Teoria_veroyatnostey

53

pERWYJ IZ INTEGRALOW W PRAWOJ ^ASTI POLU^ENNOGO RAWENSTWA, RAWEN NUL@, KAK INTEGRAL OT NE^ETNOJ FUNKCII W SIMMETRI^NYH PREDELAH, A WTOROJ INTEGRAL (TAK NAZYWAEMYJ INTEGRAL pUASSONA) RAWEN p2 , T.E.

+	u2
Z1e; 2 du = p2
;1
tOGDA M = p2 pa2 = a.
zNA^IT, PARAMETR a NORMALXNOGO RASPREDELENIQ RAWEN MATEMATI^ES-

KOMU OVIDANI@ SOOTWETSTWU@]EJ SLU^AJNOJ WELI^INY, T.E. M = a. nAJDEM DISPERSI@ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY

+

+

2;2

dx

D = Z1(x ; M )2f(x)dx = p21 Z1(x ; a)2e;

(x a)2

;1

;1

iSPOLXZUEM ZAMENU PEREMENNOJ u =

x;a

.

tOGDA

1

+1

u2

2

+1

u2

D =

p

Z

2u2e; 2

du =

p

Z

u2e;

2

du:

2

2

;1

;1

u2

dALEE INTEGRIRUEM PO ^ASTQM, POLAGAQ u = t; ue;

du = d , OTKUDA

2

dt = du; = ;e;

u2

,

PO\TOMU

2

D =

2

(

ue; 2

;1 +

+

1e; 2

du):

p

;

u2

j;1

Z

u2

2

;1

u

pERWOE IZ SLAGAEMYH W SKOBKAH RAWNO NUL@, T.K.

lim

= 0, A

u2

u!+1 e

2

WTOROE RAWNO p2 .

2

2

zNA^IT, D =

p2 =

, iTAK, DISPERSIQ NORMALXNO RASPREDE-

p

2

LENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY RAWNA 2, TO ESTX D = 2, ESTX SREDNEE

KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE, TAK KAK = pD = p

= . pOSLE WY-

2

^ISLENIQ MAT. OVIDANIQ I DISPERSII STANOWITSQ QSNYM WEROQTNOSTNYJ

SMYSL PARAMETROW a I NORMALXNOGO RASPREDELENIQ.

1

;(x;a)2

gRAFIK FUNKCIIf(x) =

p

2 exp

2 2

(rIS. 1.)

(; ),

rIS. 1.

fUNKCIQ PLOTNOSTI NORMALXNOGO RASPREDELENIQ f(x) S PARAMETRAMI a = 0; = 1 NAZYWAETSQ PLOTNOSTX@ STANDARTNOGO NORMALXNOGO RAS- PREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY, TO ESTX DLQ STANDARTNOJ NORMALXNOJ

SLU^AJNOJ WELI^INY

f(x) = p1 exp;2x2 2

dLQ WY^ISLENIQ WEROQTNOSTI POPADANIQ ZNA^ENIQ SLU^AJNOJ WELI^I- NY, RASPREDELENNOJ NORMALXNO, W ZADANNYJ INTERWAL (; ) OBY^NO POLXZU@TSQ SPECIALXNOJ FUNKCIEJ

(x) = p1 Zx e;2u2 du 2 0

|TA FUNKCIQ NAZYWAETSQ FUNKCIEJ lAPLASA ILI INTEGRALOM WEROQT- NOSTI. eE ZNA^ENIQ DANY W TABLICE 2 (SM. pRILOVENIE) (TABULIROWA- NY). pRI ISPOLXZOWANII TABLICY SLEDUET POMNITX, ^TO FUNKCIQ (x)- NE^ETNAQ FUNKCIQ, PO\TOMU W TABLICE PRIWEDENY EE ZNA^ENIQ TOXKO DLQ POLOVITELXNOGO ARGUMENTA.

nAJDEM WEROQTNOSTX POPADANIQ NORMALXNOJ WELI^INY W INTERWAL ISPOLXZUQ STANDARTNU@ NORMALXNU@ WELI^INU. dLQ \TOGO WWE-

DEM SLU^AJNU@ WELI^INU = ;a . tOGDA M = 0, D = 1 (PREDLAGAETSQ ^ITATEL@ PROWERITX SAMOSTOQTELXNO). nERAWENSTWO < RAWNO- SILXNO NERAWENSTWU:

; a ; a < ; a;

PO\TOMU WEROQTNOSTI WYPOLNENIQ \TIH NERAWENSTW RAWNY, TO ESTX

54

P(

< ) = P (

;a

;a < ;a ): tEPERX MOVNO ZAPISATX

;a

P ( ; a

; a) =

1

2

P(

< ) =

<

Z

exp

;X2

dx

p2

;

;1

;a

Z0

;a

;

p

1

Z

; exp;2x2

dx =

p

1

exp;2x2

dx +

p

1

Z

exp;2x2

dx;

2

2

2

;1

;1

0

Z0

;a

;a

;

p12

exp

;2x2

dx ;

p

1

Z

exp

;2x2

dx =

p

1

Z

exp

;2x2

dx;

2

2

;1

0

0

;a

1

dx = ( ; a)

( ; a):

Z

exp

;2x2

;p2

;

0

iTAK, DLQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY S PARA- METRAMI a I IMEEM, ^TO

P( < ) = ( ; a) ; ( ; a): w ^ASTNOSTI, MOVNO POS^ITATX WEROQTNOSTI

P (j ; aj < ) = 0:6837; P (j ; aj < 2 ) = 0:9545; P (j ; aj < 3 ) = 0:9973;

pOSLEDNEE IZ RAWENSTW NAZYWAETSQ PRAWILO "TREH SIGM", ONO POKA- ZYWAET, ^TO WEROQTNOSTX OTKLONENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY OT SWOEGO MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ a MENX[E, ^EM NA 3 , BLIZKA K 1, TO ESTX TAKOE OTKLONENIE QWLQETSQ PRAKTI^ESKI DOSTOWERNYM SOBYTIEM.

pRIMER 1.

sLU^AJNAQ WELI^INA RASPREDELENA NORMALXNO S PARAMETRAMI a = 8; = 3. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SLU^AJNAQ WELI^INA W REZULXTATE OPYTA PRIMET ZNA^ENIE, ZAKL@^ENNOE W INTERWALE (12:5; 14).

rE[ENIE. zDESX = 12:5; = 14, PO\TOMU p(12:5

< 14) =

(

14;8

)

;

(

12:5;8

) = (2)

;

(1:5) = 0:4773

;

0:4332

= 0:0441: pO

3

3

TABLICE 2 (SM. pRILOVENIE) (2) = 0:4773; (1:5) = 0:4332:

pRIMER 2. sLU^AJNAQ POGRE[NOSTX IZMERENIQ POD^INENA NORMALX- NOMU ZAKONU RASPREDELENIQ S PARAMETRAMI a = 0; = 9. pROWODQTSQ TRI NEZAWISIMYH IZMERENIQ. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO POGRE[NOSTX HO- TQ BY ODNOGO IZMERENIQ NE PREWOSHODIT PO ABSOL@TNOJ WELI^INE 3.

55

rE[ENIE. nAJDEM WEROQTNOSTX TOGO, ^TO POGRE[NOSTX IZMERENIQ W ODNOM ISPYTANII NE PREWY[AET 3.

p(	j	< 3) = (	3)	;	(;3) = 2 (	3) = 0:2586
j			9		9	9

wEROQTNOSTX TOGO, ^TO \TA POGRE[NOSTX PREWY[AET 3 RAWNA

p(j j > 3) = 1 ; p(j j < 3) = 0:7414

wEROQTNOSTX TOGO, ^TO WO WSEH TREH ISPYTANIQH POGRE[NOSTX IZMERE- NIQ PREWY[AET 3, PO TEOREME UMNOVENIQ WEROQTNOSTEJ RAWNA PROIZWE-

DENI@ WEROQTNOSTEJ p(j j < 3)3 = 0:4075, TOGDA ISKOMAQ WEROQTNOSTX RAWNA 1 ; (p(j j < 3)3) = 0:5925.

zADA^I

1.mATEMATI^ESKOE OVIDANIE NORMALXNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY xi; a = 3, A SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE = 2. nAPISATX FUNKCI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI .

2.mATEMATI^ESKOE OVIDANIE I SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY SOOTWETSTWENNO RAW- NY 10 I 2. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO W REZULXTATE ISPYTANIQ PRIMET ZNA^ENIE, ZAKL@^ENNOE W INTERWALE (12,14).

3.pROIZWODITSQ IZMERENIE DIAMETRA WALA BEZ SISTEMATI^ESKIH O[I- BOK. sLU^AJNYE O[IBKI IZMERENIQ POD^INENY NORMALXNOMU ZAKONU SO SREDNIM KWADRATI^ESKIM OTKLONENIEM = 10. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO,^TO IZMERENIE BUDET PROIZWEDENO S O[IBKOJ, NE PREWOSHODQ]EJ PO ABSOL@TNOJ WELI^INE 15MM.

4.sISTEMATI^ESKAQ O[IBKA UDERVANIQ WYSOTY SAMOLETOM +20M, A SLU^AJNAQ O[IBKA HARAKTERIZUETSQ SREDNIM KWADRATI^ESKIM OTKLONE- NIEM, RAWNYM 50M. dLQ POLETA SAMOLETA OTWEDEN KORIDOR WYSOTOJ 100M. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SAMOLET BUDET LETETX NIVE, WNUTRI I WY- [E KORIDORA, ESLI SAMOLETU ZADANA WYSOTA, SOOTWETSTWU@]AQ SEREDINE KORIDORA.

5.nORMALXNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA ESTX O[IBKA IZMERENIQ NEKO- TOROGO RASSTOQNIQ. pRI IZMERENII DOPUSKAETSQ SISTEMATI^ESKAQ O[IB- KA W STORONU ZAWY[ENIQ NA 1.2SM., SREDNEE KWADRATI^ESKOE OTKLONENIE O[IBKI IZMERENIQ RAWNO 0.8SM. nAJTI WEROQTNOSTX TOGO, ^TO OTKLONE- NIE IZMERENNOGO ZNA^ENIQ OT ISTINNOGO NE PREWZOJDET PO ABSOL@TNOJ WELI^INE 1.6SM.

56

2.7nEKOTORYE WEROQTNOSTNYE RASPREDELENIQ

w TEORII WEROQTNOSTEJ, KROME NORMALXNOGO RASPREDELENIQ, ISPOLX- ZU@TSQ E]E RQD DRUGIH RASPREDELENIJ, NEKOTORYE IZ NIH PRIWODQTSQ NIVE.

I. dISKRETNYE RASPREDELENIQ

1. wYROVDENNOE RASPREDELENIE - SLU^AJNAQ WELI^INA SOSREDOTO^E- NA W TO^KE a, TO ESTX p( = a) = 1, EGO HARAKTERISTIKI:M = a; D = 0.

2. rASPREDELENIE bERNULLI - SLU^AJNAQ WELI^INA ZADANA RQDOM

RASPREDELENIQ P( = k) = Cnkpkqn;k; k = 0; 1; ::; n,

GDE q = 1

;

p. tOGDA

M = np; D = npq.

3. gEOMETRI^ESKOE RASPREDELENIE - SLU^AJNAQ WELI^INA ZADAETSQ

RQDOM RASPREDELENIQ. P ( = k) = p(1

;

p)k; k = 0; 1; 2; ::. tOGDA M =

1

;

p

1

p

; D =

;2

.

p

p

4.

rASPREDELENIE pUASSONA - SLU^AJNAQ WELI^INA ZADANA RQDOM

RASPREDELENIQ P( = k) =

k

e; . tOGDA M = ; D = .

k!

II. nEPRERYWNYE RASPREDELENIQ.

1. rAWNOMERNOE RASPREDELENIE - SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNK-

CI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

62

f(x) = 8

1

2:

0;

x

2

[a; b];

;

<

; x

[a; b]:

b

a

tOGDA M =

b;a

; D =

(b;a) .

2.

2

12

- SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@

rASPREDELENIE sIMPSONA

PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

2

2

f(x) = 8 b;a

; (b;a)2

ja + b ;

2xj; x

2

[a; b];

<

0;

x

26

[a; b]:

tOGDA M =

2

:3

+ b

3

;

2(

a+b

3

); D =

(a

;

b)2

.

3(b;a)

2 (a

2

)

24

3. pOKAZATELXNOE (\KSPONENCIALXNOE) RASPREDELENIE - SLU^AJNAQ WE-

LI^INA IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

f(x) = 8

e; x; x 0

; > 0:

<

0;

x < 0

tOGDA M =

1

1

:

; D = 2 .

57

4. rASPREDELENIE lAPLASA - SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

f(x) = 2 e; jx;aj; x 2 [;1; +1]; > 0:

tOGDA M = 2; D =

2

2

5. rASPREDELENIE wEJBULLA-gNEDENKO - SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET

FUNKCI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

f(x) = 8 2 x ;1e; x ; x > 0;

:

0;

x

0:

<

M = ;

1

1

+1); D = ;

2

[

);

GDE

> 0; > 0:

tOGDA

2

;(

;(

(;(

))

];

2

2 2 1

1 2

GDE ;(x) - GAMMA-FUNKCIQ.

6. zAKON ARKSINUSA - SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@ PLOTNOS- TI WEROQTNOSTI

f(x) = 8		1		; x 2		(;a; a);
		p	a2;x2
a2	:	0;		x	26	(	;	a; a):
	<

tOGDA M = 0; D =

:

2

7. rASPREDELENIE mAKSWELLA - SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@

PLOTNOSTI RASPREDELENIQ

f(x) = 8

4h3 2

h2x2

p

x e;

; x 0;

<

0;

x < 0:

2

1

3

:

4

tOGDA M = hp

; D = h2

(2

; ).

8. gAMMA-RASPREDELENIE -

SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@ PLOT-

NOSTI WEROQTNOSTI

1

x

f(x) = 8 +1

;( +1) x e; ;

x > 0 ; >

;

1; > 0:

<

0;

x

0

:

tOGDA M = ( + 1) ; D = 2( + 1); ;( ) = +01x ;1e;xdx:

R

9. bETA-RASPREDELENIE { SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@ PLOT-

NOSTI WEROQTNOSTI

f(x) = 8

;(a+b)

xa;1(1

; x)b;1; x 2 (0; 1)

;(a) ;(b)

:

26

<

0;

x

(0; 1):

GDE a > 0; b > 0:

58

tOGDA M =

a

; D =

ab

; ;(x) - GAMMA-FUNKCIQ.

a+b

(a+b)2

(a+b+1)

10. rASPREDELENIE r\LEQ

-

SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@

PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

x

x2

>

2 e;2 2 ; x

0;

f(x) = 8

<

0;

x < 0:

>

tOGDA M = q

; D =

(4;2 ) 2

.:

2

11. rASPREDELENIE kO[I - SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@

PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

1

f(x) =

; > 0:

2 + (x ; a)2

tOGDA M = 1; D = 1.

12. lOGARIFMI^ESKI NORMALXNOE (LOGNORMALXNOE) RASPREDELENIE -

SLU^AJNAQ WELI^INA IMEET FUNKCI@ PLOTNOSTI WEROQTNOSTI

f(x) = 8

1

e;

(ln x;a)2

; x > 0

x p

2 2

2

>

0;

x

0

<

2

>

:

tOGDA

M = e;

+a

; D = e

2

+2a

(e

2

;

1).

2

n

i, GDE

13. hI-KWADRAT RASPREDELENIE -

SLU^AJNAQ WELI^INA =

i=1

P

i - NEZAWISIMYE NORMALXNO RASPREDELENNYE SLU^AJNYE WELI^INY S PA-

RAMETRAMI 0,1. tOGDA

f(x) = 8

1

n

1

x

e;2

2n=2;(n=2) x2

; x > 0;

;

<

0;

x

0:

i M = n; D = 2n; ;(x) {:GAMMA-FUNKCIQ, n { ^ISLO STEPENEJ SWOBODY.

14. rASPREDELENIE sTX@DENTA - SLU^AJNAQ WELI^INA =

pn

, GDE -

p

n

NORMALXNO RASPREDELENNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA S PARAMETRAMI 0, 1; n {

NEZAWISIMAQ OT WELI^INA S RASPREDELENIEM hI-KWADRAT S n STEPENQMI

SWOBODY. tOGDA PLOTNOSTX RASPREDELENIQ

;(

n+1

)

2

n+1

2

x

:

f(x) = pn ;(

n

)(1 +

n ); 2

2

M = 0; D =

n

.

n;2

59

2.8zAKON BOLX[IH ^ISEL

rANEE UVE OTME^ALOSX, ^TO MASSOWYE SLU^AJNYE QWLENIQ OBLADA@T SWOIMI ZAKONOMERNOSTQMI. sWOJSTWO USTOJ^IWOSTI W KAKOJ BY OBLASTI NE POQWLQLOSX KOROTKO MOVNO OHARAKTERIZOWATX TAK: KONKRETNYE OSO- BENNOSTI KAVDOGO OTDELXNOGO SLU^AJNOGO QWLENIQ PO^TI NE SKAZYWA@T- SQ NA SREDNEM REZULXTATE MASSY TAKIH QWLENIJ; SLU^AJNYE OTKLONENIQ OT SREDNEGO ZNA^ENIQ W KAVDOM OTDELXNOM QWLENII W MASSE WZAIMNO PO- GA[A@TSQ, NIWELIRU@TSQ, WYRAWNIWA@TSQ. iMENNO \TA USTOJ^IWOSTX SREDNIH I PREDSTAWLQET SOBOJ FIZI^ESKOE SODERVANIE "ZAKONA BOLX[IH ^ISEL", PONIMAEMOGO W [IROKOM SMYSLE SLOWA: PRI O^ENX BOLX[OM ^IS- LE SLU^AJNYH QWLENIJ SREDNIJ IH REZULXTAT PRAKTI^ESKI PERESTAET BYTX SLU^AJNYM I MOVET BYTX PREDSKAZAN S BOLX[OJ STEPENX@ OPRE- DELENNOSTI. w UZKOM SMYSLE SLOWA "ZAKON BOLX[IH ^ISEL" W TEORII WEROQTNOSTEJ PONIMAETSQ RQD MATEMATI^ESKIH TEOREM, W KAVDOJ IZ KO- TORYH DLQ TEH ILI INYH USLOWIJ USTANAWLIWAETSQ FAKT PRIBLIVENIQ SREDNIH HARAKTERISTIK BOLX[OGO ^ISLA OPYTOW K NEKOTORYM OPREDE- LENNYM POSTOQNNYM.

rASSMOTRIM SNA^ALA

nERAWENSTWO ~EBY[EWA.dLQ L@BOJ SLU^AJNOJ WELI^INY , IME- @]EJ KONE^NU@ DISPERSI@, PRI KAVDOM " > 0 IMEET MESTO NERAWEN- STWO:

D

P (j ; M j ") "2 :

dOKAZATELXSTWO. pUSTX f(x) | FUNKCIQ PLOTNOSTI SLU^AJNOJ WE-

LI^INY , TO
	P (j ; M j ") =				Z		f(x)dx:
				j ;M j "
tAK KAK W OBLASTI INTEGRIROWANIQ					jx;M j			1, TO
				"
Z	1		Z	(x ; M )2f(x)dx
	f(x)dx
		"2
j ;M j "			j ;M j "

nERAWENSTWO DOKAZANO.

D "2 :

60

sLEDSTWIE. dLQ L@BOJ SLU^AJNOJ WELI^INY SPRAWEDLIWO NERA- WENSTWO:

								1
P (j ; M j 3qD ) 9:
dOKAZATELXSTWO. pUSTX W NERAWENSTWE ~EBY[EWA " = 3p										, TOGDA
									D
	D				1
P(j ; M j 3pD ) (3p		D	)2	= 9; TO ESTX DLQ L@BOJ SLU^AJNOJ WE-

LI^INY WEROQTNOSTX TOGO, ^TO OTKLONENIE SLU^AJNOJ WELI^INY OT EE MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ WYJDET ZA PREDELY TREH SREDNIH KWADRA- TI^ESKIH OTKLONENIJ, NE MOVET BYTX BOLX[E 1/9.

tEOREMA (~EBY[EWA). eSLI 1; 2; : : : ; n; : : : | POSLEDOWATELXNOSTX

POPARNO NEZAWISIMYH SLU^AJNYH WELI^IN, IME@]IH KONE^NYE DISPER-

SII, OGRANI^ENNYE ODNOJ I TOJ VE POSTOQNNOJ
D 1 C; D 2 C; : : : ; D n C,
		TO KAKOWO BY NE BYLO POSTOQNOE
" > 0	1 n	1 n
	X	X
	nlim!1 P fjn k=1	k ; n k=1 M kj < "g = 1:

tAKAQ SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI SLU^AJNYH WELI^IN NAZYWA- ETSQ SHODIMOSTX@ PO WEROQTNOSTI.

dOKAZATELXSTWO. u^ITYWAQ POPARNU@ NEZAWISIMOSTX SLU^AJNYH WELI^IN, POLU^IM, ^TO

M 0 1

n

k1 = 1

n

M k; D 0 1

n

k1 =

1

n

D k;

X

X

X

2

X

@

n

A

n

@

n

A

n

k=1

k=1

k=1

k=1

1

n

C

TAK KAK

D

C,

DLQ WSEH

k,

TO

D

n kP=1 k!

n

:

iSPOLXZUQ NERAWENSTWO ~EBY[EWA, IMEEM

1

n

1

n

D

1

k=1n k!

C

n

P

fjn

X

k

; n

X

M k

j

< "

g

1

;

"2

1

; n"2

:

P

k=1

k=1

pEREHODQ K PREDELU PRI n ! 1, POLU^IM, ^TO

1

n

1

n

X

X

nlim!1 Pfjn k=1 k ; n k=1 M kj < "g 1:

nO TAK KAK WEROQTNOSTX NE MOVET BYTX BOLX[E EDINICY, TO OTS@DA I SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY.

sLEDSTWIE 1 (tEOREMA bERNULLI). pUSTX | ^ISLO NASTUP-

LENIJ SOBYTIQ A W n NEZAWISIMYH ISPYTANIQH I p ESTX WEROQTNOSTX

61

WA.

pkqk

14, TO

NASTUPLENIQ SOBYTIQ A W KAVDOM IZ ISPYTANIJ. tOGDA DLQ L@BOGO

" > 0

lim P (j ; pj < ") = 1

n!1 n

dOKAZATELXSTWO. wWEDEM SLU^AJNYE WELI^INY k RAWNYE ^ISLU POQWLENIJ SOBYTIQ A PRI k-M ISPYTANII, TO ESTX k ESTX LIBO 0 LIBO

1, IMEEM = 1 + 2 + : : : + n, A TAK KAK M k = p; D k = pq

TEOREMA bERNULLI | ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY ~EBY[EWA. sLEDSTWIE 2 (tEOREMA pUASSONA). eSLI W POSLEDOWATELXNOSTI

NEZAWISIMYH ISPYTANIJ WEROQTNOSTX POQWLENIQ SOBYTIIQ A W k-M IS- PYTANII RAWNA pk, TO

n

lim P(j ; kP=1 pk j < ") = 1;

n!1 n n

GDE | ^ISLO POQWLENIJ SOBYTIQ A W PERWYH n ISPYTANIQH.

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM SLU^AJNYE WELI^INY k RAWNYE ^IS- LU POQWLENIQ SOBYTIQ A W k-M ISPYTANII. tOGDA M k = pk; D k =14, I TEOREMA pUASSONA ESTX ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY ~EBY[E-

w TEOREME ~EBY[EWA ESTX DWA VESTKIH TREBOWANIQ: 1) NEZAWISIMOSTX SLU^AJNYH WELI^IN; 2) KONE^NOSTX DISPERSIJ SLU^AJNYH WELI^IN. pRI- WEDEM BEZ DOKAZATELXSTWA DWE TEOREMY, W KOTORYH \TI USLOWIQ ZAMENENY NA DRUGIE.

tEOREMA mARKOWA.pUSTX IMEETSQ ZAWISIMYE SLU^AJNYE WELI^I-

NY 1; 2; : : : ; n; : : :. eSLI

	D(		n		k)
			k=1
			n2		!		0; n	! 1	;
			P
TO DLQ L@BOGO " > 0
1			n		1		n
		X					X
nlim!1 P fjn k=1				k ; n k=1 M kj < "g = 1:

tEOREMA hIN^INA. eSLI SLU^AJNYE WELI^INY 1; : : : ; n NEZAWI- SIMY, ODINAKOWO RASPREDELENY I IME@T KONE^NYE MATEMATI^ESKIE

OVIDANIQ (a = M k), TO
1	n
	X	k ; aj < "g = 1:
nlim!1 Pfjn k=1

62