Teoria_veroyatnostey

n-MNOVESTWA (WSEGO n-MNOVESTW k-[TUK). pRIMENQQ PRAWILO UMNOVE-

NIQ POLU^IM, ^TO

Bnk = nk

tEOREMA DOKAZANA.

pRIMER 6. sKOLXKO "SLOW", SOSTOQ]IH IZ ^ETYREH BUKW MOVNO SO- STAWITX, ISPOLXZUQ A) RUSSKIJ ALFAWIT, B) ANGLIJSKIJ ALFAWIT.

rE[ENIE. kAVDOE "SLOWO" ESTX RAZME]ENIE S WOZWRA]ENIEM, PO\-

TOMU A) B334 = 334 = 1186121, B) B264 = 264 = 456976.

oPREDELENIE. k-WYBORKU IZ n-MNOVESTWA BEZ U^ETA PORQDKA SLE- DOWANIQ \LEMENTOW I BEZ WOZWRA]ENIQ NAZYWA@T SO^ETANIEM IZ n \LE-

	MENTOW PO k, I OBOZNA^A@T SIMWOLOM Cnk (O^EWIDNO, ZDESX k n).
		pRIMER 7. wYBOR STUDENTOW DLQ POLU^ENIQ L@BYH TREH SPECKURSOW
	IZ PREDLOVENNYH SEMI ESTX SO^ETANIE IZ 7 PO 3 C73.
		nAJDEM ^ISLO RAZLI^NYH SO^ETANIJ Ck.
							n
		tEOREMA 3. Ck =		n!	.
			n	k!(n;k)!
		dOKAZATELXSTWO. ~ISLO SO^ETANIJ Cnk W k! RAZ MENX[E ^EM ^ISLO
	RAZME]ENIJ Ak, T. K. ESLI W KAVDOM SO^ETANII \LEMENTY PERESTAWITX
			n					Ank
	MEVDU SOBOJ MESTAMI, TO POLU^IM k! RAZME]ENIJ. pO\TOMU Ck =								=
		n!					n	k!
		k!(n;k)! tEOREMA DOKAZANA.
		pRIMER 8. w PRIMERE 7 STUDENT MOVET OSU]ESTWITX WYBOR SPEC-
	KURSOW C3 SPOSOBOW, T. E. C3 =					7!	= 35.
	7			7		3!4!

pRIMER 9. dANO n TO^EK, NIKAKIE 3 IZ KOTORYH NE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. sKOLXKO PRQMYH MOVNO PROWESTI, SOEDINQQ TO^KI POPARNO?

rE[ENIE. kAVDAQ PRQMAQ { \TO WYBOR DWUH TO^EK IZ n; PRI^EM W KAKOM PORQDKE WYBRANY TO^KI NE IMEET ZNA^ENIQ. pO\TOMU ^ISLO

PRQMYH, KOTORYE MOVNO PROWESTI, RAWNO C2	=	n!		= (n;1)n.
n		2!(n;2)!		2

oPREDELENIE. k-WYBORKU IZ n-MNOVESTWA BEZ U^ETA PORQDKA SLE- DOWANIQ \LEMENTOW I S WOZWRA]ENIEM NAZYWA@T SO^ETANIEM S WOZWRA-

]ENIEM (S POWTORENIEM) IZ n \LEMENTOW PO k I OBOZNA^A@T SIMWOLOM Dnk. (o^EWIDNO, ZDESX k { L@BOE, T. E. n k ILI k < n).

pRIMER 10. kOSTX DOMINO ESTX SO^ETANIE S WOZWRA]ENIEM (T. K. ESTX "DUBLI") IZ 7 \LEMENTOW (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) PO 2 { D72. nAJDEM ^ISLO RAZLI^NYH SO^ETANIJ S WOZWRA]ENIEM.

tEOREMA 4. Dnk = Cnk+k;1.

dOKAZATELXSTWO. sO^ETANIE S WOZWRA]ENIEM ESTX SO^ETANIE, NO UVE IZ (n + k ; 1)-MNOVESTWA. tEOREMA DOKAZANA.

13

pRIMER 11. w PRIMERE 10 RASSMATRIWALASX KOSTX DOMINO TEPERX

	PONQTNO PO^EMU IH 28	T.K. D2	= C2	= C2	=	8	=	7 8	= 28.
						2!6!
		7	7+2;1	8			2

pRIMER 12. iZWESTNO, ^TO MOLEKULY BELKA RAZLAGA@TSQ NA STAN- DARTNYE AMINOKISLOTY. aMINOKISLOTA W SWO@ O^EREDX SOSTOIT IZ 3 NUKLEOTIDOW WOZMOVNO ODINAKOWYH. nUKLEOTIDOW VE WSEGO 4: ADENIN, TENIN, GUNIN, CITANIN. sKOLXKO STANDARTNYH AMINOKISLOT?

rE[ENIE. kAVDAQ AMINOKISLOTA ESTX WYBOR 3 NUKLEIDOW BEZ U^ETKA PORQDKA S POWTORENIEM IZ ^ETYREH, PO\TOMU ^ISLO WSEH AMINOKISLOT

RAWNO D43 = C4+33 ;1 = C63 = 3!3!6! = 20

pRIWEDEM PRIMERY, KOGDA ISPOLXZU@TSQ \LEMENTY KOMBINATORIKI DLQ NAHOVDENIQ WEROQTNOSTEJ SOBYTIJ W SLU^AE KONE^NOGO PRSTRANST- WA \LEMENTARNYH SOBYTIJ (KLASSI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SO- BYTIQ).

pRIMER 13. kOLODA IZ 36 KART PEREME[ANA. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO WSE 4 TUZA RASPOLOVENY RQDOM.

rE[ENIE. ~ISLO WOZMOVNYH ISHODOW n ESTX ^ISLO WOZMOVNYH PE- RESTANOWOK IZ 36 KART, T.E. n = P36 = 36!. ~TOBY NAJTI ^ISLO BLA- GOPRIQTNYH ISHODOW PREDSTAWIM, ^TO SLOVILI WMESTE TUZY KAK ODNU KARTU, TOGDA ^ISLO TAKIH PERESTANOWOK BUDET P32+1 = P33 = 33!. zA- TEM U^TEM, ^TO TUZY TOVE MOGUT MEVDU SOBOJ BYTX PERESTANOWLENY. T.E. POLU^IM E]E P4 = 4! PERESTANOWOK. tEPERX WOSPOLXZUEMSQ PRAWI- LOM UMNOVENIQ: WSEH BLAGOPRIQTNYH ISHODOW BUDET m = P33P4 = 33!4!.

tOGDA ESLI OBOZNA^IM SOBYTIE A - 4 TUZA RASPOLOVENNYE RQDOM, TO

P(A) = mn = 33!4!36! = 17851 .

pRIMER 14. w Q]IKE IMEETSQ 15 TENISNYH MQ^EJ, IZ KOTORYH 9 NOWYH I [ESTX STARYH. dLQ IGRY WZQLI 3 MQ^A. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO ^TO WSE MQ^I NOWYE.

rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE A - WZQLI 3 NOWYH TENISNYH MQ^A DLQ IGRY. |TO ESTX WYBOR BEZ U^ETA PORQDKA I BEZ WOZWRA]ENIQ. pO\TOMU

^ISLO WSEH WOZMOVNYH ISHODOW n = C3 . bLAGOPRIQTNYMI BUDUT ISHO-
			15
DY, KOGDA MQ^I BERUTSQ IZ 9 NOWYH, T.E. ^ISLO BLAGOPRIQTNYH ISHODOW
3		m		C93		12
RAWNO m = C9	: pO\TOMU P(A) = n		= C153		= 65:

pRIMER 15. w PARTII IZ K IZDELIJ r BRAKOWANYH. nAJTI WERO- QTNOSTX TOGO, ^TO SREDI s WYBRANNYH NAUDA^U DLQ PROWERKI IZDELIJ ROWNO l OKAVUTSQ BRAKOWANNYMI.

rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE A { WZQLI s IZDELIJ, SREDI KOTORYH l BRA- KOWANNYE. ~ISLO WSEH WOZMOVNYH SPOSOBOW WZQTX s IZDELIJ IZ K RAWNO

14

n = CKs . bLAGOPRIQTNYMI QWLQ@TSQ ISHODY, KOGDA IZ OB]EGO ^ISLA r BRAKOWANNYH IZDELIJ ROWNO l - \TO MOVNO SDELATX Crl SPOSOBAMI, A

OSTALXNYE s ; l NEBRAKOWANNYE - KOLI^ESTWO SPOSOBOW WYBORA RAWNO
Cs;l	, PO\TOMU ^ISLO BLAGOPRIQTNYH ISHODOW m = Cl Cs;l			(ISPOLXZO-
K;r		Cl Cs;l	r K;r
WALI PRAWILO UMNOVENIQ). tOGDA P (A) =		rCsK;r
zADA^I		K

1.w LOTOREE IMEETSQ 10 BILETOW: 5 WYIGRY[NYH I 5 PROIGRY[NYH. bERETSQ 2 BILETA. kAKOWA WEROQTNOSTX PROIGRY[A?

2.w URNE A BELYH I B ^ERNYH [AROW. iZ URNY WYNIMA@T 2 [ARA. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO OBA [ARA BUDUT BELYMI.

3.nUDA^U WZQT TELEFONNYJ NOMER SOSTOQ]IJ IZ 5 CIFR. ~EMU RAWNO WEROQTNOSTX TOGO, ^TO WSE CIFRY RAZLI^NYE?

4.nA POLKE STOQT 15 KNIG, 5 IZ NIH W PEREPLETAH. bERUT NAUDA^U 3 KNIGI. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SREDI WYBRANNYH KNIG TOLXKO ODNA W PEREPLETE?

5.pRI NABORE TELEFONNOGO NOMERA ABONENT ZABYL DWE POSLEDNIE CIF- RY I NABRAL IH NAUDA^U, POMNQ TOLXKO ^TO \TI CIFRY NE^ETNYE. kAKOWA WEROQTNOSTX, ^TO NOMER NABRAN PRAWILXNO?

6.sREDI 100 FOTOGRAFIJ ESTX FOTOGRAFIQ ZNAMENITOGO ARTISTA. wZQLI NAUDA^U 10 FOTOGRAFIJ. kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SREDI NIH ESTX FOTOGRAFIQ ARTISTA?

1.5sTATISTI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SLU- ^AJNOGO SOBYTIQ

kLASSI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI PRI PEREHODE OT PROSTYH PRI- MEROW K RASSMOTRENI@ SLOVNYH ZADA^ NATALKIWAETSQ NA TRUDNOSTI PRINCIPIALXNOGO HARAKTERA. rASSMOTRIM TAKOJ PRIMER. pUSTX IME- ETSQ BESKONE^NYJ NATURALXNYJ RQD ^ISEL. nAUGAD WYBIRAETSQ ^ISLO, NAJTI WEROQTNOSTX, ^TO ONO ^ETNOE. iZ TEORII MNOVESTW IZWESTNO, ^TO MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL I MNOVESTWO ^ETNYH ^ISEL NAHODQTSQ WO WZAIMNO-ODNOZNA^NOM SOOTWETSTWII, T.E. GRUBO GOWORQ, SKOLXKO NA- TURALXNYH ^ISEL STOLXKO I ^ETNYH. iSHODQ IZ \TOGO, ESLI BY MY IS- POLXZOWALI KLASSI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SOBYTIQ, TO POLU- ^ILI BY, ^TO ISKOMAQ WEROQTNOSTX RAWNA 1. kAK WIDNO IZ PRIWEDENNOGO PRIMERA, W SLU^AE BESKONE^NYH S^ETNYH PROSTRANSTW \LEMENTARNYH

15

IHODOW, KLASSI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SOBYTIQ NELXZQ ISPOLX- ZOWATX. kAK POSTUPITX W PRIWEDENNOM PRIMERE? eSLI MY BUDEM RAS- SMATRIWATX TOLXKO PERWYE IZ ^LENOW NATURALXNOGO RQDA, TO TOGDA, IS- POLXZUQ KLASSI^ESKIE OPREDELENIQ, WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ^ISLO ^ETNOE

BUDET RAWNA LIBO Pn(A) = 1=2, ESLI n SAMO ^ETNO, LIBO Pn(A) = 2kk+1, ESLI n NE^ETNO: n = 2k + 1. uWELI^IWAQ n; POLU^IM, ^TO Pn(A) WSE

MENX[E OTLI^AETSQ OT 0.5.

w OB]EM SLU^AE, ESLI PROWODQTSQ DLITELXNYE NABL@DENIQ NAD POQW- LENIEM ILI NEPOQWLENIEM NEKOTOROGO SOBYTIQ A PRI BOLX[OM ^ISLE PO- WTORENIJ ISPYTANIJ, PROHODQ]IH PRI NEIZMENNYH USLOWIQH, TO OPYT POKAZYWAET, ^TO ^ISLO POQWLENIJ ILI NEPOQWLENIJ SOBYTIQ A POD^INQ- ETSQ USTOJ^IWYM ZAKONOMERNOSTQM. a IMENNO, ESLI ^EREZ n OBOZNA^IM ^ISLO POQWLENIJ SOBYTIQ A PRI n NEZAWISIMYH ISPYTANIQH, TO OKA- ZYWAETSQ, ^TO OTNO[ENIE nn PRI DOSTATO^NO BOLX[IH n SOHRANQET PO^- TI POSTOQNNU@ WELI^INU. |TU POSTOQNNU@, QWLQ@]EJSQ OB_EKTIWNOJ ^ISLOWOJ HARAKTERISTIKOJ QWLENIQ, STESTWENNO NAZWATX WEROQTNOSTX@ SLU^AJNOGO SOBYTIQ A: pO\TOMU r. mIZES WWEL SLEDU@]EE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SOBYTIQ, KOTOROE NAZYWA@T STATISTI^ESKIM

P (A) = lim n :

n!1 n

iMEETSQ OGROMNYJ OPYTNYJ MATERIAL PO PROWERKE \TOGO OPREDELENIQ. pRIWEDEM REZULXTATY \KSPERIMENTOW S BROSANIEM MONETY.

|KSPERIMENTATOR : b@FFON

	n { ^ISLO BROSANIJ	n-	^ISLO WYPADENIJ GERBA		n
					n
	4040		2048	0,5080
|KSPERIMENTATOR: k. pIRSON
	n { ^ISLO BROSANIJ	n-	^ISLO WYPADENIJ GERBA		n
					n
	12000		6019	0,5016
	24000		12012	0,5005

16

P (A) = mesA mes

1.6gEOMETRI^ESKOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI SLU- ^AJNOGO SOBYTIQ

eSLI PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ QWLQETSQ BESKONE^NYM NES^ETNYM MNOVESTWOM, TO PRIWEDENNOE WY[E OPREDELENIE WEROQTNOS- TI SLU^AJNOGO SOBYTIQ ISPOLXZOWATX STANOWITSQ NEWOZMOVNO. pO\TOMU OPREDELENIE WEROQTNOSTI BYLO WIDOIZMENENO, I POQWILOSX GEOMETRI- ^ESKOE OPREDELENIE, GDE ISPOLXZUETSQ PONQTIE MERY MNOVESTWA. mERA MNOVESTWA { \TO EGO ^ISLOWAQ HARAKTERISTIKA. eSLI RASSMATRIWATX LINEJNOE MNOVESTWO, TO EGO MERA { \TO DLINA LINII; ESLI PLOSKOE MNO- VESTWO { TO EGO MERA \TO PLO]ADX; ESLI MNOVESTWO W PROSTRANSTWE, TO EGO MERA { \TO OB_EM TELA.

oPREDELENIE. wEROQTNOSTX@ SLU^AJNOGO SOBYTIQ A NAZYWAETSQ OTNO[ENIE MERY MNOVESTWA BLAGOPRIQTNYH ISHODOW K MERE MNOVES- TWA WSEH ISHODOW

pRIMER 1. nAUDA^U WYBIRA@TSQ DWA ^ISLA IZ OTREZKA [0; 1]. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO IH PROIZWEDENIE MENX[E 12

rE[ENIE. pUSTX x, y - WYBRANNYE ^ISLA. mNOVESTWO WSEH WOZMOV-

NYH ISHODOW ESTX MNOVESTWO TO^EK KWADRATA = [0; 1]							[0; 1]. mNO-
VESTWO BLAGOPRIQTNYH ISHODOW A = f(x; y1)					2 : x y <		1	g -\TO TO^KI
							2
KWADRATA KOTORYE LEVAT POD KRIWOJ y =					.
				2x
1	1	1				1
mesA = SD = 2 + Z			dx =			2(1 + ln 2)
		2x
	1=2
mes = 1
P(A) =	1(1 + ln 2):
	2

pRIMER 2. w L@BYE MOMENTY PROMEVUTKA WREMENI T RAWNOWOZ- MOVNY POSTUPLENIQ W PRIEMNIK 2-H SIGNALOW. pRIEMNIK BUDET ZANQT, ESLI RAZNOSTX MEVDU MOMENTAMI POSTUPLENIQ SIGNALOW BUDET MENX[E r: nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO PRIEMNIK BUDET ZANQT.

rE[ENIE. pUSTX x, y - MOMENTY POSTUPLENIQ SIGNALOW W PRIEMNIK. oBLASTX WOZMOVNYH ZNA^ENIJ x; y QWLQETSQ KWADRAT = [0; T] [0; T], mes = T 2. pRIEMNIK BUDET ZANQT { SOBYTIE A; ESLI jx ; yj r.

17

dANNOE MNOVESTWO LEVIT MEVDU PRQMYMI x ; y = r, I x ; y = ;r, ILI
y = x ; r, I y = x + r.
pO\TOMU
mesA = SD = T 2	1	(T ; r)2 = T 2 ; (T ; r)2:
	; 2 2

P (A) = T2 ; (T2 ; r)2 = 1 ; (1 ; r )2: T T

zADA^I

1.w KRUG RADIUSA R NAUDA^U BROSAETSQ TO^KA. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO TO^KA POPADET W KRUG RADIUSA r S TEM VE CENTROM.

2.nA PLOSKOSTX, RAZDELENNU@ PARALELXNYMI PRQMYMI, OTSTOQ]IMI DRUG OT DRUGA NA RASSTOQNII 6 SM, NAUDA^U BRO[EN KRUG RADIUSOM 1 SM. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO KRUG NE PERESE^ET NI ODNOJ PRQMOJ.

3.nA OTREZKE DLINY l NAUDA^U WYBRANY DWE TO^KI. kAKOWA WEROQT- NOSTX TOGO, ^TO RASSTOQNIE MEVDU NIMI MENX[E 0:3l:

4.dWA PAROHODA DOLVNY PODOJTI K ODNOMU PRI^ALU. wREMQ PRIHODA OBOIH PAROHODOW NEZAWISIMO I RAWNOWOZMOVNO W TE^ENIE DANNYH SUTOK. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ODNOMU IZ PAROHODOW PRIDETSQ OVIDATX OSWOBOVDENIE PRI^ALA, ESLI WREMQ STOQNKI ODNOGO ODIN ^AS, DRUGOGO DWA ^ASA.

5.nA OTREZKE DLINOJ L; NAUGAD POSTAWLENY DWE TO^KI. nAJTI WE- ROQTNOSTX TOGO, ^TO IZ TREH POLU^IW[IHSQ OTREZKOW MOVNO POSTROITX TREUGOLXNIK.

6.nUDA^U WZQTY DWA POLOVITELXNYH ^ISLA x I y; KAVDOE IZ KOTORYH NE PREWY[AET 2. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO IH PRIZWEDENIE MENX[E 1, A ^ASTNOE x=y NE BOLX[E 2.

1.7aKSIOMY TEORII WEROQTNOSTEJ

w SOWREMENNOJ MATEMATIKE PRINQTO AKSIOMAMI NAZYWATX TE PRED- POLOVENIQ, KOTORYE PRINIMA@TSQ ZA ISTINU I W PREDELAH DANNOJ TEO- RII NE DOKAZYWA@TSQ. wSE OSTALXNYE POLOVENIQ \TOJ TEORII DOLVNY WYWODITXSQ ^ISTO LOGI^ESKIM PUTEM IZ PRINQTYH AKSIOM. fORMULI- ROWKA AKSIOM, T.E. TEH FUNDAMENTALXNYH POLOVENIJ, NA BAZE KOTORYH STROITSQ OB[IRNAQ TEORIQ, PREDSTAWLQET SOBOJ NE NA^ALXNU@ STADI@ RAZWITIQ MATEMATI^ESKOJ NAUKI, A QWLQETSQ REZULXTATOM DLITELXNOGO

18

NAKOPLENIQ FAKTOW I LOGI^ESKOGO ANALIZA POLU^ENNYH REZULXTATOW S CELX@ WYQWLENIQ DEJSTWITELXNO OSNOWNYH PERWI^NYH FAKTOW. iMENNO TAK SKLADYWALISX AKSIOMY GEOMETRII, ZNAKOMSTWO S KOTORYMI DAETSQ W KURSE \LEMENTARNOJ MATEMATIKI, PODOBNYJ VE PUTX PRO[LA TEORIQ WE- ROQTNOSTEJ. wPERWYE ZADA^A AKSIOMATI^ESKOGO POSTROENIQ TEORII WE- ROQTNOSTEJ BYLA POSTAWLENA I RE[ENA W 1917 G. s.n. bER[TEJNOM, KO- TORYJ ISHODIL IZ KA^ESTWENNOGO SRAWNENIQ SLU^AJNYH SOBYTIJ. nO W 1939 GODU a.n. kOLMOGOROW PREDLOVIL INOJ PODHOD, KOTORYJ SWQZYWAET TEORI@ WEROQTNOSTEJ S TEORIEJ MNOVESTW I TEORIEJ FUNKCIJ. iMENNO \TA AKSIOMATIKA RASSMATRIWAETSQ NIVE.

pUSTX IMEETSQ MNOVESTWO - PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ, A - NEKOTORAQ SISTEMA PODMNOVESTW MNOVESTWA . A - NAZYWAETSQ ALGEBROJ, ESLI

1.	2 A
2.	eSLI A 2 A, B 2 A, TO A [ B 2 A, A \ B 2 A
3.		2 A
	eSLI A 2 A, TO A

rASSMOTRIM PROSTRANSTWO I KAKU@-NIBUDX WYDELENNU@ SISTEMU MNOVESTW A, OBRAZU@]U@ ALGEBRU SOBYTIJ.

oPREDELENIE. wEROQTNOSTX NA h ; Ai ESTX ^ISLOWAQ FUNKCIQ, OPRE- DELENNAQ NA MNOVESTWAH IZ A I OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:

I. P(A) 0 DLQ L@BOGO A 2 A

II. P ( ) = 1

III. eSLI A \ A = ;, TO P(A [ B) = P (A) + P (B)

tROJKU h ; A; P i NAZYWA@T WEROQTNOSTNYM PROSTRANSTWOM.

kAK WIDNO, PRIWEDENNOE OPREDELENIE WEROQTNOSTI WKL@^AET W SEBQ WSE IZU^ENNYE RANEE OPREDELENIQ, T.K. ZDESX MOVET BYTX L@BOGO TIPA.

1.8 sWOJSTWA WEROQTNOSTI

sWOJSTWO 1. wEROQTNOSTX NEWOZMOVNOGO SOBYTIQ RAWNA NUL@

P(;) = 0

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK ; = ; I ; + = , TO PO AKSIOMAM II

I III P( ) = P(;) + P ( ), T.K. P( ) = 1, TO P (;) = 0.

19

sWOJSTWO 2. wEROQTNOSTX PROTIWOPOLOVNOGO SOBYTIQ A RAWNA

				; P (A)
		P (A) = 1
	.
							;
			A + A = , A			A =		,TO PO AKSIOME III
	dOKAZATELXSTWO. tAK KAK

P(A) + P (A) = 1, TOGDA P (A) = 1 ; P(A).
sWOJSTWO 3. eSLI IZ NASTUPLENIQ SOBYTIQ A SLEDUET NASTUPLE-
NIE SOBYTIQ B (T.E. A 2 B), TO P(A) P (B).					;
dOKAZATELXSTWO. tAK KAK	B = A + (AB), A		(A	B) =		, TO PO
AKSIOME III P (B) = P(A) + P(A	B), PO AKSIOME I P(A B) 0, ZNA^IT,
P(B) P(A).

sWOJSTWO 4. dLQ L@BOGO SOBYTIQ A P (A) 1.

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK L@BOE SOBYTIE A 2 , TO PO SWOJSTWU 3

P(A) P ( ) = 1

sWOJSTWO 5. tEOREMA SLOVENIQ WEROQTNOSTEJ SLU^AJNYH SOBY-

TIJ: wEROQTNOSTX OB_EDINENIQ DWUH SOBYTIJ RAWNA SUMME IH WERO- QTNOSTEJ BEZ WEROQTNOSTI PERESE^ENIQ \TIH SOBYTIJ. P (A + B) =

P(A) + P (B) ; P (A B).

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK A+B = A+(Bn(A B)) I A (Bn(A B)) =

;, B = (Bn(A B)) + (A B) I (Bn(A B)) (A B) = ;, TO PO AKSIOME III P (A + B) = P (A) + P(Bn(A B)), P (B) = P (Bn(A B)) + P (A B), PO\TOMU P (A + B) = P (A) + P (B) ; P(A B)

sWOJSTWO 6. rAS[IRENNAQ TEOREMA SLOVENIQ WEROQTNOSTEJ SOBY-

	TIJ			n		n
								X
			P(	X	Ak) =	X	P (Ak) ;		P (Ak Al)+
		X		k=1		k=1		k<l
	+		P(Ak		Al Am) ; + (;1)n;1P(A1 A2 An):
		k<l<m

dOKAZATELXSTWO PROWODITSQ METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII.

pRIMER 1. nA STELLAVE BIBLIOTEKI W SLU^AJNOM PORQDKE RASSTAW- LENY 15 U^EBNIKOW, PRI^EM 5 IZ NIH W PEREPLETE. nAUDA^U BERETSQ 3 U^EBNIKA. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO HOTQ BY ODIN IZ WZQTYH U^EB- NIKOW OKAVETSQ W PERELETE.

rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE A { HOTQ BY ODIN U^EBNIK W PERPLETE.
		C103	3
tOGDA A { WSE 3	U^EBNIKA BEZ PEREPLETA. P(A) = C153		, TAK KAK n = C15	{

20

WSE WOZMOVNYE ISHODY, m = C103 { BLAGOPRIQTNYE ISHODY (10 U^EBNIKOW
	C103		24		67
BEZ PEREPLETA). pO\TOMU P (A) = 1 ; P (A) = 1 ; C153		= 1 ; 91		= 91.
pRIMER 2. w Q]IKE 12 BELYH, 7 ^ERNYH, 11	SINIH [AROW ODINAKOGO

RADIUSA. nAUDA^U WYNIMAETSQ [AR. nAJTI WEROQTNOSTX, ^TO [AR NE BELYJ.

rE[ENIE. pUSTX SOBYTIE A -WYNULI BELYJ [AR, B - ^ERNYJ, A C
		= B + C, TO PO TEOREME SLOVENIQ
- SINIJ. nUVNO NAJTI P (A), T.K. A
WEROQTNOSTEJ P (A) = P(B) + P (C) ; P(B C), NO B C = ;, ZNA^IT,
			7			11		18	3
P(B C) = 0, PO\TOMU P (A) = P(B) + P (C) = 30					+ 30		= 30		= 5, TAK KAK
WSEGO [AROW 30.

zADA^I

1.sREDI ODINAKOWYH PO WNE[NEMU WIDU 20 DETALEJ NAHODQTSQ 4 BRA- KOWANYH. nAUDA^U BERETSQ 3 DETALI. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SREDI NIH HOTQ BY ODNA BRAKOWANNAQ.

2.oT KOLLEKTIWA BRIGADY, KOTORAQ SOSTOIT IZ 6-TI MUV^IN I 4-H VEN]IN, NA PROFSO@ZNU@ KONFERENCI@ WYBIRAETSQ 2 ^ELOWEKA.nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SREDI WYBRANYH HOTQ BY ODNA VEN]INA.

3.pROIZWODITSQ STRELXBA PO OBLASTI D; SOSTOQ]EJ IZ 3-H ZON A1,A2,A3. wOZMOVNOSTX POPADANIQ W Ai-TU@ ZONU SOOTWETSTWENNO RAWNY 0.5, 0.1,

0.17.nAJTI WEROQTNOSTX POPASTX W OBLASTX D:

4.nA RYNOK POSTUPILA PRODUKCIQ 4-H OBUWNYH FABRIK W SOOTWET-

STWU@]IH PROPORCIQH 2:3:1:4. fABRIKI, POSTAWIW[IE MENX[EE KOLI- ^ESTWO PRODUKCII, WYPUSKA@T BOLEE KA^ESTWNNU@ PRODUKCI@. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SLU^AJNYJ POKUPATELX KUPIT HORO[U@ OBUWX.

1.9uSLOWNAQ WEROQTNOSTX. nEZAWISIMOSTX SOBYTIJ

rASSMOTRIM WOPROS O TOM, KAK OPREDELITX WEROQTNOSTX KAKOGO-LIBO SOBYTIQ A PRI USLOWII, ^TO UVE PROIZO[LO DRUGOE SOBYTIE B: nA^NEM S PRIMERA. pUSTX BRO[ENA IGRALXNAQ KOSTX I REZULXTAT NEIZWESTEN, NO IZWESTNO, ^TO WYPALO ^ETNOE ^ISLO. mY HOTIM, ZNAQ \TU INFORMACI@, PODS^ITATX WEROQTNOSTX TOGO, ^TO WYPALO ^ISLO BOLX[E 3. tOGDA RE^X IDET OB USLOWNOJ WEROQTNOSTI SOBYTIQ A=fWYPALO ^ISLO BOLX[E TREHg PRI USLOWII, ^TO PROIZO[LO SOBYTIE B=fWYPALO ^ETNOE ^ISLOg. nAM UVE IZWESTNO, ^TO WYPALO LIBO f2g, LIBO f4g, LIBO f6g, I WSE \TI ISHODY RAWNOWOZMOVNY. sREDI \TIH ISHODOW SOBYTI@ A UDOWLETWORQ@T LI[X

21

	ISHODY f4g, I f6g. pO\TOMU ISPOLXZUQ KLASSI^ESKOE OPREDELENIE, ESTES-
	TWENNO OVIDATX OTNO[ENIE								2	. uSLOWNU@ WEROQTNOSTX BUDEM OBOZNA^ATX
								3							2
	SIMWOLOM P(A=B).					w PRIWEDENNOM PRIMERE P (A=B) =										. s DRUGOJ STO-
														3				1
		3		1							2		1								P (A	B)		2
																	3
	RONY P(B) =		=			; P (A		B) =				=		, TOGDA P (A=B) =				1	=				=		.
		6		2							6		3			2					P (B)			3

rASSMOTRIM SLU^AJ WEROQTNOSTI W PROSTRANSTWE , KOGDA BESKONE^- NOE NES^ETNOE MNOVESTWO. oPREDELIM USLOWNU@ WEROQTNOSTX P (A=B),

KOGDA WSE ISHODY RAWNOWOZMOVNY. tAK KAK IZWESTNO, ^TO SOBYTIE B PROIZO[LO, TO BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO TE \LEMENTARNYE ISHODY, KOTORYE SOOTWETSTWU@T SOBYTI@ B: rASSMOTRIM NOWOE PROSTRANSTWO \LEMENTARNYH SOBYTIJ 1 = B. wYBEREM MNOVESTWO ISHODOW IZ A; KOTOROE WHODIT W B; OBOZNA^IM EGO A1. A1 = A B. zA USLOWNU@ WE- ROQTNOSTX P(A=B) MOVNO WZQTX WEROQTNOSTX SOBYTIQ A PRI USLOWII, ^TO RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO SOBYTIQ SODERVA]IESQ W B. dLQ NOWOGO

PROSTRANSTWA 1 \TA WEROQTNOSTX RAWNA P(A=B) = mesA1 = P (A B).

mes 1 P (B)

pO\TOMU USLOWNAQ WEROQTNOSTX OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

oPREDELENIE.uSLOWNOJ WEROQTNOSTX@ SOBYTIQ A PRI USLOWII,

^TO PROIZO[LO SOBYTIE B S P (B) > 0, NAZYWAETSQ ^ISLO

P (A=B) = P (A B):

P(B)

eSLI \TO RAWENSTWO ZAPISATX INA^E

P(A B) = P (A) P(A=B);

TO EGO NAZYWA@T TEOREMOJ UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ SOBYTIJ. tAK KAK P (A B) = P (B A) = P (B) P(A=B), TO

P(A) P (B=A) = P (B) P (A=B):

u^ITYWAQ TEOREMU UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ, PRIWEDENNAQ RANEE TE- OREMA SLOVENIQ WEROQTNOSTEJ MOVET BYTX ZAPISANA TAK: P(A + B) =

P(A) + P (B) ; P (A) P (B=A) = P(A) + P(B) ; P (B) P (A=B): oPREDELENIE. sOBYTIQ A I B NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI, ESLI

P(A B) = P (A) P (B). dRUGIMI SLOWAMI SOBYTIQ A I B NEZAWISIMY, ESLI USLOWNAQ WEROQTNOSTX SOBYTIQ A RAWNA BEZUSLOWNOJ EGO WERO- QTNOSTI, T.E. P (A) = P(A=B), ILI P (B) = P (B=A).

oPREDELENIE. sOBYTIQ A1, A2, ..., An NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI W SOWOKUPNOSTI, ESLI DLQ L@BOGO NABORA INDEKSOW 1 k1 < k2 < : : : <

22