12.Элементарные преобразования строк и столбцов матриц, их матричная интерпретация.

Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:

1) Перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

3) Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число.

Теорема 3.1. (об основном процессе) Произвольная ненулевая матрица конечным числомэлементарных преобразований строк и перестановками столбцов может быть приведена кверхней трапециевидной форме.

Доказательство.

Пусть   . Процесс приведения ненулевой матрицы к верхней трапециевидной форме состоит в общем случае из k = min(m,n) шагов. Иногда этот процесс заканчивается раньше, давая нужный результат.

Первый шаг.

а) Так как   , то в матрице A существует элемент   . Если   , то переходим к пункту «б». Если   , то, поменяв в матрице A местами   -ю и   -ю строки, а затем, в полученной матрице поменяв местами   -й и   -й столбцы, получим матрицу  , в которой элемент в позиции (1, 1) -   .

б) Элемент   назовём ведущим элементом первого шага. С его помощью аннулируем все расположенные под ним элементы 1-го столбца. Для этого из каждой строки, начиная со второй, вычтем первую строку, умноженную на   ,   , …,   соответственно.

После выполнения первого шага матрица переходит в матрицу

Если при этом все строки, начиная со второй, стали нулевыми, то весь процесс завершается, так как матрица уже приведена к верхней трапециевидной форме. Если же в этих строках есть хотя бы один, отличный от нуля элемент, т.е. если матрица

то переходим ко второму шагу.

Второй шаг.

Второй шаг аналогичен первому, он состоит в применении к матрице   преобразований, описанных в первом шаге. При этом можно считать, что выполняются элементарные преобразования строк всей матрицы   , так как все элементы первого столбца матрицы   , начиная со второго, равны нулю.

Повторяя описанные преобразования на следующих шагах, самое большое через k = min(m,n)шагов мы получим требуемый результат.

Заметим, что, если описанный процесс приведения матрицы к верхней трапециевидной форме, применить к квадратной матрице, то в результате получится верхняя треугольная матрица. 

13.Представление матрицы в виде произведения элементарных матриц и ступенчатой.

14. Метод Гаусса для вычисления обратной матрице. Обоснование и пример.

15.

16.Определитель. Определитель второго и третьего порядка. Примеры. Простейшие свойства

17. Вычисление определителя привидением к треугольному виду

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.

Итак, метод состоит из двух шагов.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка

 приводя его к треугольному виду.

Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент   первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):

Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.

Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на  , т.е. умножить на (-2):

В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы   и   второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента   и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:

Осталось сделать равным нулю элемент  . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится): Получили определитель треугольного вида.

2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали: