§ 7. Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем.
В физике часто приходится рассматривать движение частиц в силовых полях самой разной физической природы. Под силовым полем мы будем понимать часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, величина и направление которой зависят либо только от координат этой точки, либо от координат и времени (в первом случае силовое поле называется стационарным, а во втором - нестационарным).
Рассмотрим движение материальной точки в некотором силовом поле. Мерой действия силового поля на эту точку является работа силового поля по ее перемещению, которая согласно (3.17) равна
.
Хотя
в общем случае силовых полей этот
криволинейный интеграл зависит от
конкретного вида кривой, соединяющей
точки А и В, однако существует такой
класс силовых полей, для которых работа
не зависит от формы пути. Этот последний
случай возможный тогда, когда элементарную
работу можно представить в виде полного
дифференциала некоторой скалярной
функции координат
:
.
(7.1)
Условие (7.1) позволяет представить работу силы по конечному перемещению точки в виде, явно не зависящем от формы пути:
.
(7.2)
Силовые
поля, удовлетворяющие условию (7.2) или
(7.1), называют потенциальными
силовыми полями, а скалярную функцию
- потенциальной
энергией
материальной точки во внешнем потенциальном
силовом поле. Беря неопределенный
интеграл от левой и правой части (7.1),
получаем выражение
через заданную силу
:
.
(7.3)
Отсюда
видно, что
материальной
точки определена с точностью до аддитивной
произвольной постоянной С.
Поэтому, прежде чем работать с функцией
как
с потенциальной энергией, ее необходимо
предварительно прокалибровать
(нормировать),
выбрав произвольным образом нулевой
уровень потенциальной энергии. Например,
пологая в некоторой фиксированной точке
В
,
из (7.2) получаем
.
(7.4)
Отсюда виден физический смысл : потенциальная энергия материальной точки, помещенной в произвольную точку А силового поля, равна работе силового поля по перемещению материальной точки из А в такую фиксированную точку В, в который .
Для дальнейшего удобно иметь дифференциальный признак потенциальности силового поля. Для этого заметим, что (7.2) эквивалентно условию
(7.5)
равенства нулю работы по замкнутому пути L. Применяя к (7.5) математическую теорему Стокса
,
(7.6)
где
- произвольное непрерывное
векторное поле, S – поверхность, натянутая
на замкнутый
контур L,
- элемент поверхности S, получаем
откуда в силу произвольности S имеем дифференциальный признак потенциальности
.
(7.7)
Т.о.
, потенциальное
силовое поле – это безвихревое
поле (силовые поля, для которых
,
называются вихревыми).
Учитывая
тождественность
,
из (7.7) получаем связь между
и
,
(7.8)
где
- векторный дифференциальный оператор
набла (в декартовых координатах
.
Замечание.
Нестационарные силовые поля также могут
быть потенциальными,
если
удовлетворяет
условию потенциальности (7.7). В этом
случае
и
также связанные между собой соотношениями
вида (7.3) и (7.8).
Рассмотрим
теперь свободную систему n
взаимодействующих
материальных точек, помещенную во
внешнее потенциальное
силовое поле (стационарное или
нестационарное). Из изложенного выше
следует, что каждая i-я
точка системы обладает потенциальной
энергией
во внешнем поле, поэтому можно ввести
понятие потенциальной
энергии системы в внешнем силовом поле
по формуле
.
(7.9)
Далее,
будем предполагать, что силы взаимодействия
между точками системы: 1) удовлетворяют
третьему закону Ньютона и, следовательно,
являются потенциальными и центральными;
2) не зависят явно
от времени (это следствие однородности
времени и пренебрежения релятивистскими
эффектами). Оказывается, что в этом
случае можно ввести понятие энергии
взаимодействия материальных точек
системы (или
внутренней
потенциальной энергии системы)
(7.10)
таким
образом, что связь между
и равнодействующей внутренних сил
, которые действуют на i-ю
точку системы, запишется в виде
,
(7.11)
полностью аналогичном (7.8).
Внутренняя потенциальная энергия системы (7.10) зависит от взаимного положения материальных точек и не является аддитивной величиной в отличие от (см. формулу (7.9)). Поэтому есть энергетическая характеристика всей системы в целом.
Величину
(7.12)
называют полной потенциальной энергией системы.
Систему уравнений движения (6.1’), для свободной системы, находящейся во внешнем потенциальном силовом поле, будем дальше записывать в виде
,
(7.13)
с учетом (7.11) и аналогичной формулы
,
(7.14)
которая есть следствием (7.8) и (7.9).
Теперь, пользуясь понятием полной потенциальной энергии, все бесчисленное множество свободных механических систем можно разбить на следующие четыре класса:
1) Замкнутые, или изолированные, системы. Для таких систем полная потенциальная энергия сводится к внутренней:
,
(7.15)
поэтому
ее изменение со временем обусловлено
только изменением положения частиц и
для полной производной по временем от
U имеем (с учетом
)
.
(7.16)
2)
Системы,
находящиеся во внешних стационарных и
потенциальных силовых полях.
Для таких систем
и для полной потенциальной энергии
имеем
,
(7.17)
а ее полная производная за временем определяется выражением (7.16).
3) Системы, находящиеся во внешних нестационарных потенциальных силовых полях. Для систем этого класса также возможное введение функции полной потенциальной энергии, однако она будет явно зависеть от времени
,
(7.18)
и потому ее полная производная по временем будет определятся выражением
.
(7.19)
4) Все прочие свободные механические системы. К этому классу мы отнесем системы, находящиеся в вихревых силовых полях; системы, подверженные воздействию сил трения и т.д. Для таких систем невозможно ввести функцию полной потенциальной энергии и их поведение подчиняется уравнениям движения общего вида (6.1’), в то время как поведение систем классов 1) – 3) подчиняется уравнениям движения (7.13).
Замечание. Понятие полной потенциальной энергии позволяет ввести понятие о полной механической энергии системы и описывать все механические свойства таких систем с помощью ограниченного числа скалярных функций – энергий (что значительно проще описания с помощью векторных функций – сил). Эта идея получает свое полное развитие в аналитической механике.
Приведенная классификация свободных механических систем осуществлена здесь по следующим двум признакам: 1) возможно или невозможно для данного класса систем введение полной потенциальной энергии?; 2) зависит или не зависит явно от времени потенциальная энергия (при положительном ответе на первый вопрос)? Такая классификация существенно используется при рассмотрении законов сохранения (см. гл. 2) и многих других проблем механики.