- •Определители поля. Примеры поля комплексных чисел?
- •Алгебраическая запись комплексного числа. Операции над комплексными числами, их св-ва?
- •Сопряжения и его свойства?
- •4.Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.
- •Извлечение корня n-степени из комплексного числа?
- •6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?
- •7.Теорема Декарта-Безу, схема Горнера. Пример
- •Доказательство
- •8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пример. Основная теорема алгебры. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
- •Следствие
- •Действительная функция комплексного переменного f(X) непрерывная в замкнутом круге е достигает своего минимума и максимума.
- •Предположим, что это не верно тогда
- •9. Матрицы. Сложение матриц, умножение матриц на число, их свойства.
- •Умножение матрицы на число
- •Свойства умножения матрицы на число
- •10. Умножение матриц, свойства. Пример.
- •11. Транспонирование матриц, свойства. Обратная матрица и её свойства. Транспонирование матриц
- •Транспонирование матрицы
- •Обратная матрица
- •12.Элементарные преобразования строк и столбцов матриц, их матричная интерпретация.
- •18. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.
- •23.Невырожденная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
- •25. Пространство решений однородной слу. Фундаментальная система решений.
- •27.Структура множества решений слу. Способы решений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Постановка задачи
- •Правило Крамера
- •Условие совместности системы линейных уравнений
- •28. Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и свойства.
- •29. Коллиниарность, комплонарность и линейная зависимость векторов.
- •Линейная зависимость векторов
- •30. Проекция вектора на ось, свойства.
- •31. Скалярное произведение. Критерий ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов
- •32. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Длина вектора и угол между ними. Пример.
- •Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
- •Длина вектора Понятие вектора
- •33. Определение векторного и смешенного произведения векторов. Критерии комплонарности и колинеарности векторов в координатной форме. Площадь паралеограма и объём параллелепипеда.
- •34.Свойство векторного и смешенного произведения. Геометрические свойства векторного произведения Править
- •Алгебраические свойства векторного произведения Править
- •Выражение для векторного произведения в декартовых координатах Править
- •Свойства
- •35.Выражение векторного и смешенного произведения через координаты векторов.
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •36.Пдск. Координаты точки и координаты векторов. Преобразование координат при переходе к другой пдск.
- •Система координат и координаты вектора
- •37. Пск. Формулы перехода в пдск. Другие системы координат. Полярные координаты
- •[Править]Цилиндрические координаты
- •[Править]Сферические координаты
- •[Править]Обозначения, принятые в Америке
- •[Править]Европейские обозначения
- •38. Понятие об уравнении фигуры. Объединение пересечение фигур.
- •39. Уравнения примой на плоскости.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •40. Уравнение плоскости.
- •41. Уравнение прямой в пространстве.
- •42. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Пример. Угол между прямыми на плоскости
- •Угол между плоскостями
- •43. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между прямыми, между плоскостями. Пример. Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до плоскости
- •44. Эллипс. Директрисы и оптические свойства гиперболы. Ллипс
- •46. Парабола. Парабола
- •47. Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
- •48. Собственные числа, собственные векторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •49. Привидение в квп к каноническому виду.
- •50. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности второго порядка
Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках:
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
нормальное уравнение прямой:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .
Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; a = 4; -4.
a = -4 не подходит по условию задачи.
Итого: или х + у – 4 = 0.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.
Уравнение прямой имеет вид: >, где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.
40. Уравнение плоскости.
Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.
Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.
Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.
Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.
Теорема 11.1 Пусть вектор является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение
|
(11.1) |
является уравнением плоскости .
Доказательство. Пусть -- некоторая точка плоскости (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.
Рис.11.1.
Вектор лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства
|
(11.2) |
Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1).
Пусть r -- радиус-вектор текущей точки плоскости , -- радиус-вектор точки . Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде
Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости .
Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка -- фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение (11.1) принимает вид
|
(11.3) |
Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, так как .
Верно и обратное утверждение:
Теорема 11.2 Всякое уравнение (11.3), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .
Доказательство. Условие означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение (11.3) следующим образом:
По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку .
Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.
Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .
Решение. Векторное произведение по определению 10.26ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:
то есть . Используя формулу (11.1), получим
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.
Ответ: