Teoria_veroyatnostey

pRIMER 1. iSPOLXZUQ NERAWENSTWO ~EBY[EWA, OCENITX WEROQTNOSTX

TOGO, ^TO j ; M j < 0:2, ESLI D = 0:004:				D
rE[ENIE. nERAWENSTWO ~EBY[EWA P(j ; M j	> ")					, PO\TOMU
				"2
D		0:004
P(j ; M j < ") 1 ; "2 , TOGDA P (j ; M j < 0:2)	1 ;		0:22			= 0:9.
pRIMER 2. uSTROJSTWO SOSTOIT IZ 10-TI NEZAWISIMYH RABOTA@]IH

\LEMENTOW. wEROQTNOSTX OTKAZA KAVDOGO \LEMENTA ZA WREMQ T RAWNA 0.05. oCENITX WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ABSOL@TNOAQ WELI^INA RAZNOSTI MEVDU ^ISLOM OTKAZAW[IH \LEMENTOW I SREDNIM ^ISLOM OTKAZOW ZA WRE- MQ T OKAVETSQ A) MENX[E 2-H; B) NE MENX[E 2-H.

rE[ENIE. A) oBOZNA^IM ^EREZ | ^ISLO OTKAZAW[IH PRIBOROW ZA WREMQ T . tOGDA | DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA S RASPREDELE-

	NIEM bERNULLI, PO\TOMU M = np = 10								0:05 = 0:5; D = npq =
	10		0:005			0:95 = 0:475: kAK BYLO SKAZANO WY[E IZ NERAWENSTWA ~EBY-
								D
	[EWA SLEDUET, ^TO P (j ; M j						< ") 1 ;		, ZNA^IT, P (j ; 0:5j < 2)
								"2
	1 ;		0:475	= 0:88.
			4							0:475
	B)	pO NERAWENSTWU ~EBY[EWA POLU^IM, ^TO P(j ; 0:5j 2)									=
										4
	0:12

pRIMER 3. pOSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN1; 2; : : : ; n; : : :, ZADANA ZAKONOM RASPREDELENIQ

n		n			0				n
	;1				1				1
p		2n2			1 ; n2					2n2

pRIMENIMA LI K ZADANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI TEOREMA ~EBY[EWA? rE[ENIE. dLQ TOGO, ^TOBY K POSLEDOWATELNOSTI SLU^AJNYH WELI- ^IN BYLA PRIMENIMA TEOREMA ~EBY[EWA, NUVNO, ^TOBY WYPOLNQLISX DWA USLOWIQ 1) SLU^AJNYE WELI^INY DOLVNY BYTX POPARNO NEZAWISI- MYMI; 2) IH DISPERSII DOLVNY BYTX OGRANI^ENY ODNOJ KONSTANTOJ. pERWOE USLOWIE OBESPE^ENO USLOWIEM ZADA^I. pROWERIM WTOROE USLOWIE,

DLQ \TOGO SNA^ALA NAJDEM M n, A ZATEM D n.

M n = (;n )2n12 + 0 (1 ; n12 ) + n 21n2 = 0:

tOGDA

D n = (;n )2 21n2 + 02 (1 ; n12 ) + (n )2 21n2 = 2

iTAK, D n = 2, ZNA^IT, ZAKON BOLX[IH ^ISEL DLQ DANNOJ POSLEDO- WATELXNOSTI SLU^AJNYH WELI^IN WYPOLNQETSQ.

63

1; 2; : : : ; n; : : :

1; 2; : : : ; n; : : :

1; 2; : : : ; n; : : :

zADA^I.

1. dISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA ZADANA ZAKONOM RASPREDELENIQ

	0.3	0.6
p	0.2	0.8

oCENITX P (j ; M j < 0:2).

2. dISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA ZADANA ZAKONOM RASPREDELENIQ

	0.1	0.4	0.6
p	0.2	0.3	0.5

oCENITX P (j ; M j > p0:4).

3. w OSWETITELXNU@ SETX PARALLELXNO WKL@^ENO 20 LAMPO^EK. wERO- QTNOSTX TOGO, ^TO ZA WREMQ T LAMPA BUDET WKL@^ENA, RAWNA 0.8. oCE- NITX, ^TO ZA WREMQ T P (j ; M j < 3 I P (j ; M j 3.

4. pOSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN ZADANA ZAKONOM RASPREDELENIQ

n		;a				a
p		n+1				n
		2n+1				2n+1

pRIMENIMA LI K ZADANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI TEOREMA ~EBY[EWA? 5. pOSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN

ZADANA ZAKONOM RASPREDELENIQ

	;	p1						01			;	p1
n				3										3
p
	3						3				3

wEREN LI ZAKON BOLX[IH ^ISEL DLQ DANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI SLU- ^AJNYH WELI^IN? (iSPOLXZOWATX TEOREMU hIN^INA)

6. pOSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN ZADANA ZAKONOM RASPREDELENIQ

		1
f n(x) =	<	b;a; x 2 (a; b)
			2
	8	0; x = (a; b):
wEREN LI ZAKON BOLX[IH ^ISEL:			DLQ ZADANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI

SLU^AJNYH WELI^IN?

64

2.9hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII

oPREDELENIE. hARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ SLU^AJNOJ WELI^I- NY NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ ' (t) = Meit , OPREDE- LENNAQ DLQ WSEH DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ t.

iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO DLQ DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY S RQDOM RASPREDELENIQ

	x1	x2	: : :	xk	: : :
p	p1	p2	: : :	pk	: : :

HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ BUDET OPREDELQTSQ FORMULOJ

' (t) = X1 eitxk pk;

k=1

A DLQ NEPRERYWNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY

' (t) = Z1 eitxf(x)dx:

;1

rASSMOTRIM SWOJSTWA HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ. sWOJSTWO 1. ' (0) = 1 DLQ L@BOJ SLU^AJNOJ WELI^INY . dOKAZATELXSTWO. ' (0) = Mei0 = Me0 = M 1 = 1 sWOJSTWO 2. j' (t)j 1 DLQ WSEH t 2 R. dOKAZATELXSTWO.

j' (t)j = jMeit j Mjeit j = Mj cos(t ) + i sin(t )j =

		= Mr			= M
			cos2(t ) + sin2(t )				1 = 1
	3.						ibt	(at)
sWOJSTWO		dLQ L@BYH		a; b 2 R 'a +b(t) = e '

dOKAZATELXSTWO. 'a +b(t) = Meit(a +b) = M(eita eitb) = eibt' (at):

sWOJSTWO 4. pUSTX SLU^AJNYE WELI^INY 1; 2; : : : ; n NEZAWISIMY,

			Q
TOGDA ' 1+:::+ n =			n ' k :
			k=1
dOKAZATELXSTWO. u^ITYWAQ NEZAWISIMOSTX SLU^AJNYH WELI^IN, IME-
EM, ^TO '		(t) = M(		n	eit k =	n Meit k =	n		)'	(t):
	1+:::+ n			Q		Q	Q		k
				k=1		k=1	k=1
sWOJSTWO 5.			pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET ABSOL@TNYJ MO-
MENT k-GO PORQDKA. tOGDA '(k)(0) = ikM k, GDE '(k)(0) | PROIZWODNAQ

k-GO PORQDKA FUNKCII '(t).

65

dOKAZATELXSTWO. iSPOLXZUQ FORMULU DIFFERENCIROWANIQ POKAZA- TELXNOJ FUNKCII, POLU^IM, ^TO

dk

dk

it

dk

it

k k

it

k

k

it

k

' (t) =

dt

k

M(e

) = M(

dt

k

e

) = M(i e

) = i

M( e

):

dt

eSLI t = 0, TO 'k(0) = ikM( kei0 ) = ikM( k 1) = ikM k: (wNESE-

NIE DIFFERENCIROWANIQ POD ZNAK MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ WOZMOV- NO, TAK KAK MATEMATI^ESKOE OVIDANIE | \TO LIBO SUMMA, LIBO IN-

TEGRAL) zNA^IT, RAZLOVENIE W RQD HARAKTERESTI^ESKOJ FUNKCII, ESLI
M k <		, IMEET WID '(t) = 1 +	n	(it)k M k + o( tn ).
j j	1		P	k!	j j
			k=1

pRIMER 1. nAJDEM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ DLQ SLU^AJNOJ

WELI^INY IME@]EJ RASPREDELENIE pUASSONA P( = k) =

k

e; ; k =

k!

0; 1; 2:

' (t) = 1

eitk

k

e; = e;

1 (eit)k k

= e; 1 (eit )k

= e; e eit

= e (eit;1)

P

k!

P

k!

P

k!

x

x

1 xk

k=0

k=0

k=0

P

(zDESX ISPOLXZOWALI RAZLOVENIE W RQD FUNKCII y = e ; e

=

)

k=0

k!

pRIMER 2. nAJDEM HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ NORMALXNOGO RAS-

PREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY . sLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNK-

CI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

p

1

e;

(x;a)2

, PO\TOMU

2 2

2

1

1

itx

(x;a)2

1

1

itx

(x;a)2

' (t) = p

Z

e

e;

2 2 dx = p

Z

e

;

2 2

dx

2

2

;1

;1

sDELAEM ZAMENU PEREMENNOJ z =

x;a

;

it . tOGDA

x = z + it 2 +

a; dx = dz, PO\TOMU

2t2

1

1;i+

z2

'(t) = eiat;

2

Z

e; 2

dz;

p2

;1;i+

1;i+

z2

iat

2t2

iZWESTNO, ^TO ;1;Ri+ e;

2

dz = p2 ; ZNA^IT, '(t) = e ;

2

.

zAME^ANIE. dLQ STANDARTNOJ NORMALXNOJ WELI^INY

(PARAMETRY

0,1) HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) = e;

z2

2

eSLI ZADANA FUNKCIQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY , TO EE HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ NAHODITSQ ODNOZNA^NO. nO OKAZYWAETSQ, ^TO PO HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII MOVNO TAKVE ODNOZNA^NO ZADATX ZAKON RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY.

tEOREMA OBRA]ENIQ. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: 1. dLQ CELO^ISLENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY

66

f(x) =

		1
	pk = P ( = k) =		Z e;itx'(t)dt; k = 0; 1; 2; : : : :
		2
		;
2.	eSLI HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) SLU^AJNOJ WELI^INY

ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA, TO SU]ESTWUET PLOTNOSTX RASPREDELENIQ f(x), OPREDELQEMAQ FORMULOJ

f(x) = 1 Z1 e;itx'(t)dt

2 ;1

tEOREMA PRIWODITSQ BEZ DOKAZATELXSTWA. dOKAZATELXSTWO MOVNO NAJ-

TI W [1].

pRIMER 3. nAJTI ZAKON RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII '(t) = cos(t).

rE[ENIE. hARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) = cos(t) NE QWLQETSQ ABSOL@TNO INTEGRIRUEMOJ NA WSEJ PRQMOJ, PO\TOMU PREDPOLAGAEM, ^TO

| DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA.			1
				itxk
			P
P	tOGDA HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ IMEET WID '(t) = k=1 e				pk	=
		P
1 cos(txk)pk + i		1 sin(txk)pk:
k=1		k=1
	tAK KAK '(t)	= cos(t), TO QSNO, ^TO	MOVET PRINIMATX TOLXKO			2

ZNA^ENQ: 1 I -1 S RAWNYMI WEROQTNOSTQMI, TO ESTX p1 = P ( = ;1) = 1=2; p2 = P ( = 1) = 1=2.

zADA^I.

1. nAJTI HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ SLU^AJNOJ WELI^INY, DLQ KOTOROJ ZADANA PLOTNOSTX WEROQTNOSTI

8 2x; x 2 [0; 1] < 0; x 2= [0; 1]:

2. nAJTI HARAKTERISTI^ESKU@:FUNKCI@ SLU^AJNOJ WELI^INY , PLOT- NOSTX WEROQTNOSTI KOTOROJ IMEET WID:

f(x) = 12e;jxj:

3.pUSTX '(t) | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ SLU^AJNOJ WELI^INY. nAJTI HARAKTERISTI^ESKU@ FUNKCI@ SLU^AJNOJ WELI^INY ; .

4.pUSTX I | NEZAWISIMYE ODINAKOWO RASPREDELENNYE SLU^AJNYE WELI^INY S HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ '(t). nAJTI HARAKTERISTI- ^ESKU@ FUNKCI@ SLU^AJNOJ WELI^INY ; .

67

5. nAJTI ZAKON RASPREDELENIQ, KOTOROMU SOOTWETSTWUET HARAKTERIS- TI^ESKAQ FUNKCIQ '(t) = 2=3 + 1=3 cos 3t.

2.10cENTRALXNAQ PREDELXNAQ TEOREMA

w RASSMOTRENNOM WY[E ZAKONE BOLX[IH ^ISEL BYLI UKAZANY USLO- WIQ, KOGDA SUMMY SLU^AJNYH WELI^IN SHODQTSQ PO WEROQTNOSTI K NEKO- TORYM PREDELXNYM. nO NI^EGO NE BYLO SKAZANO PRO ZAKONY RASPREDELE- NIQ PREDELXNYH SLU^AJNYH WELI^IN. pREDELXNYE ZAKONY RASPREDELE- NIQ QWLQ@TSQ PREDMETOM IZU^ENIQ CENTRALXNOJ PREDELXNOJ TEOREMY, KOTORU@ INOGDA NAZYWA@T "KOLI^ESTWENNOJ FORMOJ ZAKONA BOLX[IH ^ISEL".

sNA^ALA DADIM OPREDELENIE SHODIMOSTI, KOTOROJ BUDEM POLXZOWATX-

SQ.

oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX SLU^AJNYH WELI^IN		f ng SLA-
BO SHODITSQ K SLU^AJNOJ WELI^INE , ESLI DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ I
OGRANI^ENNOJ FUNKCII (x) WYPOLNQETSQ USLOWIE PRI n ! 1;
+	+
Z1	(x)dFn(x) ! Z1 (x)dF (x);
;1	;1

GDE Fn I F | FUNKCII RASPREDELENIQ SLU^AJNYH WELI^IN n; . oBO-
ZNA^AETSQ \TO Fn ) F .
w DALXNEJ[EM NAM PONADOBITSQ:
tEOREMA NEPRERYWNOSTI. dLQ SHODIMOSTI Fn								) F NEOBHODIMO
I DOSTATO^NO, ^TOBY 'n(t) ! '(t)PRI KAVDOM t,								GDE 'n(t) I '(t)
HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII n I .
dOKAZATELXSTWO TEOREMY NE PRIWODIM, EGO MOVNO NAJTI W [1].
pUSTX		f	n	1	| POSLEDOWATELXNOSTX NEZAWISIMYH, ODINAKOWO RAS-
				gn=1					= 2; Sn =
PREDELENNYH SLU^AJNYH WELI^IN. pUSTX M n = a; D n
k=1n	k; (x) { STANDARTNYJ NORMALXNYJ ZAKON RASPREDELENIQ (PARAMET-
P	0,1).
RY
rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX SLU^AJNYH WELI^IN n									=	Sn;an	.
tEOREMA CENTRALXNAQ PREDELXNAQ. eSLI 0 < 2 <										pn
										, TO PRI
						1	x
n ! 1; F n(x) ! F (x); x 2 (;1; 1); F (x) = p							;1R e;t2=2dt:1
						2
dOKAZATELXSTWO. bEZ OGRANI^NEIQ OB]NOSTI MOVNO S^ITATX, ^TO

a = 0, TAK KAK INA^E MOVNO BYLO BY RASSMOTRETX POSLEDOWATELXNOSTX

68

t2

e; 2 , KOGDA a = 0.

f	n	;		gn=1	f		g
	0 = n		a	1 , PRI \TOM POSLEDOWATELXNOSTX		n		NE IZMENITSQ.

u^ITYWAQ TEOREMU NEPRERYWNOSTI DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO ' n(t) !

pO SWOJSTWU HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII I TAK KAK k NEZAWISIMY I ODINAKOWO RASPREDELENY, IMEEM, ^TO

1

n

n

t

t

it pn

k

i

t

k

it n

Y

n

n

pn

' n = Me

= Me

k=1

= M e

= '

(

) = '

(

);

P

1

pn

pn

k=1

GDE ' 1 (t)|HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ 1.

tAK KAK M 12 SU]ESTWUET, TO ISPOLXZUEM RAZLOVENIE W RQD FUNKCII

'(t) (TAK KAK a = 0, TO D = M 2 ): '(t) = '(0)+ t'0(0)+

t2

'00(0)+o(t2),

2

NO '(0) = 1; '0(0) = iM 1 = 0; '00(0) = i2M 2 = i2 2, PO\TOMU '(t) =

1 ; t2 2=2 + o(t2).

nAJDEM ln n(t)

ln n(t) = ln 'n(

t

t

2

t

t2

p

) = n ln '(

p

) = n ln(1

;

2 (

p

)2

+ o(

))

2n

n

n

n

wOSPOLXZUEMSQ RAZLOVENIEM W RQD FUNKCII ln(1

;

x) =

;

(x +

x2

+

x

3

t

2

t

2

t

2

2

PO\TOMU

3 + : : :),

ln n(t) = n(;2n + o( 2n)) ! ;2

2 ; n ! 1.

t2

iTAK, DOKAZANO, ^TO PRI n ! 1 ln n(t) ! ;

t

, TOGDA n(t) ! e; 2

, A

2

\TO ESTX HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ STANDARTNOJ NORMALXNOJ WELI- ^INY, ZNA^IT, TEOREMA DOKAZANA.

2.11sISTEMY DWUH SLU^AJNYH WELI^IN

w PRAKTI^ESKIH PRIMENENIQH TEORII WEROQTNOSTEJ ^ASTO PRIHODIT- SQ STALKIWATXSQ S ZADA^AMI, W KOTORYH REZULXTAT OPYTA OPISYWAETSQ NE ODNOJ SLU^AJNOJ WELI^INOJ, A DWUMQ ILI BOLEE SLU^AJNYMI WELI^I- NAMI. sWOJSTWA SISTEMY NESKOLXKIH SLU^AJNYH WELI^IN NE IS^ERPYWA- @TSQ SWOJSTWAMI OTDELXNYH WELI^IN, EE SOSTAWLQ@]IH, POMIMO \TOGO ONA WKL@^AET TAKVE WZAIMNYE SWQZI (ZAWISIMOSTI) MEVDU SLU^AJNY- MI WELI^INAMI. zDESX MY RASSMOTRIM TOLXKO SISTEMU 2-H SLU^AJNYH WELI^IN ( ; ).

oPREDELENIE. fUNKCIEJ RASPREDELENIQ SISTEMY 2-H SLU^AJNYH WE- LI^IN ( ; ) NAZYWAETSQ WEROQTNOSTX SOWMESTNOGO WYPOLNENIQ 2-H NE-

69

2) pOWS@DU NA

RAWENSTW ( < x; < y)

F (x; y) = P( < x; < y):

fUNKCIQ RASPREDELENIQ F (x; y) ESTX WEROQTNOSTX POPADANIQ SLU^AJ- NOJ TO^KI ( ; ) W BESKONE^NYJ KWADRAT S WER[INOJ W TO^KE (x; y), LEVA- ]EJ LEWEE I NIVE EE. fUNKCIQ RASPREDELENIQ ODNOJ SLU^AJNOJ WELI^I- NY - OBOZNA^IM EE F (x) - PREDSTAWLQET SOBOJ WEROQTNOSTX POPADANIQ SLU^AJNOJ TO^KI W POLUPLOSKOSTX, OGRANI^ENNU@ SPRAWA ABCISSOJ x, A FUNKCIQ RASPREDELENIQ - F (y) - WEROQTNOSTX POPADANIQ SLU^AJNOJ TO^KI W POLUPLOSKOSTX, OGRANI^ENNU@ SWERHU ORDINATOJ y.

sWOJSTWA FUNKCII RASPREDELENIQ F(x; y) ANALOGI^NY SWOJSTWAM FUNK- CII RASPREDELENIQ ODNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY.

1) fUNKCIQ F (x; y) ESTX NEUBYWA@]AQ FUNKCIQ OBOIH SWOIH ARGUMEN-

TOW, TO ESTX PRI x2 > x1; F (x2; y) F(x1; y), PRI y2 > y1; F (x; y2) F(x; y1).

;1 FUNKCIQ RASPREDELENIQ RAWNA NUL@ F (x; ;1) =

F(;1; y) = F (;1; ;1) = 0.

3) pRI ODNOM IZ ARGUMENTOW, RAWNOM +1, FUNKCIQ RASPREDELENIQ SISTEMY ESTX FUNKCIQ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY, SOOTWET- STWU@]EJ DRUGOMU AGRUMENTU F (x; +1) = F (x); F(+1; x) = F (y):

4) eSLI OBA ARGUMENTA RAWNY +1, FUNKCIQ RASPREDELENIQ SISTEMY RAWNA 1. F (+1; +1) = 1:

5) P (a < < b; c < < d) = F (a; d) ; F (a; c) ; F(b; d) + F (a; d). wWEDENNAQ FUNKCIQ RASPREDELENIQ SU]ESTWUET DLQ SISTEM L@BYH

SLU^AJNYH WELI^IN, KAK DISKRETNYH, TAK I NEPRERYWNYH.

sISTEMU DISKRETNYH SLU^AJNYH WELI^IN MOVNO HARAKTERIZOWATX SOWOKUPNOSTX@ WEROQTNOSTEJ pij, KOTORYE MOGUT BYTX SWEDENY W TABLI- CU:

70

71

m

P pkj j=1

	n	x1	x2		xn
		p11	p12		p1n
	y1
	y2	p21	p22		p2n
	.
	ym
		pm1	pm2		pmn

tOGDA ODNOMERNYE ZAKONY: P ( = xk) = = pk, P( = yl) =

n

P pil = pl:

i=1 sISTEMU NEPRERYWNYH SLU^AJNYH WELI^IN MOVNO HARAKTERIZOWATX PLOTNOSTX@ RASPREDELENIQ. rASSMOTRIM WEROQTNOSTX POPADANIQ ( ; ) W MALYJ PRQMOUGOLXNIK D SO STORONAMI 4x I 4y.

P (( ; y) 2 D):

pO PQTOMU SWOJSTWU FUNKCII RASPREDELENIQ:

			lim	P(( ; ) 2 D)			=
			x!0; y!0		x y
=	lim	F (x + x; y + y)		; F(x + x; y)			; F(x; y + y) + F (x; y)
	x!0; y!0					x y
	eSLI FUNKCIQ F(x; y) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA, TO
		lim	P(( ; )	2 D) = @2F(x; y) = f(x; y)
		x!0; y!0	x y			@x@y
	fUNKCIQ f(x; y) NAZYWAETSQ PLOTNOSTX@ RASPREDELENIQ SISTEMY 2-H
SLU^AJNYH WELI^IN.
	tOGDA			Zx	Zy
		F(x; y) =				f(x; y)dxdy:
				;1 ;1

pO\TOMU P(a < < b; c < < d) =						b d f(x; y)dxdy.
						R R
						a c
pLOTNOSTX RASPREDELENIQ UDOWLETWORQET SLEDU@]IM SWOJSTWAM:
1)	f(x; y)			0.
	+1	+1
2)	R	R
	;1 ;1 f(x; y)dxdy = 1
3)	oDNOMERNYE PLOTNOSTI IME@T WID:
		+1			+1
f (x) = ;1R			f(x; y)dy; f (y) =		;1R f(x; y)dx.
pRIMER 1.

dWUMERNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA ( ; ) RASPREDELENA RAWNOMERNO W OB-

LASTI D, ESLI
f(x; y) = 8	1	; (x; y) 2 D
	SD
<		2
	0; (x; y) = D;
GDE SD - PLO]ADX OBLASTI D. :

oPREDELENIE. sLU^AJNYE WELI^INY I NAZYWA@TSQ NEZAWISI- MYMI, ESLI ZAKON RASPREDELENIQ KAVDOJ IZ NIH NE ZAWISIT OT TOGO, KAKOE ZNA^ENIE PRINQLA DRUGAQ WELI^INA. w PROTIWNOM SLU^AE I NAZYWA@TSQ ZAWISIMYMI.

tAKIM OBRAZOM, DISKRETNYE SLU^AJNYE WELI^INY NEZAWISIMY, ESLI

P( = xi; = yj) = P( = xi) P ( = yj) = pi pj; NEPRERYWNYE SLU^AJNYE WELI^INY NEZAWISIMY, ESLI f(x; y) = f f .

pRIMER 2. pLOTNOSTX RASPREDELENIQ SISTEMY ( ; ) IMEET WID:

f(x; y) =	1	:
	2(x2 + y2 + x2y2 + 1)

oPREDELITX, ZAWISIMY ILI NET I .

rE[ENIE. rAZLAGAQ ZNAMENATELX NA MNOVITELI, IMEEM, ^TO

	1	1
f(x; y) =				= f f ;
	(1 + x2)		(1 + y2)

ZNA^IT, I - NEZAWISIMY.

oPREDELENIE. kORRELQCIONNYM MOMENTOM SLU^AJNYH WELI^IN INAZYWAETSQ

K ; = M(( ; M ) ( ; M ))

72