Teoria_veroyatnostey

4.

= 2; = 3; f(x) = 8 a; x

2

[1; 4];

:

26

[1; 4]:

< 0; x

5.

a cos x;

x

[

;

];

2

= 0; = ; f(x) = 8

2 ;

2

4

:

x

26

[

;

2

; 2 ]:

< 0;

6.

1; =

1; f(x) = 8 ax2 + 1; x 2

[0; 1];

=

4

2

:

x

26

< 0;

[0; 1]:

7.

1

ax + 2; x

[0;

1

];

3

= 0; = ; f(x) = 8

2

1

6

:

x

26

[0; 3]:

< 0;

8.

= 2; = 2; 5; f(x) = 8 ax2; x 2

[2; 3];

:

x

26

[2; 3]:

< 0;

9.

= 2; = 3; f(x) = 8 a; x

2

[2; 6];

:

26

[2; 6]:

< 0; x

10.

= 2; = 2; 5; f(x) = 8 a(x

; 2); x 2 [2; 3];

:

x

26

[2; 3]:

< 0;

11.

= 4; = 4; 5; f(x) = 8 a(x

; 4); x 2 [4; 5];

:

x

62

[4; 5]:

< 0;

12.

; f(x) = 8

a cos x;

x

2

[0;

];

= 0; =

6

12

:

x

62

[0; 6 ]:

< 0;

13.

= 2; = 2; 5; f(x) = 8 a; x 2

[2; 3];

:

26

[2; 3]:

< 0; x

83

14.

1; f(x) = 8 ax2; x 2

[0; 1];

= 0; =

2

:

x

26

[0; 1]:

< 0;

15.

a sin

x

;

x

[0;

3

];

= 0; = ; f(x) = 8

3

2

2

3

2

:

x

26

[0;

2 ]:

< 0;

16.

1

; f(x) = 8

ax + 2; x

2

[0;

1

];

= 0; =

3

1

6

:

x

26

[0; 3]:

< 0;

17.

; f(x) = 8

a sin x;

x

2

[0;

];

= 0; =

2

4

:

x

26

[0; 2 ]:

< 0;

18.

a

= a; = a

; f(x) = 8 p

a2;x2

;

jxj < a;

;2

2

:

j

j

a:

< 0;

x

19.

= 2; = 2; 5; f(x) = 8 a(x

;

2); x 2 [2; 3];

:

x

62

[2; 3]:

< 0;

20.

1; f(x) = 8 ax;

x 2

[0; 1];

= 0; =

2

:

x

26

[0; 1]:

< 0;

21.

= 0; = 2; f(x) = 8 a(3x ; x2); x 2 [0; 3];

:

x

26

[0; 3]:

< 0;

22.

= 0; = 1; 5; f(x) = 8 a(x

;

1); x 2 [1; 2];

:

x

26

[1; 2]:

< 0;

23.

; f(x) = 8

a cos x;

x

2

[0;

];

= 0; =

2

4

:

x

26

[0; 2 ]:

< 0;

84

24.

; f(x) = 8

a sin 3x;

x

2

[0;

];

= 0; =

3

6

:

x

26

[0; 3 ]:

< 0;

25.

; f(x) = 8

a sin 2x;

x

2

[0;

];

= 0; =

4

6

:

x

26

[0; 4 ]:

< 0;

26.

= 0; = 1; f(x) = 8 ax;

x

2

[0; 2];

:

x

26

[0; 2]:

< 0;

27.

= 1; = 2; f(x) = 8 ax2; x

2

[;2; 2];

:

x

26

[

;

2; 2]:

< 0;

28.

= 1; = 1; f(x) = 8 ax4; x 2

[;3; 3];

;

:

x

26

[

;

3; 3]:

< 0;

29.

= 1; = 3; f(x) = 8 a(x + 4); x 2

[;3; 3];

:

x

26

[

;

3; 3]:

< 0;

30.

= 0; = 1; f(x) = 8 a(x + 3); x

2

[;2; 2];

< 0;

x 26 [;2; 2]:

zADA^A 9.

:

zAWOD WYPUSKAET DETALI, STANDARTNAQ DLINA KOTORYH a MM. rAS- SMOTRIM DLINU DETALI KAK SLU^AJNU@ WELI^INU X, RASPREDEL<NNU@ PO NORMALXNOMU ZAKONU SO SREDNIM KWARDATI^ESKIM OTKLONENIEM I MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM , OPREDELITX: 1) WEROQTNOSTX TOGO, ^TO DLINA NAUDA^U WYBRANNOJ DETALI BUDET BOLX[E ILI I MENX[E ; 2) WEROQTNOSTX OTKLONENIQ DLINY DETALI OT STANDARTNOGO RAZMERA A BO- LEE ^EM MM.

1.a = 25, = 1; = 0; = 0; = 3

2.a = 30, = 3; = 0; = 5; = 2

3.a = 25, = 2; = 5; = 15; = 2

4.a = 15, = 2; = 7; = 9; = 3

85

5.a = 20, = 1; = 5; = 10; = 2

6.a = 18, = 2; = 10; = 24; = 2

7.a = 36, = 4; = 28; = 42; = 3

8.a = 64, = 8; = 60; = 70; = 5

9.a = 18, = 2; = 12; = 27; = 1:5

10.a = 26, = 2; = 20; = 30; = 2

11.a = 48, = 4; = 32; = 52; = 4

12.a = 27, = 3; = 20; = 35; = 2:5

13.a = 65, = 8; = 30; = 70; = 4

14.a = 28, = 1; = 20; = 32; = 3

15.a = 46, = 3:5; = 35; = 55; = 3

16.a = 55, = 6; = 40; = 60; = 3:6

17.a = 12, = 6; = 4; = 15; = 1:2

18.a = 14, = 8; = 6; = 17; = 2

19.a = 10, = 4; = 2; = 15; = 1:5

20.a = 25, = 2; = 20; = 27; = 1

21.a = 40, = 3; = 34; = 43; = 1:5

22.a = 45, = 5; = 40; = 48; = 3

23.a = 35, = 4; = 27; = 37; = 2

24.a = 10, = 2; = 8; = 16; = 0:5

25.a = 30, = 3; = 24; = 33; = 1:5

26.a = 48, = 4; = 45; = 56; = 3

27.a = 60, = 5; = 54; = 70; = 8

28.a = 36, = 4; = 30; = 40; = 2

29.a = 20, = 3; = 17; = 26; = 1:5

30.a = 50, = 5; = 45; = 52; = 3

zADA^A 10.

zADANA DISKRETNAQ DWUMERNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA = (; ). nAJTI

KO\FFICIENT KORRELQCII r.
	n	0.2	0.6	0.9		n	2	4	5
1)
	2	0.1	0.32	0.12	2)	1.0	0.25	0.17	0.13
	4	0.07	0.28	0.13		1.5	0.16	0.08	0.21
	n	1	2	5		n	3	5	6
3)	0.3	0.22	0.1	0.17	4)	2	0.18	0.12	0.33
	0.6	0.06	0.27	0.18		6	0.2	0.08	0.09

86

		n			2			3		5					n			6		9		10
5)		5			0.1			0.15		0.25		6)			0.1			0.15		0.1		0.25
		7			0.25			0.1		0.15					0.3			0.1		0.25		0.15
		n			0.5			0.9		1.1					n			1		3		6
7)		2			0.1			0.13		0.26		8)			0.8			0.1		0.09		0.2
		5			0.12			0.07		0.32					1.1			0.16		0.2		0.25
		n			1			2		4					n			2		3		6
9)		0.5			0.09			0.06		0.2		10)			0.2			0.13		0.21		0.07
		0.7			0.33			0.12		0.18					0.7			0.32		0.1		0.17
			n		0.2			0.4			0.7				n			1		3		5
11)		2			0.1			0.15			0.25		12)		0.2			0.13		0.21		0.07
		5			0.25			0.1			0.15				0.9			0.32		0.1		0.17
			n			0.1			0.3	0.6					n			6		9		11
13)			2			0.16			0.2	0.09		14)			0.1			0.32		0.12		0.13
			4			0.25			0.2	0.1					0.3			0.07		0.26		0.1
			n		0.5			0.9			1.1				n			3		5		6
15)		2			0.18			0.12			0.33		16)		1			0.1		0.15		0.25
		6			0.22			0.06			0.09				2			0.25		0.1		0.15
			n		2			4			5				n			2		3		6
17)		0.5			0.1			0.17			0.06		18)		2			0.06		0.27		0.18
		0.7			0.27			0.18			0.22				5			0.22		0.1		0.17
			n		1			3			4					n			3		5	6
19)		0.4			0.13			0.21			0.07		20)			3			0.16		0.2	0.09
		0.8			0.32			0.1			0.17					5			0.25		0.2	0.1
			n		0.5			0.9			1.1				n			1		3		5
21)		1			0.21			0.16			0.8		22)		0.2			0.18		0.12		0.33
		3			0.25			0.17			0.13				0.9			0.2		0.06		0.09

87

	n	6	9	11		n	0.1	0.3	0.6
23)	2	0.1	0.15	0.25	24)	2	0.06	0.27	0.18
	5	0.25	0.1	0.15		6	0.22	0.1	0.17
	n	0.2	0.4	0.7		n	3	5	6
25)	2	0.18	0.12	0.33	26)	0.1	0.32	0.12	0.13
	4	0.2	0.08	0.09		0.3	0.07	0.26	0.1
	n	2	3	6		n	1	3	4
27)	0.5	0.06	0.27	0.18	28)	2	0.21	0.16	0.8
	0.7	0.22	0.1	0.17		5	0.25	0.17	0.13
	n	0.2	0.6	1.0		n	2	4	5
29)	3	0.13	0.21	0.07	30)	0.4	0.1	0.15	0.25
	5	0.32	0.1	0.17		0.8	0.25	0.1	0.15

88

gLAWA 3

mATEMATI^ESKAQ STATISTIKA

3.1zADA^I MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI

w TEORII WEROQTNOSTEJ IZU^A@TSQ KONKRETNYE MATEMATI^ESKIE MO- DELI SLU^AJNYH QWLENIJ, SOBYTIJ. eSLI RASSMATRIWAETSQ NEKOTOROE SOBYTIE A; TO ZADAETSQ SPOSOB WY^ISLENIQ WEROQTNOSTI SOBYTIQ A { P(A); ESLI IZU^AETSQ SLU^AJNAQ WELI^INA X; TO ZADAETSQ W KAKOJ-LIBO FORME EE ZAKON (FUNKCIQ) RASPREDELENIQ I ZATEM, NAPRIMER, OPREDELQ- @TSQ EE NESLU^AJNYE HARAKTERISTIKI { MATEMATI^ESKOE OVIDANIE, DIS- PERSIQ, SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE. iLI, ZNAQ FUNKCI@ RAS- PREDELENIQ DWUMERNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY, DELAEM WYWOD O KORRELI- ROWANNOSTI ILI NEKORRELIROWANNOSTI EE KOMPONENT - WY^ISLQQ KO\F- FICIENT KORRELQCII.

zADA^I, KOTORYE RASSMATRIWA@TSQ W MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE, QWLQ@TSQ W IZWESTNOJ MERE OBRATNYMI K ZADA^AM TEORII WEROQTNOSTEJ. tAK PO IZWESTNYM REALIZACIQM IZU^AEMYH SLU^AJNYH SOBYTIJ (\KSPE- RIMENTALXNYM STATISTI^ESKIM DANNYM) MATEMATI^ESKAQ STATISTIKA RAZRABATYWAET METODY PODBORA (POSTROENIQ) ADEKWATNOJ MATEMATI^ES- KOJ MODELI SLU^AJNOGO QWLENIQ.

wYDELIM NEKOTORYE ZADA^I.

1.oCENKA NEIZWESTNOJ WEROQTNOSTI SOBYTIQ, OCENKA ^ISLOWYH HA- RAKTERISTIK SLU^AJNYH WELI^IN (M(X); D(X); (X)), OCENKA NEIZ- WESTNOJ FUNKCII RASPREDELENIQ, OCENKA PARAMETROW FUNKCII RASPRE- DELENIQ, WID KOTOROJ IZWESTEN, OCENKA ZAWISIMOSTI ODNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY OT DRUGIH SLU^AJNYH WELI^IN.

2.pROWERKA STATISTI^ESKIH GIPOTEZ. nAPRIMER, GIPOTEZA O WIDE NE- IZWESTNOGO RASPREDELENIQ.

89

rASSMOTRIM NEKOTORYE ZADA^I, KOTORYE RASSMATRIWAET MATEMATI- ^ESKAQ STATISTIKA NA PRIMERE SHEMY bERNULLI.

pUSTX IMEETSQ n NEZAWISIMYH ISPYTANIJ I PUSTX W m IZ NIH PRO- IZO[LO SOBYTIE A:

A) pROWERKA STATISTI^ESKIH GIPOTEZ.

wYDWIGAETSQ GIPOTEZA, ^TO WELI^INA P(A) (WEROQTNOSTX POQWLENIQ SOBYTIQ A W ODNOM ISPYTANII) ODNA I TA VE, P (A) = p0; GDE p0 { NEKO- TOROE FIKSIROWANNOE ZNA^ENIE. pO OTNOSITELXNOJ ^ASTOTE mn DOLVNY USTANOWITX SPRAWEDLIWA GIPOTEZA ILI NET.

B) sTATISTI^ESKAQ OCENKA NEIZWESTNYH PARAMETROW.

pUSTX TREBUETSQ OPREDELITX TO ^ISLO p0, KOTOROE MOVNO PRINQTX ZA WEROQTNOSTX P (A) W SHEME bERNULLI. w RASSMATRIWAEM SLU^AE ESTEST-

WENNO WZQTX p0 = mn .

W) dOWERITELXNYE INTERWALY.

wO MNOGIH SLU^AQH TREBUETSQ UKAZATX INTERWAL (a; b); W KOTOROM S WEROQTNOSTX@ BLIZKOJ K EDINICE NAHODITSQ NEIZWESTNAQ ^ISLOWAQ HA- RAKTERISTIKA IZU^AEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY. tAKOJ INTERWAL (a; b) NAZYWAETSQ DOWERITELXNYM INTERWALOM.

3.2wYBORKA. |MPIRI^ESKAQ FUNKCIQ RASPREDELE- NIQ. pOLIGON. gISTOGRAMMA

pUSTX X IZU^AEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA S FUNKCIEJ RASPREDELENIQ

F(x):

oPREDELENIE. gENERALXNOJ SOWOKUPNOSTX@ SLU^AJNOJ WELI^INY NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH EE WOZMOVNYH ZNA^ENIJ.

pREDPOLOVIM, ^TO IMEETSQ WOZMOVNOSTX POLU^ATX n EE ZNA^ENIJ, NAPRIMER, \KSPERIMENTALXNO.

oPREDELENIE. wYBORKOJ OB_EMA n NAZYWAETSQ MNOVESTWO

x1; x2; :::; xn	(1)
n OTDELXNYH NABL@DAEMYH ZNA^ENIJ SLU^AJNOJ WELI^INY	IZ EE GENE-

RALXNOJ SOWOKUPNOSTI. ~ISLA xn NAZYWA@TSQ \LEMENTAMI (WARIANTA- MI) WYBORKI. ~ISLA ni, UKAZYWA@]IE SKOLXKO RAZ ^ISLO xi WSTRE^A- ETSQ W WYBORKE { ^ASTOTAMI.

dLQ TOGO, ^TOBY PO WYBORKE MOVNO BYLO DOSTATO^NO POLNO SUDITX (STROITX MATEMATI^ESKU@ MODELX) O SLU^AJNOJ WELI^INE, ONA DOLVNA

90

HORO[O PREDSTAWLQTX GENERALXNU@ SOWOKUPNOSTX. dLQ \TOGO KAVDYJ \LEMENT WYBORKI DOLVEN BYTX OTOBRAN SLU^AJNO, I WSE \LEMENTY DOLV- NY IMETX ODINAKOWU@ WEROQTNOSTX POPASTX W WYBORKU. tAK, ^TO \KSPE- RIMENTY DOLVNY BYTX NEZAWISIMY I NE DOLVNY IZMENQTX IZU^AEMU@ SLU^AJNU@ WELI^INU. tAKIM USLOWIQM BUDUT UDOWLETWORQTX WYBORKI S WOZWRA]ENIEM, KOGDA OBSLEDUEMYE OB_EKTY W PREDYDU]EM \KSPERIMEN- TE WOZWRA]A@TSQ W IZU^AEMU@ SOWOKUPNOSTX. eSLI OB_EM GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI DOSTATO^NO WELIK, A WYBORKA SOSTAWLQET LI[X NEZNA^I- TELXNU@ EE ^ASTX, TO RAZLI^IE MEVDU WYBORKAMI S WOZWRA]ENIEM I BEZ WOZWRA]ENIQ STIRAETSQ. w PREDELXNOM SLU^AE, KOGDA RASSMATRIWA- ETSQ BESKONE^NAQ GENERALXNAQ SOWOKUPNOSTX, A WYBORKA IMEET KONE^NYJ OB_EM, \TO RAZLI^IE IS^EZAET.

iTAK, W REZULXTATE n \KSPERIMENTOW POLU^ENA WYBORKA (1). eSLI PROWESTI DRUGU@ SERI@ IZ n \KSPERIMENTOW, TO, KAK PRAWILO, POLU^IT-

SQ DRUGAQ WYBORKA

x11; x12; : : : ; x1n:

w SWQZI S \TIM MNOVESTWO WSEH WYBOROK OB_EMA n IZ RASSMATRI- WAEMOJ GENERALXNOJ SOWOKUPNOSTI MOVNO RASSMATRIWATX KAK ZNA^ENIQ SISTEMY n SLU^AJNYH WELI^IN

X1; X2; : : : ; Xn: (2)

wYBORKA (1) PREDSTAWLQET SOBOJ ODNO IZ WOZMOVNYH ZNA^ENIJ n- MERNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY (2). i IZ NALOVENNYH TREBOWANIJ NA WY- BORKI, MOVNO S^ITATX, ^TO SLU^AJNYE WELI^INY Xi NEZAWISIMY I RAS- PREDELENY PO TOMU VE ZAKONU, ^TO I RASSMATRIWAEMAQ SLU^AJNAQ WE- LI^INA X: (iMEET TAKU@ VE FUNKCI@ RASPREDELENIQ, ^TO I SLU^AJNAQ WELI^INA X).

w DALXNEJ[EM SISTEMU (2) BUDEM OBOZNA^ATX EE KONKRETNOJ REALI- ZACIEJ (1). hARAKTERISTIKI SLU^AJNYH WELI^IN, NAPRIMER, FUNKCIQ RASPREDELENIQ, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE, DISPERSIQ, POLU^ENNYE PO WYBORKE, NAZYWA@TSQ WYBORO^NYMI ILI \MPIRI^ESKIMI, W OTLI^IE OT TEORETI^ESKIH, DLQ OPREDELENIQ KOTORYH ISPOLXZUETSQ WSQ GENERALXNAQ SOWOKUPNOSTX.

pUSTX X DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA. oCENIM PO WYBORKE NEIZ- WESTNYE WEROQTNOSTI

pi = P (X = xi):

zA OCENKU (PRIBLIVENNOE ZNA^ENIE) ZTIH WEROQTNOSTEJ PRINIMA@T

91

a0 = xmin

OTNOSITELXNYE ^ASTOTY Wi = nni ;

TAK KAK PO ZAKONU BOLX[IH ^ISEL (TEOREMA bERNULLI) OTNOSITELXNAQ ^ASTOTA Wi PO WEROQTNOSTI SHODITSQ K WEROQTNOSTI pi.

n!1	j		;		j
lim P (		Wi		pi		< ") = 1; DLQ L@BOGO	" > 0:

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX (xi; ni); ((xi; Wi)) NAZYWAETSQ STATISTI^ESKIM RQDOM ABSOL@TNYH (OTNOSITELXNYH) ^ASTOT.

pRI BOLX[OM OB_EME WYBORKI STROQT GRUPPIROWANNYE STATISTI- ^ESKIE RQDY. dLQ \TOGO INTERWAL, SODERVA]IJ WSE \LEMENTY WYBORKI RAZBIWA@T NA k NEPERESEKA@]IHSQ INTERWALOW (ai; ai+1); i = 0; 1; :::; k

DLINY h. nAPRIMER,
h = xmax ; xmin		;		(3)
	k
h =	xmax ; xmin		:	(4)
	1 + 3; 322 lg n

w SLU^AE (3) BERUTSQ INTERWALY [ai; ai+1):

w SLU^AE (4), W KA^ESTWE LEWOGO KONCA PERWOGO INTERWALA BERETSQ ; h2 . zATEM a1 = a0 + h; a2 = a1 + h; I T. D. POKA W POSLEDNIJ

INTERWAL POPADET xmax. pOLU^AEM INTERWALY (ai; ai+1]: zAMETIM, ^TO W FORMULE (4) WNA^ALE OPREDELQETSQ DLINA INTERWALOW, A ZATEM USTANA-

WLIWAETSQ IH ^ISLO. dALEE PODS^ITYWA@TSQ ^ASTOTY ni { KOLI^ESTWO

\LEMENTOW WYBORKI, POPAW[IH W i-YJ INTERWAL. oBOZNA^IM ^EREZ xi

SEREDINY POLU^ENNYH INTERWALOW x = ai+1;ai .

i 2

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX PAR (x ; n ) NAZYWA@TSQ GRUP-

i i

PIROWANNYM RQDOM ^ASTOT, A (x ; n ) { GRUPPIROWANNYM RQDOM OTNO-

i

i n

SITELXNYH ^ASTOT.

dLQ NAGLQDNOSTI STROQT POLIGONY STATISTI^ESKIH ILI GRUPPIRO- WANNYH STATISTI^ESKIH ^ASTOT { \TO LOMANYE S WER[INAMI (xi; ni)

ILI (xi; n ): a TAKVE POLIGONY OTNOSITELXNYH STATISTI^ESKIH ILI

i

GRUPPIROWANNYH OTNOSITELXNYH ^ASTOT { \TO LOMANYE S WER[INAMI

(xi; ni=n) ILI (x ; n =n):

i i

pUSTX X NEPRERYWNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA I (1) EE WYBORKA. oPREDELENIE. fUNKCIQ

Fn(x) =	nx ;	(5)
	n

92