37. Пск. Формулы перехода в пдск. Другие системы координат. Полярные координаты

Полярные координаты.

Основная статья: Полярная система координат

В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.

Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические исферические системы координат.

[Править]Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

Основная статья: Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r,θ,h). В терминах декартовой системы координат,

(радиус) — расстояние от оси z к точке P,
(азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
h (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.

Примечание: в литературе можно встретить пометку z для h; это не принципиально, но нужно следить, какие отметки применяются.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x + 2y = 2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c

[Править]Сферические координаты

Сферические координаты.

Основная статья: Сферическая система координат

Сферические координаты — трехмерный аналог полярных

[Править]Обозначения, принятые в Америке

В сферической системе координат, расположение точки P определяется тремя компонентами: (ρ,ϕ,θ). В терминах декартовой системы координат,

(радиус) — это расстояние от точки Р до полюса,
(широта или полярный угол) — угол между z-осью и прямой, проведённой из полюса до точки P
(азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой» x-осью и проекцией прямой, проведённой из полюса до точки P на xy-плоскость.

Примечание: в литературе можно встретить пометку φ или θ, а также r для ρ;

Сферическая система координат также имеет недостаток: φ теряет смысл если ρ = 0, также и θ теряет смысл, если ρ = 0 или φ = 0 или φ = 180°.

Для построения точки по её сферическими координатами, нужно: от полюса отложить отрезок, равный ρ вдоль положительной z-оси, вернуть его на угол φ вокруг оси y в направлении положительной x-оси, и вернуть на угол θ вокругz-оси в направлении положительной y-оси.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных вокруг точки. Так, уравнение сферы в декартовых координатах выглядит как x² + y² + z² = c², тогда как в сферических становится намного проще: ρ = c.

[Править]Европейские обозначения

В Европе принято использовать другие обозначения. Положение точки задаётся числами: (r,θ,φ) , Где r — расстояние от точки до начала координат, θ — полярный угол, который изменяется в пределах от 0 до π, — Азимутальный угол, который изменяется в пределах от 0 до 2π. То есть, в европейской системе, которая применяется также и в России, обозначения для углов переставлены по сравнению с американской.

[править]Переход из одной системы координат в другую

[править]Декартовы и полярные

где u₀ — функция Хевисайда с u₀(0) = 0, а sgn — функция signum . Здесь функции u₀ и sgn используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (y, x), которая находит правильный θ в необходимом квадранте, определённом x и y.