAK SOBYTIQ Bm1 ; Bm1+1; : : : ; Bm2 NEZAWISIMY.
pRIMER 1. iGRALXNAQ KOSTX BROSAETSQ 3 RAZA. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ^ISLO "5" WYPALO, WYPALO 2 RAZA.
rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE A | WYPADENIQ ^ISLA "5", PRI ODNOM
BROSANII KOSTI, TOGDA P (A) = 1=6. zDESX PROIZWODITSQ 3 NEZAWISI- |
||||||
MYH ISPYTANIQ, NUVNO, ^TOBY "USPEH" OSU]ESTWLQLSQ 2 RAZA, PO\TOMU |
||||||
2 |
12 |
|
5 |
|
5 |
|
P3;2 = C3 |
6 |
6 |
= 72. |
|||
pRIMER 2. sISTEMA RADIOLOKACIONNYH STANCIJ WEDET NABL@DENIE ZA GRUPPOJ OB_EKTOW, SOSTOQ]EJ IZ 10 EDINIC. kAVDYJ IZ OB_EKTOW MOVET BYTX (NEZAWISIMO OT DRUGIH) POTERQN S WEROQTNOSTX@ 0.1. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO HOTQ BY ODIN IZ OB_EKTOW BUDET POTERQN.
29
rE[ENIE. wEROQTNOSTX POTERI HOTQ BY ODNOGO OB_EKTA P10(1; 10) MOVNO BYLO NAJTI PO FORMULE P10(1; 10) = P10;1 + P10;2 + : : : + P10;10, NO PRO]E WOSPOLXZOWATXSQ WEROQTNOSTX@ PROTIWOPOLOVNOGO SOBYTIQ { NI ODIN OB_EKT NE POTERQN, TOGDA P10(1; 10) = 1 ; P10;0 = 1 ; 0:9 0:65
zADA^I
1.wEROQTNOSTX POPADANIQ W CELX PRI KAVDOM WYSTRELE IZ LUKA RAW- NA 13. pROIZWODITSQ 6 WYSTRELOW. kAKOWA WEROQTNOSTX: A) ROWNO TREH POPADANIJ, B) NE MENEE DWUH POPADANIJ.
2.w SEMXE 10 DETEJ. s^ITAQ WEROQTNOSTI ROVDENIQ MALX^IKA I DE- WO^KI RAWNYMI 12, NAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO W DANNOJ SEMXE RAWNOE KOLI^ESTWO MALX^IKOW I DEWO^EK.
3.w POME]ENII 4 LAMPY. wEROQTNOSTX RABOTY W TE^ENII GODA DLQ KAVDOJ LAMPY 0.8. nAJTI WEROQTNOSTX, ^TO K KONCU GODA GORQT 3 LAMPY.
4.dWA BASKETBOLISTA DELA@T PO 3 BROSKA W KORZINU. wEROQTNOSTX PO- PADANIQ MQ^A PRI KAVDOM BROSKE RAWNA SOOTWETSTWENNO 0.6 I 0.7. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO U OBOIH BUDET RAWNOE KOLI^ESTWO POPADANIJ.
5.w 1693G. dVONOM sMITOM BYL POSTAWLEN SLEDU@]IJ WOPROS: ODI- NAKOWY LI [ANSY NA USPEH U TREH ^ELOWEK, ESLI PERWOMU NADO POLU^ITX HOTQ BY ODNU [ESTERKU PRI BROSANII IGRALXNOJ KOSTI 6 RAZ, WTOROMU
-NE MENEE 2-H [ESTEROK PRI 12 BROSANIQH, A TRETXEMU | NE MENEE 3-H [ESTEROK PRI 18 BROSANIQH.
1.12pREDELXNYE TEOREMY DLQ SHEMY bERNULLI
pRODOLVIM RASSMATRIWATX POSLEDOWATELXNYE NEZAWISIMYE ISPYTA- NIQ. w PREDYDU]EM PARAGRAFE BYLA POLU^ENA FORMULA bERNULLI DLQ NAHOVDENIQ WEROQTNOSTI Pn;m. nO W SLU^AE, KOGDA ^ISLO ISPYTANIJ n WELIKO, TO PRIMENQTX \TU FORMULU NEUDOBNO.
dLQ BOLX[IH n WEROQTNOSTX p UMENX[AETSQ OBRATNO PRORCIONALXNO n, TO ESTX \TO OZNA^AET, ^TO n p , GDE | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.
tEOREMA (pUASSONA). pREDPOLOVIM, ^TO PRIZWEDENIE n p QW- LQETSQ POSTOQNNOJ WELI^INOJ, KOGDA n NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET. oBOZNA^IM = n p. tOGDA DLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO
lim Pn;m = m e; :
n!1 m!
dOKAZATELXSTWO. pO FORMULE bERNULLI
30
|
|
Pn;m = Cnmpmqn;m = |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n;m |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
(n |
; |
m)! n! |
|
|
; n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
n(n ; 1) : : : (n ; m + 1) n!m |
|
1 ; n!n;m = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= m |
1 |
|
|
! |
n 1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
: : : 1 |
; |
m |
; 1 |
! |
1 |
|
! |
;m: |
|
|||||||||||||
|
|
m! |
|
|
; n |
|
; n! |
|
; n! |
|
|
|
|
|
|
n |
|
; n |
|
|
||||||||||||||||
|
|
tAK KAK DLQ L@BOGO FIKSIROWANNOGO m IMEET MESTO SHODIMOSTX 1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
;! 1 PRI n |
;! 1, TO Pn;m |
|
m |
1 |
; |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
m! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
pO WTOROMU ZAME^ATELXNOMU PREDELU lim |
|
1 |
; n |
= e; |
, POLU^AEM, |
|||||||||||||||||||||||||||||
^TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Pn;m = |
m |
e; |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tEOREMA DOKAZANA.
pRIMER 1. rADIOAPPARATURA SOSTOIT IZ 2000 \LEMENTOW. wEROQT- NOSTX OTKAZA ODNOGO \LEMENTA W TE^ENII GODA RAWNA 0.001. nAJTI WERO- QTNOSTX OTKAZA: A) DWUH \LEMENTOW ZA GOD, B) NE MENEE DWUH \LEMENTOW ZA GOD.
rE[ENIE. A) rABOTA KAVDOGO \LEMENTA RASSMATRIWA@T KAK OTDELX- NOE ISPYTANIE. pUSTX SOBYTIE A | OTKAZ \LEMENTA ZA GOD. pO USLOWI@:
p = P (A) = 0:001; = np = 2000 0:001 = 2. tOGDA PO FORMULE pUASSONA
1 ; 2!2 e;2 = 2e;2 0:2707.
B) zDESX NUVNO NAJTI P2000(2; 2000) = 1;P2000;0 ;P2000;1
21!1 e;2 = 1 ; 3e;2 0:594.
rASSMOTRIM E]E ODNU PRIBLIVENNU@ FORMULU DLQ KOGDA n WELIKO. nO PRI \TOM I ^ISLO m TOVE RASTET S ROSTOM n, TOLXKO NEIZ- MENNOJ OSTAETSQ WEROQTNOSTX P(A) = p.
tEOREMA (LOKALXNAQ PREDELXNAQ | mUAWRA-lAPLASA). pUSTX
pnpq |
! 1 |
|
! 1 |
|
||
xn = m |
; n I PRI n |
|
; m |
|
WELI^INY xn OGRANI^ENY. tOGDA |
|
|
|
|
|
|||
p 1 x2
npqP p e; n
n;m 
2
2
dOKAZATELXSTWO TEOREMY NE PRIWODIM, MOVNO NAJTI W [2].
31
1 ;x2 zAME^ANIE. dLQ ZNA^ENIJ FUNKCII '(x) = p2 e 2 SOSTAWLENA
TABLICA. fUNKCIQ '(x) QWLQETSQ ^ETNOJ, TO ESTX '(x) = '(;x).
pRIMER 2. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO PRI 150 WYSTRELAH MI[ENX BUDET PORAVENA ROWNO 70 RAZ, ESLI WEROQTNOSTX POPADANIQ PRI ODNOM WYSTRELE RAWNA 0.4.
rE[ENIE. pUSTX SOBYTI A | POPADANIE PRI ODNOM WYSTRELE p =
P(A) = 0:4, |
TOGDA q |
= 1 ; p = 0:6. tOGDA PO TEOREME mUAWRA-lAPLASA |
|||||||||||||
70 |
150 |
0:4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
xn = p150; |
|
0:4 |
|
|
|
|
1; 67, I P150;70 p |
|
|
|
|
|
'(1:67) 0:0165, |
||
|
|
0:6 |
150 |
|
0:4 |
|
0:6 |
||||||||
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
e; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
GDE '(x) = |
p |
|
2 |
| ZNA^ENIE \TOJ FUNKCII |
SWEDENY W TABLICU 1 |
||||||||||
2 |
|||||||||||||||
(SM. pRILOVENIE), PO\TOMU, ZNAQ ZNA^ENIE ARGUMENTA, NAHODIM ZNA^E- NIE '(x).
dLQ WEROQTNOSTI Pn(m1; m2) TOGO, ^TO SOBYTIE A NASTUPILO NE MENEE m1 I NE BOLEE m2 RAZ W n ISPYTANIQH, KOGDA n WELIKO TOVE IMEETSQ PRIBLIVENNAQ FORMULA.
tEOREMA (INTEGRALXNAQ PREDELXNAQ |mUAWRA-lAPLASA). pUSTX |
||||||||||||||||
an = m1 |
; np |
; bn = m1 |
; np, I PRI n |
! 1 |
; m1 |
! 1 |
; m2 |
! 1 |
WELI^INY |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
pnpq |
pnpq |
|
|
|
|
|
||||||||||
an I bn OGRANI^ENY. tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
bn |
|
x2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Pn(m1; m2) p |
Z |
|
e; |
dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO TEOREMY NE PRIWODIM, MOVNO NAJTI W [2].
|
|
1 |
x |
|
z2 |
|
|
zAME^ANIE. dLQ ZNA^ENIJ FUNKCII (x) = |
p |
Z |
e; |
dz SOSTAWLE- |
|||
2 |
|||||||
2 |
0
NA TABLICA 2 (SM. pRILOVENIE). fUNKCIQ (x) QWLQETSQ NE^ETNOJ, TO ESTX ; (x) = (;x). tOGDA Pn(m1; m2) = (bn) ; (an)
pRIMER 3.
wEROQTNOSTX IZDELI@ NEKOTOROGO PROIZWODSTWA OKAZATXSQ BRAKOWAN- NYM RAWNA 0.005. ~EMU RAWNA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO IZ 10000 NAUDA^U WZQTYH IZDELIJ BRAKOWANNYH OKAZYWAETSQ NE BOLEE 70.
rE[ENIE. pO INTEGRALXNOJ TEOREME mUAWRA-lAPLASA ^TOBY NAJTI
WEROQTNOSTX P10000(0; 70), NUVNO ZNATX an I bn, pODS^ITAEM SNA^ALA IH ZNA^ENIQ:
32