§3. Кинематические и динамические характеристики механического движения.

В дальнейшем мы будем интересоваться движением только таких идеализированных объектов механики как материальная точка и система материальных точек. Поэтому приведем здесь определения только тех основных характеристик, которыми пользуются при описании движения именно этих объектов. При рассмотрении механического движения без учета вызывающих его причин используют кинематические характеристики, а с учетом этих причин - динамические характеристики механического движения.

Рассмотрим движение материальной точки М относительно некоторой СО с началом координат в точке О (ниже мы будем в основном использовать инвариантный метод описания движения; при необходимости использования конкретной системы координат предпочтение будем отдавать правовинтовой системе декартовых координат x, y, z с ортами связанных между собой соотношением , где - знак векторного произведения векторов). Положение точки М относительно указанной СО однозначно определяется заданием ее радиус-вектора (вектора, проведенного из О в М) как функции времени

, (3.1)

что в декартовой системе координат эквивалентно трем уравнениям

, (3.1')

если учесть разложение

. (3.2)

Векторную функцию (3.1) называют законом движения материальной точки (при кинематическом изучении движения предполагается, что этот закон может быть установлен экспериментально). Функцию (3.1) будем считать непрерывной и дифференцируемой, что является следствием непрерывности пространственных координат и времени t (см. постулаты 1) и 6) из § 2).

Траекторией материальной точки М называют кривую, описываемую в просторные концом ее радиуса-вектора .

Основными кинематическими характеристиками (мерами) движения материальной точки служат скорость и ускорения , которые определяются формулами:

, (3.3)

. (3.4)

Векторы скорости и ускорения являются векторными функциями времени, т.е. и .

Фундаментальными динамическими характеристиками механического движения являются понятия силы и массы.

Сила является количественной мерой механического взаимодействия тел. Под силой , с которой на материальную точку А действует некоторое тело В, понимают такое механическое воздействие В на точку А, в результате которого она приобретает ускорение . Опыт показывает, что сила, как и вызываемое ею ускорение, является вектором, причем

(3.5)

Однако вышеприведенное утверждение еще не является физическим определением понятия силы. Чтобы определить силу как физическую величину, следует указать способ ее измерения. Для этого необходимо выбрать эталон силы (например, силу действующую на тело со стороны динамометра с предварительно проградуированной шкалой) и использовать некоторые правила сложения сил, действующих на одну и ту же материальную точку. Эти правила являются обобщением экспериментально установленных фактов и составляют суть так называемого принципа суперпозиции сил, утверждающего, что:

1) действие каждой из приложенных к материальной точке сил не зависит от характера ее движения, а также от числа и типа других действующих на нее сил (закон независимого действия сил). Это означает (с учетом определения силы через ускорение) математически, что

, (3.6)

где - результирующее ускорение материальной точки 1,

- ускорения, которые сообщаются ей силами действующими со стороны тел (или материальных частиц) с номерами к = 2, 3, 4, ... ;

2) силы являются векторами, т.е. складываются по правилу параллелограмма (линейность закона сложения сил):

, (3.7)

где - результирующая сила, действующая на материальную точку 1;

3) механическое состояние движения материальной точки не изменится, если к ней приложить систему сил, равную нулю, т.е. если результирующая сила (3.7) есть нуль-вектор.

Описанное определение силы, вытекающее из способа ее измерения (так называемое операциональное определение), не описывает всех ее свойств (например, не отвечает на вопрос, от каких параметров эти силы зависят). Такие свойства силы можно изучить, лишь выяснив ее соотношение с другими физическими величинами и понятиями. Важнейшим из таких понятий является понятие инертной массы.

Инертная масса m является количественной мерой восприимчивости тела к передаваемому ему механическому движению. Понятие об инертной массе основывается на следующих экспериментальных фактах:

1) в любой СО отношение величины силы F, действующей на некоторое тело, к ускорению а, вызываемому этой силой, является для этого тела величиной постоянной и называется инертной массой тела m:

. (3.8)

Этот факт указывает способ измерения массы тела: достаточно выбрать массу некоторого тела за эталон и сравнить ускорения, сообщаемые произвольной, но фиксированной, силой рассматриваемому и эталонному телам;

2) масса является величиной аддитивной, т.е. масса m любой сложной механической системы равна сумме масс m_i, составляющих ее частей, т.е.

(3.9)

3) инертная масса m любого тела пропорциональна его тяжелой или гравитационной массе m_г (пропорциональной весу тела):

. (3.10)

Замечание. Утверждения (3.8) и (3.9) опровергаются в СТО, нарушений же (3.10) экспериментально до настоящего времени не обнаружено, более того, утверждение (3.10) положено в основу ОТО.

Понятие инертной массы позволяет ввести понятие о трех важнейших динамических мерах движения - импульсе, моменте импульса и кинетической энергии.

Импульс (количество движения) материальной точки определяется формулой

. (3.11)

Это аддитивная векторная величина, т.е. для импульса системы материальных точек имеем

. (3.12)

Момент импульса (угловой момент, кинетический момент, момент количества движения) материальной точки относительно центра О определяется соотношением

, (3.13)

т.е. в общем случае зависит от выбора начала координат. Это также аддитивная векторная величина, т.е. для системы материальных точек выполняется соотношение

. (3.14)

Кинетическая энергия - это скалярная аддитивная мера механического движения, которая для материальной точки определяется формулой

, (3.15)

а для системы материальных точек равна

. (3.16)

Важнейшей мерой действия силы является работа силы. Если под действием некоторой силы материальная точка переместилась из точки А в точку В вдоль некоторого пути, то работа силы определяется криволинейным интегралом

, (3.17)

где точкой обозначен знак скалярного произведения векторов. Выражение называется элементарной работой силы на бесконечно малом участке пути. Значение интеграла (3.17) в общем случае зависит от конкретного вида кривой, соединяющей точки А и В.

Замечание. Полное физическое содержание физических понятий и величин невозможно выявить вне теоретических законов (и следствий из них), включающих эти понятия, т.е. процесс формирования теоретических понятий неотъемлемый от процесса формирования теоретических законов. В механике такими теоретическими законами являются законы динамики Ньютона.