Правило Крамера

Рассмотрим случай, когда число   уравнений равно числу   неизвестных  , т.е. систему

(5.6)

где матрица системы — квадратная n-го порядка:

Ее определитель обозначим

Теорема 5.1 (правило Крамера). Если определитель   матрицы системы   линейных уравнений с   неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где   — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов, т.е.

В самом деле, рассмотрим систему (5.6) как матричное уравнение  . Так как определитель   матрицы   отличен от нуля, по теореме 4.2 заключаем, что матричное уравнение   имеет единственное решение:

где   — обратная матрица. Запишем i-й элемент столбца  , учитывая, что в i-й строке присоединенной матрицы   стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы 

Заметим, что в скобках записано разложение определителя   по i-му столбцу, т.е.  , что и требовалось доказать.

Замечания 5.1

1. На практике при больших   правило Крамера не применяется, так как вычисление   определителя n-го порядка требует большого числа арифметических операций. Поэтому применяются более экономичные алгоритмы. Обычно, правило Крамера используется, когда нужно найти только несколько неизвестных (например, одну) среди многих. В теоретических исследованиях правило Крамера незаменимо и используется весьма продуктивно.

2. Если   и хотя бы один определитель  , то система несовместна. Если  , то возможны два случая: либо система несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Пример 5.1. Решить систему линейных уравнений с помощью правила Крамера

Решение. Составим матрицу системы  . Вычислим ее определитель

Так как определитель отличен от нуля, система имеет единственное решение (см. теорему 5.1). Находим определители   и неизвестные   

Условие совместности системы линейных уравнений

Рассмотрим систему (5.3)   линейных уравнений с   неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице   справа столбец свободных членов. Получим расширенную матрицу системы:

(5.7)

Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных.

Теорема 5.2 Кронекера-Капелли. Система   совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:  .

Необходимость следует из равенства (5.5) и следствия 1 теоремы 3.3. Если система имеет решение, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы системы. Поэтому при вычеркивании столбца Ь из расширенной матрицы   ее ранг не изменяется. Следовательно,  .

Для доказательства достаточности нужно использовать теорему о базисном миноре. Из равенства   следует, что базисный минор матрицы   является базисным минором расширенной матрицы  . Поэтому столбец   является линейной комбинацией столбцов базисного минора матрицы  , а, значит, и всех столбцов матрицы  . Следовательно, существуют числа  , удовлетворяющие условию (5.5), т.е. система совместна.

Замечание 5.2. Теорема Кронекера-Капелли дает лишь критерий существования решения системы, но не указывает способа отыскания этого решения.

Пример 5.2. Определить, имеет ли система уравнений решения

Решение. Составим матрицу системы и расширенную матрицу системы

Ранг матрицы   равен 2, так как она имеет не равные нулю миноры второго порядка и третья строка этой матрицы равна сумме первых двух строк. Следовательно, третью строку можно вычеркнуть, при этом ранг матрицы не изменится. Ранг расширенной матрицы равен трем, так как она имеет не равный нулю минор третьего порядка, например, минор, составленный из первого, второго и последнего столбцов расширенной матрицы

Следовательно,  . Поэтому система несовместна (не имеет решений).