29. Коллиниарность, комплонарность и линейная зависимость векторов.

Два вектора коллинеарны, если, отложив их от одной точки, мы получим, что их концы и их общее начало коллинеарны.

Любой вектор коллинеарен нулевому. Вектор a коллинеарен ненулевому вектору bтогда и только тогда, когда эти векторы пропорциональны, т.е. найдется такое число k, что a = kb.

Существует несколько вариантнов определения компланарности трех векторов в пространстве. Приведем основные из них.

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскоти.

Три вектора называются компланарными, если они лежат на параллельных плоскостях или на одной плоскости.

Три вектора называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Для трех векторов верны следующие утверждения:

• если из трех векторов два коллинеарны, то эти тре вектора компланарны;

• смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0 (нулю) - это критерий компланарности трех векторов.

Смешанное произведение трех векторов a=(x_a,y_a,z_a), b=(x_b,y_b,z_b) и c=(x_c,y_c,z_c) вычисляется по следующей формуле:

Если это произведение равно 0, то векторы компланарны

Линейная зависимость векторов

            Определение. Векторы   называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно _i , т.е. .

Если же только при _i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

            Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

            Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

            Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

            Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

            Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

            Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

30. Проекция вектора на ось, свойства.

Проекцией т. на ось  именуется основание перпендикуляра  , который опущен из т. на :   . Составляющей вектора по оси является число  . Используется знак (+) , если  , и знак (-) — когда .В том случае если является единичным вектором (то есть ) в направлении , то .

Рис. 2.7

Свойства проекций

1⁰. , где .

Если , тогда из получаем (рис. 2.8).

Если , то (рис. 2.9).

2⁰. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов на  .

Доказательство будет геометрическим (рис 2.10).

 

Рис. 2.8

Рис. 2.9

 

Рис. 2.10

3⁰. . доказательство осуществляется исходя из свойства 1⁰.

31. Скалярное произведение. Критерий ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов

Рассмотрим два произвольных вектора:   и 

О пределение 9.15. 

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a.

О пределение 9.16. 

Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так: 

О пределение 9.17. 

Скалярным произведением векторов   и   называется произведение их длин на косинус угла между ними: 

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

• Скалярное произведение двух векторов   и   заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле 

Перечислим основные свойства скалярного произведения, которые также доказываются аналогично планиметрическим.

Для любых векторов     и   и любого числа λ справедливы равенства:

1.  причем 

2.  (переместительный закон).

3.  (распределительный закон).

4.  (сочетательный закон).

Условие ортогональности двух векторов:

 или  .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Примеры.

1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2),  . Найти:

   1. ;

   2.  и  ;

   3. .

      1. .

      2. .

      3. .

2. Найти   в  , если известны координаты его вершин A(1; 5; 6),

B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).

3. При каком значении m векторы   и   перпендикулярны?

Условие ортогональности двух векторов  .

. Следовательно, m = 15.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов   и    .

Очевидно, из определения скалярного произведения:

.

2. Для любого числа λ и любых векторов   имеем:

.

Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами   и   совпадает с углом между векторами   и  ,  .

Поэтому  . Откуда 

Аналогично доказывается и равенство  .

Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

3. Для любых векторов   выполняется равенство  .

Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

4. Для любого вектора   выполняется соотношение .

Действительно, так как  , то  .

Из этого свойства в частности следует  .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.