Действительная функция комплексного переменного f(X) непрерывная в замкнутом круге е достигает своего минимума и максимума.
Доказательство основной теоремы.
Лемма №1.
Надо
доказать, что
|f(x0+x)-f(x0)|<e.
Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x0=0
Если
A=max(|a0
|,|a1|,.,|a
n-1|)
и
(1)
то
|f(x)|=|a0xn+.+an-1x|
|
|
|
|
,
|
|
|
|
т.к |x|<б ,и из (1) б<1, то
т.к.
a0=0
то f(0)=0
Что и требовалось доказать.
Теперь докажем непрерывность любого многочлена.
f(x0+x)=a0(x0+x)n+.+an
pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены с
одинаковыми степенями x получим
Многочлен
g(x)-это многочлен от x при x0
=0 и а0=0
|f(x0+x)-f(x)|=|g(x)|<e
Лемма доказана.
Лемма №2
Если дан многочлен n-ой степени, n>0,
f(x)=a0xn+a1xn-1+.+an
с произвольными комплексными коэффициентами и если k- любое
положительное действительное число, то для достаточно больших по модулю
значений x верно неравенство:
|a0xn|>k|a1xn-1+a2xn-2+..+an| (2)
Доказательсво.
Пусть
А=max(
),
тогда
пологая |x|>1, получим
откуда
следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и
Лемма №2 доказана.
Лемма №3.
Доказательство.
(3)
применим лемму 2: при k=2 существует такое N1 , что при |x|> N1
|a0xn|>2|a1xn-1+a2xn-2+..+an|
откуда
|a1xn-1+a2xn-2+..+an|<|a0xn|/2
тогда из (3)
при |x|>N=max(N1 ,N2) |f(x)|>M что и тебовалось доказать.
Лемма №3(Лемма Даламбера).
Если
при x=x0
многочлен f(x)
степени n,
не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случае
комплексное, что
|f(x0+h)|<|f(x)|
Доказательство.
По условию f(x0) не равно нулю, случайно может быть так, что x0
является корнем f’(x),..,f(k-1) (x). Пусть k-я производная будет
первой, не имеющей x0 своим корнем. Такое k существует т.к.
f(n)( x0)=n!a0
Таким образом
|
|
|
|
Т.к f(x0) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x0)
и
обозначим
Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и его
аргумент.
По
лемме№1:
С другой стороны при
(4)
Пусть |h|<min(б1, б2), тогда
Теперь выберем аргумент h так, чтобы ckhk было
действительным отрицательным числом.
При таком выборе ckhk=-| ckhk| следовательно учитывая (4) получим
Что доказывает лемму Даламбера.
Лемма №5.
Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна в
замкнутом круге Е, то она ограничена.
Доказательство.