3. Сопряжения и его свойства?

Представление комплексного числа в виде   называется каноническим представлением комплексного числа. Число  называется вещественной частью числа 

Число   называется мнимой частью числа 

Если  , то число   называется мнимым числом. Если  , то   называется чисто мнимым числом.

Число   называется сопряженным с  .

Теорема.

1.   — вещественные числа,   неотрицательно. 2.  3. Число   вещественно в том и только том случае, если  . Число   чисто мнимое, если  .

Доказательство.

1. Первое утверждение доказано.

2. Второе доказывается аналогично.

3.

4.

4.Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что  . Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

1.		- аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел
2.		- аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел
3.
4.		- аргумент от сопряженного к комлексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа.

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Для любых комплексных числе z, z₁, z₂ имеют место следубщие свойства модуля:

1.	, причем |z| = 0 тогда и только тогда, когда z = 0
2.	- неравенство треугольника для комплексных чисел
3.
4.
5.	для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости

ригонометрическая форма записи комплексного числа:

Показательная форма записи комплексного числа:

где r - модуль, а φ - аргумент комплексного числа.

Для тригонометрической формы записи верны следующие свойства:

1.
2.
3.

Для показательной формы записи справедливы следующие свойства:

1.
2.
3.
4.
5.

Формула Муавра:

5. Извлечение корня n-степени из комплексного числа?

Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.   Таким образом, равенство:

равносильно равенству

ⁿ(cos n + i sin n) = r (cos  + i sin )

  Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

ⁿ = r,     n =  + 2k,

откуда

где   есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.   В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2, ..., (n-1)

(17)

  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k₁ и k = k₂ тогда, когда аргументы   и   отличаются не кратным 2, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2.   Но разность (k₁ - k₂) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

не может быть кратна 2, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.   Пусть теперь k₂ - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

k₂ = qn + k₁

где q - целое число и k₁ - любое число из ряда (17), а потому

,

т.е. значению k₂ соответствует то же значение корня, что и значению k₁, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.   Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.