- •Введение.
- •Логическая структура современной физики.
- •Границы применимости физической теории.
- •Глава 1. Основные понятия и законы классической механики.
- •§2. Классические представления о пространстве и времени и их арифметизация.
- •§3. Кинематические и динамические характеристики механического движения.
- •§4. Законы динамики Ньютона.
- •§5. Принцип относительности Галилея.
- •§ 6. Основная задача динамики и роль начальных условий. Принцип причинности классической механики.
- •§ 7. Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем.
- •Глава. 2. Законы сохранения и принцип симметрии.
- •§ 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.
- •§ 9. Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени.
- •§ 10. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства.
- •§ 11. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
- •Глава 3. Основы аналитической механики.
- •§ 12. Постановка задачи о движении несвободной механической системы. Классификация связей.
- •13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.
- •С учетом (13.12) перепишем уравнения (13.11) в окончательном виде
- •§ 14. Функция Лагранжа и законы сохранения.
- •§ 15. Основная задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера.
- •Простейшим функционалом является криволинейный интеграл
- •Интегрируя второй интеграл в правой части (15.6) по частям с учетом предельных условий (15.4) получаем:
- •Обобщим полученные результаты для функционала
- •§ 16. Принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградського.
- •§ 17. Канонические уравнения движения.
- •Подставляя (17.8) в (17.7), получаем
- •§ 18. Скобоки Пуассона.
- •§ 19. Уравнение Гамильтона-Якоби.
§ 19. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Для формулировки принципа наименьшего действия Гамильтона-Остроградского мы в § 16 определили действие S механической системы как определенный интеграл
, (19.1)
зависящий от вида конфигурационных траекторий системы, начинающихся и заканчивающихся в двух заданных конфигурациях и в заданные моменты времени и (см. рис. 16.1)).
Возможна, однако, и постановка таких физических задач, когда действительные движения системы могут:
1) “оканчиваться” в разных конфигурациях ,
2) совершаются из одной конфигурации в другую за разные промежутки времени .
Таковыми являются задачи, связанные с рассмотрением множества различных действительных движений системы, которые отличаются друг от друга различным выбором ее начального состояния (точнее, различным выбором ее обобщенных начальных скоростей при одинаковой начальной конфигурации – см. рис. (16.1)). Так как при такой постановке задач все изучаемые движения системы являются действительными, то все рассматриваемые при этом конфигурационные траектории автоматически удовлетворяют уравнениям Лагранжа (13.18). Т.о., в самом общем случае (учитывающем и изложенную выше возможность постановки физических задач), понятие о действии механической системы (19.1) следует обобщить и рассматривать действие как явную функцию конечного момента времени и конечной конфигурации системы , т.е. действие системы в общем случае можно определить неопределенным интегралом
. (19.2)
Используя (17.3), (19.2) можно переписать в виде (см. также (17.6))
, (19.3)
откуда для полного дифференциала получаем выражение
. (19.4)
С другой стороны, формальное выражение для полного дифференциала от функции имеет вид
. (19.5)
Из сравнения (19.4) и (19.5) находим:
(19.6)
, (19.7)
Если теперь в соотношении (19.6) обобщенные импульсы , входящие в функцию Гамильтона, заменить согласно (19.7) частными производными , то мы получим уравнение
, (19.8)
которому должна удовлетворять функция действия механической системы с обобщенно-потенциальными активными силами и голономными идеальными связями. Это уравнение в частных производных первого порядка называется уравнением Гамильтона-Якоби. Оно является нелинейным уравнением, т.к. частные производные входят в него во второй степени. Например, для свободной материальной точки массы , движущейся в потенциальном поле , функция Гамильтона имеет вид ; поэтому уравнение Гамильтона-Якоби (19.8) для такой системы записывается в виде (если в качестве обобщенных координат точки использовать ее декартовые координаты):
. (19.9)
Наряду с методом Лагранжа и Гамильтона уравнение (19.8) составляет основу еще одного метода интегрирования уравнения движения, который здесь не излагается.
Важное значение уравнения Гамильтона-Якоби (19.8) состоит в том, что оно помогает: 1) вскрыть аналогию между классической механикой частицы и волновым процессом (т.н. оптико-механическую аналогию), играющую важную роль при объяснении волновых свойств микрочастиц в квантовой механике; 2) установить предельный переход от квантовой механики к механике классической (см. часть IV).
Заключительное замечание. Аналитические методы исследования механического движения, изложенные в главе 3, развиты на основе механической картины мира, т.е. на основе примитивных (с современной точки зрения) представлений о физической форме движения материи, и поэтому, на первый взгляд, не могут быть использованы за пределами МКМ. Однако, как мы уже неоднократно подчеркивали, эти методы при соответствующем их обобщении с большим успехом применяются и в рамках других ФКМ – ЭМКС и КПКМ. Это обстоятельство отчетливо подтверждает единство физической реальности и является убедительной естественно научной иллюстрацией положения диалектического материализма о единстве материального мира. Это же обстоятельство дает убедительный ответ на вопрос, почему серьезное изучение «древней» науки – классической механики совсем необходимо для воспитания современного физика-исследователя.