§ 11. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
Следствием изотропности пространства является сохранение момента импульса для замкнутых механических систем (закон сохранение момента импульса).
Действительно,
механические свойства замкнутой
системы (ее уравнения движения и
потенциальная энергия) вследствие
изотропности пространства не изменяются
при повороте системы как
единого целого
относительно произвольного
направления в просторные на любой
(в том числе и бесконечно малый) угол.
Для математической записи этого
утверждения напомним, что поворот на
бесконечно малый угол
вокруг
произвольного направления можно
определять с помощью аксиального
вектора
(
),
направление которого совпадает с
направлением произвольной мгновенной
оси вращения. Поэтому легко видеть, что
при таком повороте системы как целого
радиусы – векторы
ее материальных
частиц получат приращение
,
(11.1)
т.е. указанное преобразование поворота дается преобразованием
.
(11.2)
Изменение потенциальной энергии замкнутой системы при этом формально можно записать в виде (см. (10.2))
(11.3)
Однако
никакого изменения потенциальной
энергии замкнутой системы при ее повороте
как целого в действительности не
происходит, т.е.
,
или, с учетом (11.3) в силу произвольности
,
.
(11.4)
Условие (11.4) содержит в себе некоторый закон сохранения, для получения которого преобразуем левую часть (11.4) с помощью уравнений движения (10.4): умножаем левую и правую части каждого i-го уравнения системы (10.4) векторно на , получаем
,
. (11.5)
Замечая, что
,
(11.6)
переписываем (11.5) в виде
,
. (11.7)
Суммируя почленно уравнения (11.7), находим
,
(11.8)
что позволяет переписать условие (11.4) в окончательном виде
.
(11.9)
Уравнение (11.9) показывает, что в процессе движения замкнутой системы сохраняется момент импульса системы
.
(11.10)
Вектор момента импульса, как это видно из его определения в § 3, есть аддитивная величина для любой замкнутой механической системы. Т.о., изотропность пространства приводит к существованию у замкнутой системы еще трех первых аддитивных скалярных интегралов движения – трех компонент момента импульса, так что в целом у замкнутой системы существует семь интегралов движения, связанных с симметрией пространства и времени.
Замечание
1. В общем
случае незамкнутой
системы момент импульса ее не сохраняется.
Можно однако убедиться в справедливости
следующего утверждения: если при повороте
как целого некоторой механической
системы, находящейся во внешнем
потенциальном поле, относительно
какого-нибудь направления
ее потенциальная энергия не изменяется,
то у такой системы сохраняется проекция
момента импульса на указанное направление,
т.е.
(доказательство этого результата мы
опускаем).
Замечание
2. Так как
задача об относительном движении
замкнутой системы из двух
материальных точек эквивалента задаче
о движении одной
точки в центрально-симметричном
силовом поле, то в этом последнем случае
также должен сохраняться
,
но только относительно
центра поля.
В заключение этой главы сделаем еще одно общее замечание о связи между законами сохранения и симметриями. Фактически все приведенные в этой главе результаты есть частные случаи знаменитой теоремы Нетер, которая в своей простейшей формулировке утверждает, что сохранение различных динамических характеристик механических систем вытекает из инвариантности их механических свойств (уравнений движения, потенциальной энергии) относительно тех или иных непрерывных преобразований пространственных и временных координат (таких, как преобразование сдвига во времени, трансляций и поворотов системы как единого целого в пространстве и т.д.). Строгую формулировку теоремы Нетер можно дать только на языке теории групп с использованием понятия о функции действия системы.