32. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Длина вектора и угол между ними. Пример.

ртонормированный базис. Если векторы e _{1 ,} e ₂ , e ₃ попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называетсяортонормированным, а координаты x ₁, x ₂, x ₃ - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R ³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.

Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе

Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:

— если векторы   и   относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты   и   соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

— если векторы   относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты   и   соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис  . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов   и  получаем:

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому

что и требовалось доказать.

Замечания 1.10.

1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом   можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом  , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов   и   можно получить из (1.10), полагая  .

2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если   и   координатные столбцы векторов   и   в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:

Для векторов на плоскости соответственно получаем

3. Координаты вектора   в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты   базисного вектора  , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).

4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения (см. разд. 1.6.2).

Пример 1.15. Даны векторы .

Найти скалярные произведения .

Решение. По формуле (1.10) вычисляем

Сравнивая вектор   со скалярными произведениями  обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.

Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам  соответствуют координатные столбцы

Поэтому

что совпадает с полученными ранее результатами.

Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед   построен на векторах  (см. рис. 1.38). Точка   — центр грани  , точка   делит ребро   в отношении  . Требуется найти:

а) величину   угла между векторами   и  ;

б) длину ортогональной проекции вектора   на прямую  .

Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе  :

(см. решение примера 1.12)

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):

Длина   была найдена в примере 1.12.

Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла

 т.е. 

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3: