13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.

В этом параграфе мы изложим такой способ решения основной динамической задачи для связанных механических систем, который не содержит недостатков способа изложенного в § 12. Основная идея состоит в том, чтобы общую динамическую задачу об отыскании закона движения системы и сил реакции связей разбить (расчленить) на две задачи: 1) найти сначала закон движения системы (эту задачу в дальнейшем мы и будем называть основной); для этого необходимо получить замкнутую систему уравнений для S =3n-k независимых координат системы (с помощью которых можно задать состояние связанной системы в любой момент времени); 2) затем с помощью уравнений (12,11) определить и неизвестные , если в этом есть необходимость (эта задача тривиальная по сравнению с первой, так как ее решение сводится к взятию вторых производных по временем от координат, что всегда выполнимо). В дальнейшем мы будем решать только основную задачу нахождения закона движения связанной механической системы, состоящей из n материальных точек, на которые наложено k идеальных, удерживающих голономных связей. Необходимые для решения этой задачи уравнения движения можно получить последовательным исключением из системы уравнений Ньютона (12,11) сначала неизвестных сил реакций связей , а затем и зависимых координат связанной системы.

Для исключения сил реакций связей, умножим скалярно каждое из уравнений движения (12,11) на виртуальное перемещение соответствующей точки и сложим почленно результаты умножения. Получаем уравнение

(13,1)

В силу условия идеальности связей (12,10) последняя сумма в (13,1) равняется нулю, поэтому перепишем (13,1) в виде

. (13,2)

Уравнение (13,2) представляет собой математическую формулировку одного из важнейших дифференциальных вариационных принципов механики – принципа Д’Аламбера–Лагранжа, который утверждает: если на механическую систему наложены удерживающие, голономные и идеальные связи, то в каждый момент времени сумма виртуальных работ всех активных сил и так называемых “сил инерции” Д’Аламбера равняется нулю для любого виртуального перемещения системы. Уравнение (13,2) называют так же общим уравнением динамики голономных систем, так как его можно принять в качестве основной и единственной аксиомы для построения теории движения таких систем (из него можно получить любые другие уравнения движения, т.е. как уравнения Ньютона, так и уравнения Лагранжа).

Уравнение (13,2) содержит вариации как независимых, так и зависимых координат связанной системы, так как на ее наложена k связей вида (12,2). Поэтому для получения из (13,2) дифференциальных уравнений движения необходимо исключить из этого уравнения вариации зависимых координат, т.е. перейти к независимым (или, как говорят, обобщенным) координатам механической системы.

Обобщенными (или независимыми) координатами механической системы называют любые 3n-k величин (число которых совпадает с числом степеней воли системы s=3n-k), однозначно определяющих положение системы в пространстве в любой момент времени. Из этого определения следует, что обобщенные координаты должны удовлетворять следующим двум требованиям:

1. Декартовые координаты точек должны быть однозначными функциями обобщенных координат вида

, (13,3)

если на систему наложенные нестационарные связи, или связи вида

, (13,4)

если на систему наложенные стационарные связи.

2. Обобщенные координаты необходимо выбирать в полном соответствии с наложенными на систему связями. Это означает, что уравнения связей (12,2) должны обращаться в тождества при подстановке в них функций (13,3) или (13,4).

Поясним сказанное на примере сферического маятника, рассмотренного в § 12. Для этой системы n=1, k=1, поэтому s=3n–k=2, т.е. положение маятника можно задать с помощью двух обобщенных координат, в качестве которых можно выбрать сферические координаты θ и φ. При этом декартовые координаты однозначно выражаются через θ и φ:

, (13,5)

а уравнение связи (12,17) обращается в тождество при подстановке в него функции (13,5), что легко проверить.

Замечание. В §6 мы видели, что состояние свободной системы в любой момент времени определяется одновременным заданием ее декартовых координат и декартовых компонент скоростей точек . Аналогично, состояние связанной системы в любой момент времени полностью определяется одновременным заданием ее обобщенных координат и обобщенных скоростей . Ясно, что физически такое определение состояния системы основано на допущении о возможности одновременного точного измерения у макроскопических тел любых физических величин (см. §6).

Выпишем здесь ряд формул, которыми мы в дальнейшем воспользуемся, описывая переход от декартових координат к обобщенным. Для виртуальных перемещений из (13,3) имеем

, (13,5)

где - вариации обобщенных (независимых) координат. Связь между скоростями точек и их обобщенными скоростями получаем, дифференцируя (13,3) по времени:

. (13,6)

Так как согласно (13,6) скорости являются линейные функции обобщенных скоростей , то беря частные производные по от соотношений (13,6), получаем тождества

. (13.7)

Дале, учитывая, что есть функции обобщенных координат и времени t , и используя (13,6) получаем:

т.е. окончательно имеем тождества

. (13,8)

Перейдем теперь в уравнении (13,2) к обобщенным координатам. Подставляя в (13,2) выражения (13,5) и изменяя порядок выполнения операций суммирования по индексам i и α , получаем

(13,9)

Введем обозначение

(13,10)

и назовем скалярную величину обобщенной силой, соответствующей независимой координате . Так как виртуальные перемещения независимы, то все коэффициенты при всех перемещениях в левой части равенства (13,9) должны обращаться в нуль, т.е. с учетом (13,10) имеем уравнения

. (13,11)

Это и есть, по сути дела, искомые уравнения движения в обобщенных координатах, где и согласно (13,3) и (13,6) следует рассматривать как функции обобщенных координат и скоростей: , . Здесь и в дальнейшем мы воспользуемся сокращенными обозначениями: и . Для лучшего понимания физического смысла величины, состоящей в левой части (13,11), проделаем с ней ряд тождественных преобразований. Прежде всего заметим, что

,

откуда с учетом тождеств (13,7) – (13,8) получаем

и, следовательно,

(13.12)

где - кинетическая энергия системы, представленная как функция обобщенных координат , обобщенных скоростей и времени .