41. Уравнение прямой в пространстве.

На ра бочем столе

42. Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Пример. Угол между прямыми на плоскости

 

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ .

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .

 

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Угол между плоскостями

Пусть плоскости   и   заданы соответственно уравнениями   и   . Требуется найти угол   между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку   на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры   и   к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы   и   плоскостей   и   с началами в точке   (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку   провести плоскость   , перпендикулярную линии пересечения плоскостей   и   , то прямые   и   и изображения векторов   и   будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости   (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7)   и   , следовательно, угол   между нормальными векторами равен углу   , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями   и   .

Во втором варианте (рис. 11.8)   , а угол   между нормальными векторами равен   . Так как

то в обоих случаях   .

По определению скалярного произведения   . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где   -- любое число.

Угол между прямой и плоскостью

 

Пусть прямая d - не перпендикулярна плоскости θ;  d′−  проекция прямой d на плоскость θ; Наименьший из углов между прямыми d и d′ мы назовем углом между прямой и плоскостью. Обозначим его как φ=(d,θ) Если d⊥θ , то (d,θ)=π/2 

Oi→j→k→−  прямоугольная система координат. Уравнение плоскости:

θ:Ax+By+Cz+D=0

Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d[M0,p→]  Вектор n→(A,B,C)⊥θ  Тогда остается выяснить угол между векторами n→ и p→, обозначим его как γ=(n→,p→).

Если угол γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Если угол γ>π/2 , то искомый угол φ=γ−π/2 

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ 

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ 

Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣  Ap1+Bp2+Cp3∣ ∣  √A2+B2+C2√p21+p22+p2